专题六 二次函数与综合应用年份题型考点题号分值难易度2022选择题、解答题二次函数的图像、二次函数的实际应用15、262＋12＝14中等题、较难题2022解答题二次函数的图像和性质2612较难题2022解答题二次函数表达式的确定及性质2511较难题命题规律纵观河北中考，二次函数几乎都出现在压轴题位置上，且难度大，但第(1)、(2)小问还是比较容易得分的，而最后一问很难做对．此专题就是针对它设计的，在复习时要鼓励学生尽量做好第(1)、(2)小问甚至第(3)问．预测2022年可能还出现在压轴题的位置上.此专题多以压轴题出现，特别最后一问很难，但第(1)(2)两问比较容易得分，学生应该尽力使这两问不丢分．,重难点突破) 二次函数的实际应用【例1】(2022石家庄中考模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg，经市场调查发现，该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w＝ax2＋bx－1600，当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式；(2)当销售价定为24元/kg，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x2＋120x－1600中计算所得利润；(3)将w＝150代入w＝－2x2＋120x－1600＝150中计算出定价；(4)由二次函数表达式可知w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．【答案】解：(1)依题意，把(22，72)，(26，168)代入w＝ax2＋bx－160，得解得∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式为w＝－2x2＋120x－1600；(2)当x＝24时，有w＝－2×242＋120×24－1600＝128.∴当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w＝150时，有w＝－2x2＋120x－1600＝150.解得x1＝25，x2＝35.∵x≤32，∴x＝25.∴定价为25元/kg；(4)w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，当x≤29时，w随x的增大而增大，∴当x＝29元时，利润最大，为w＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．1．(2022张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y1(t)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2(t)与时间t(t为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1)求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并直接写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)设国内、国外市场的日销售总量为yt，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75t?4\n(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．解：(1)设y1＝at2＋bt，把点(30，0)和(20，40)代入得，解得∴y1＝－t2＋6t(0≤t≤30，t为整数)．设y2＝kt＋b，当0≤t<20时，y2＝2t，当20≤t≤30时，解得∴y2＝(2)由y＝y1＋y2，得y＝由图像可知，销售第20天，y＝80，∴y＝75时，t＜20，即－t2＋8t＝75，t2－40t＋25×15＝0，解得：t1＝15，t2＝25>20(舍)．即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75t；(3)当0≤t＜20时，y＝－t2＋8t＝－(t－20)2＋80.此时，y随t的增大而增大．∵t为整数，∴当t＝19时，y最大，为79.8t．当20≤t≤30时，y＝－t2＋2t＋120＝－(t－5)2＋125.∵当t＞75时，y随t的增大而减小，∴当t＝20时，y的最大，为80t.综上所述，上市后第20天国内、国外市场日销售总量y值最大，最大值为80t.【方法指导】先根据题意列函数关系式，建立二次函数模型，再解决实际问题． 二次函数图像综合问题【例2】(2022河北中考)如图，抛物线L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常数t＞0)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝(k＞0，x＞0)于点P，且OA·MP＝12.(1)求k值；(2)当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；4\n(3)把L在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图像G最高点的坐标；(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．【解析】(1)设点P(x，y)，只要求出xy即可解决问题；(2)先求出A，B两点的坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题；(3)根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L与MP的交点就是最高点；(4)画出图形求出C，D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【答案】解：(1)设点P(x，y)，则MP＝y，OM＝x.OA＝2x.∵OA·MP＝12，M是OA的中点，∴2x·y＝12，即xy＝6；∴k＝xy＝6.(2)当t＝1时，令y＝0，即0＝－(x－1)(x＋3)，解得x＝1或－3.∵点B在点A左边，∴B(－3，0)，A(1，0)．∴AB＝4，∴L的对称轴是直线x＝－1，M的坐标为(，0)，∵－(－1)＝，∴MP与L对称轴之间的距离为；(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，∴L的对称轴为直线x＝t－2.又∵M，当t－2≤，即t≤4时，顶点(t－2，2)就是G的最高点；当t＞4时，L与MP的交点为最高点．联立解得即此时的最高点为；(4)5≤t≤8－或7≤t≤8＋.2．(2022天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l的函数表达式；(其中k，b用含a的式子表示)(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．4\n 解：(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x＝＝1；(2)∵直线l：y＝kx＋b过A(－1，0)，∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直线l：y＝kx＋k.∵CD＝4AC，点A的横坐标为－1，∴点D的横坐标为4，代入抛物线得y＝5a，∴将(4，5a)代入y＝kx＋k得k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；(3)如图①，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－ax－a＝ax2－3ax－4a，∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a，∴△ACE的面积的最大值为－a.∵△ACE的面积的最大值为，∴－a＝，解得a＝－；(4)以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形．由(2)知，D(4，5a)．∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴设P(1，m)．①如图②，连接AP.若AD是矩形ADPQ的一条边，由中点公式可得(xA＋xP)＝(xD＋xQ)，解得xQ＝－4，将x＝－4代入y＝ax2－2ax－3a得y＝21a，∴Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，∴52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，解得a1＝(不合题意，舍去)，a2＝－.∴P(1，－)；②如图③，若AD是矩形APDQ的对角线，由中点公式得(xA＋xD)＝(xQ＋xP)，解得：xQ＝2，将xQ＝2代入y＝ax2－2ax－3a得y＝－3a，∴Q(2，－3a)，m＝5a－(－3a)＝8a，则P(1，8a)．∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，解得a1＝(不合题意，舍去)，a2＝－.∴P(1，－4)．综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为或(1，－4)．4
