最值问题深度练习1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝2.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝()第1题图A．6B．8C．10D．122．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为_________．第2题图3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为______________________．第3题图4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．5\n第4题图5．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．5\n第5题图参考答案1．B 2. 3.(2－3，2－)第4题解图4．解：如解图，连接OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝＝， 当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，5\n∴PQ的最大值为＝.5．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，第5题解图①由题意得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.(2)当a＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE＝1，OF＝2.设P(x，－x2＋4x＋5)．如解图①，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4.S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝(OF＋PN)·ON－MN·NP－OE·OM＝(x＋2)(－x2＋4x＋5)－x·(－x2＋4x＋4)－×1×1＝－(x－)2＋，∴当x＝时，S四边形MEFP最大，最大为.当x＝时，y＝－x2＋4x＋5＝，此时点P坐标为(，)．5\n第5题解图②(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3.令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±.∵点P在第一象限，∴点P(2＋，3)．∵在四边形PMEF中，PM，EF长度是固定的，∴ME＋PF最小时，四边形PMEF的周长最小．如解图②，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)，连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P(2＋，3)，M2(1，－1)代入得解得∴y＝x－.当y＝0时，解得x＝，∴F(，0)．∵a＋1＝，∴a＝，∴当a＝时，四边形PMEF的周长最小．5
