1.1因动点产生的相似三角形问题例12022年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．22\n如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以点P的坐标为()．图2图3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即时，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合题意的点Q为()．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．图4图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．22\n例22022年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．思路点拨1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．满分解答（1）将M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）当m＝4时，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么．22\n因此．解得．所以点H的坐标为．（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．综合①、②，符合题意的m为．考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．22\n例32022年上海市闸北区中考模拟第25题直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1)写出点A、B、C、D的坐标；(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3)在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，22\n△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0)三点，所以解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么．Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：①当时，．解得．所以，．②当时，．解得．所以，．22\n图2图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．在Rt△BGH中，，．①当时，．在Rt△BQN中，，．当Q在B上方时，；当Q在B下方时，．②当时，．同理得到，．22\n例42022年上海市杨浦区中考模拟第24题Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．（1）求m与n的数量关系；（2）当tan∠A＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP相似存在两种情况．思路点拨1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．22\n3．如果△AEO与△EFP相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图象上，所以整理，得n＝2m．（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．已知△BDE的面积为2，所以．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)．因为点D（4，1）在反比例函数的图象上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得解得，．因此直线AB的函数解析式为．图2图3图4（3）如图3，因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD//x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：22\n第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为，直线AB为．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．图5例52022年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC22\n运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．（2）梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．22\n当S=36时，解得此时点A1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于，，所以．解得．图3图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．22\n例62022年上海市宝山区中考模拟第24题如图1，已知点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形AA′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况．22\n思路点拨1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1)因为点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线上，所以解得，．(2)如图2，由点A(-2，4)和点B(1，0)，可得AB＝5．因为四边形AA′B′B为菱形，所以AA′＝B′B＝AB＝5．因为，所以原抛物线的对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．因此平移后的抛物线的解析式为．图2(3)由点A(-2，4)和点B′(6，0)，可得AB′＝．如图2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①如图3，当时，，解得．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．22\n②如图4，当时，，解得．此时OD＝，点D的坐标为（，0）．图3图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△ABB′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△CBB′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．22\n例72022年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．思路点拨22\n1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．（2）设点P的坐标为．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合题意．如果，那么．解得．此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或或．22\n图2图3图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．因此．当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．设点D的横坐标为（m，n），那么．由于，所以．22\n22\n例82022年上海市闸北区中考模拟第25题如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1)若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3)当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝，所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．22\n因为DE//BC，所以，即．于是得到，（）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以，，即，．因此，圆心距．图2图3图4在⊙M中，，在⊙N中，．①当两圆外切时，．解得或者．如图5，符合题意的解为，此时．②当两圆内切时，．当x＜6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；当x＞6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上，．图5图6图7（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时．22\n图8图9图10图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．22
