2.1由比例线段产生的函数关系问题例12022年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”，分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．思路点拨1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答1．在Rt△ABC中，AC＝6，，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．6\n因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．于是得到．整理，得．定义域为0＜x＜5．图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．在Rt△OMF中，OF＝，所以．在Rt△BPQ中，BP＝1，，．6\n在Rt△OPQ中，OF＝，所以．①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程，可得③当OM＝OP时，解方程，可得．例22022年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．s与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．答案（1）当M、N都在O右侧时，，，所以．因此MN与AB不平行．（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．6\n②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么．所以．解得t＝2．图2图3图4（3）①如图2，，，．．②如图3，，，．．③如图4，，，．．综合①、②、③，s．所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例32022年上海市中考第25题在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．6\n图1图2备用图动感体验请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，从图象中可以看到，y是x的一次函数．观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E在AC和BC上，各存在一个时刻，△AME∽△ENB．请打开超级画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，当点E与点C重合时，．点E在边AC上时，y是x的一次函数．当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。思路点拨1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中．3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些．满分解答（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，，．在Rt△ACP中，．在Rt△CMP中，因为，所以．（2）在Rt△AEP中，．在Rt△EMP中，因为，所以．因此，．已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP．于是．定义域为0＜x＜32．6\n（3）①如图3，当E在AC上时，由，得．解得x＝AP＝22．②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．在Rt△BEP中，．在Rt△EMP中，，．所以，．这时由，得．解得m＝BP＝8．所以AP＝50－m＝42．图3图4图5考点伸展如果第（3）题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时PE垂直平分AB，AP＝25．6
