1.6因动点产生的面积问题例12022年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．思路点拨1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍．2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．因为抛物线与x轴交于A′(－1,0)、B(2,0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，16\n代入B′(0,2)，得a＝1．所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）S△A′B′O＝1．如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如图2，作PD⊥OB，垂足为D．设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以点P的坐标为(1，2)．图2图3图4（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．．．所以．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．16\n例22022年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答16\n（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得解得，．（2）由，，得．所以．所以PD的最大值为．（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．而，BM＝4－m．①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．16\n例32022年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得解得所以直线l的解析式为．（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．16\n由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图616\n例42022年上海市松江区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2．思路点拨1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．2．点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上．因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．满分解答（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E16\n的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（1，0），所以解得所以二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线x＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）．．（ⅰ）如图2，当点M位于线段BF上时，．解方程，得．此时点M的坐标为（3，）．（ⅱ）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，．解方程，得．此时点M的坐标为（3，8）．图2图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C、M、A三点在同一条直线上；△CEM的周长最小．可以求得直线AC的解析式为，当x＝3时，．因此点M（3，）在直线AC上．因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以ME＋MC＝MA＋MC．当A、M、C三点共线时，ME＋MC最小，△CEM的周长最小．16\n例52022年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图116\n动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．思路点拨1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．16\n图2图3图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．图5图6图7例62022年扬州市中考第28题如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF16\n将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分△ABC的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。思路点拨1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．满分解答(1)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．(2)①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．②当时，的最大值为；当时，的最大值为．16\n因此，当时，y的最大值为．图2图3图4(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．因此．解方程．整理，得．此方程无实数根．例72022年兰州市中考第29题如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；16\n（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双击按钮“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以准确显示PO＝PQ．思路点拨1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．满分解答（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE16\n＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．设△OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为0≤≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．（4）当或时,OP与PQ相等．图3图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得16\n，但这时点P不在BC上．图5图616
