江西省吉安一中2022届高三高考模拟（最后一模）数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.设集合，若集合只有一个子集，则k的取值范围是（）A.B.C.D.3.已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数是A.1B.2C.3D.44.函数（共中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度5.已知p：存在，使；q：对任意，恒有。若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（）11A.B.C.D.6.如图，已知某几何体的三视图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如下图所示。设观察者从点A开始随动点P变化的视角为＝∠AOF（＞0），练车时间为t，则函数的图象大致为119.某铁路货运站对6列运煤列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A.162种B.216种C.108种D.432种10.给出定义：若（其中m为整数），则m叫做实数x的“亲密的整数”，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期为1；④当时，函数有两个零点。其中正确命题的序号是（）A.②③④B.②③C.①②D.②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知向量，的夹角为60°，且，则向量与的夹角为___________。12.设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中x的系数为__________。13.已知数列是以3为公差的等差数列，是其前n项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是___________。14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）90848380756811由表中数据，求得线性回归方程为。若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为_____________。三、选做题（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分）15.（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设圆（为参数）上的点到直线的距离为d，则d的最大值是__________。（2）（不等式选做题）不等式的解集是_________。四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知函数。（1）求函数在上的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值。17.（本小题满分12分）已知数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项和为，若恒为一个与n无关的常数，试求常数a和。18.（本小题满分12分）正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为。从正四棱柱的12条棱中任取两条，设为随机变量，当两条棱相交时，记；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，记。（1）求概率；11（2）求的分布列，并求其数学期望。19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：（1）在线段AB上是否存在一点K，使BC∥面DFK？若存在，请证明你的结论：若不存在，请说明理由；（2）若面ADE⊥面ABCE，求二面角E－AD－B的余弦值。20.（本小题满分13分）在直角坐标平面中，三角形ABC的两个顶点的坐标分别为，，两动点M，N满足＝，向量与共线。（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求·的取值范围；（3）若G（－a，0）、H（2a，0），Q为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得∠QHG＝λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分14分）已知函数，。（1）求函数的单调区间；（2）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在，使，求实数a的取值范围。11【试题答案】1-5CBCCA6-10ADDBA11.30°12.15013.（－30，－27）14.三、选做题（本题共5分）15.①2②16.解：（1）3分由得：所以，在上的单调递增区间为6分（2），则8分∵向量与向量共线，，由正弦定理得，10分由余弦定理得，，即12分17.解：（1）由题①②由①－②得：，即3分当时，所以，数列是首项为1，公比为2的等差数列，故5分（2）2，是以为首项，以为公差的等差数列，8分1110分恒为一个与n无关的常数解之得：12分18.解：（Ⅰ）若两条棱相交，则交点必为正四棱柱8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，共有＝24对相对棱。所以，即任取两条棱相交的概率为。5分（Ⅱ）若两条棱平行时，则它们的距离有4种，分别是：距离是的有4对，距离是2的有4对，距离是的有2对，距离为1的共有8对，两条棱为异面的共有24对，于是=＝。随机变量η的分布列是：0123P10分所以数学期望。12分19.解：（1）线段AB上存在一点K，且当时，BC∥面DFK1分证明如下：设H为AB的中点，连结EH，则BC∥EH，又因为，F为AE的中点所以KF∥EH，所以KF∥BC，4分5分11（2）∵H为AB的中点，为AE的中点，。面ADE⊥面ABCE，面ABCE由此可以FA，FH，FD分别为轴，建立坐标系如图7分因为DF⊥面ABCE，所以DF⊥FH，又∵FH⊥AE，，⊥面ADE，则为面ADE的一个法向量。因为，所以，9分又可得：，所以设面ADB的法向量为由，即，令，则11分所以，故二面角E－AD－B的余弦值为12分20.提示：（Ⅰ）设，由，知，是△ABC的重心，。1分又且向量与共线，在边AB的中垂线上，。2分而，11，即。3分（Ⅱ）设，过点的直线方程为，代入得，，即。。。6分。8分（Ⅲ）设，则，即。当轴时，，即∠QHG＝2∠QGH，故猜想。9分当QH不垂直x轴时，，。11又与同在内，。故存在，使恒成立。13分21.（1）解：由已知函数的定义域均为，且。1分函数，当且时，；当时，。所以函数的单调减区间是（0，1），，增区间是。3分（2）因在上为减函数，故在上恒成立。所以当时，。又，故当，即时，。所以，于是，故a的最小值为。6分（3）命题“若，使成立”等价于“当时，有”。由（2），当时，。问题等价于：“当时，有”。8分10当时，由（Ⅱ），在上为减函数，则，故。10分20当时，由于在上为增函数，11故的值域为，即。（i）若，即在恒成立，故在上为增函数，于是，，不合题意。11分（ii）若，即，由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：12分当时，为减函数；当时，为增函数；所以，。所以，，与矛盾，不合题意。综上，得。14分11
