甘肃省天水一中2022届高三数学第三次检测考试试题理（天水一中三模）选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）1.定义，已知。则（）A.B.C.D.2．已知，为虚数单位，且，则的值为（）A．B．C．D．3.设是等差数列的前项和，若，则等于（）A.B.C.D.4．已知是实数，则“且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设函数，其中，，则的展开式中的系数为（）A．B．C．D．6.过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为()A．B.C.D.输出开始?是输入p结束否118.执行如图的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是()A.15B.14C.7D.89．已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.10．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（ ）A．80B．120C．140D．18011.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（）A.B.C.D.12．已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为，则对任意，的最小值是()A.B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的图象与函数的图象的公共点个数是个。14．已知满足约束条件，且恒成立，则的取值范围为。15.已知数列的首项，且对任意的都有，则。1116.下列说法正确的是。（1）从匀速传递的产品生产流水线上，质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样方法为分层抽样；（2）两个随机变量相关性越强，相关系数的绝对值越接近1，若或时，则与的关系完全对应（即有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上；（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；（4）对于回归直线方程，当每增加一个单位时，平均增加12个单位；（5）已知随机变量服从正态分布，若，则。三、解答题（本题共6小题，17-21题每题12分，选做题10分，共70分）17.（本小题共12分）在中，角所对的边分别为，若。（1）求证；（2）若的平分线交于，且，求的值。18.（本小题共12分）哈尔滨市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为。优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽到9号或10号的概率。参考公式与临界值表：。110.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.（本小题共12分）如图，在四棱锥中，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上，又，且（1）求证：；（2）若，求直线与所成角的余弦值；（3）若平面与平面所成的角为，求的值。20.（本小题共12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，点是点关于轴的对称点，过点的直线交抛物线于两点。（1）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点的坐标，若不存在说明理由。（2）若的面积为，求向量的夹角；21.（本小题共12分）设函数。（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；11（3）斜率为的直线与曲线交于,两点，求证：。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。22.如图所示，已知是圆的直径，是弦，，垂足为，平分。（1）求证：直线与圆的相切；（2）求证：。23.在平面直角坐标系中，曲线为为参数）。在以为原点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线为，与的交点为，与除极点外的一个交点为。当时，。（1）求，的直角坐标方程；（2）设与轴正半轴交点为，当时，设直线与曲线的另一个交点为，求。24．已知函数。（1）若的解集为，求实数的值。（2）当且时，解关于的不等式数学（理）答案一．选择题：BCDADCACDADB二．填空题：2个2（2）（3）（5）17解：（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=sinB，∴sin（A+B）=sinB，--------3分即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B．--------------6分11（2）△BCD中，用正弦定理可得=，由第一问知道C=B，而BD是角平分线，∴=2cos．---------8分由于三角形内角和为180°，设A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，故α+=45°．--9分∵sin=，∴cos=，∴cosα=cos（45°﹣）=cos45°cos+sin45°sin=．∴=2cos=2cosα=．---------------12分18.（1）-------4分优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）根据列联表中的数据，得到K2=≈7.487＜10.828．因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”-------8分（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=，即抽到9号或10号的概率为．-------12分19解：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz（如图）．（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（﹣a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（﹣a，2a，0）．∴=（2a，a，0），=（﹣a，2a，﹣h），于是•=﹣2a2+2a2=0，∴PD⊥AC；--------4分（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），——5分∵=（2a，0，0），=（﹣a，2a，﹣a），∴•=﹣2a2，cos＜，＞==，11∴直线PD与AB所成的角的余弦值为；-----------8分（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），由=（a，a，﹣h），=（﹣a，2a，﹣h），∴，解得n=（1，2，），∴m•n=2，cos＜m，n＞=，∵二面角为60°，∴=4，解得=，即=．----------------12分20.（1）由题意知：抛物线方程为：且-------1分设设直线代入得--------2分假设存在满足题意，则-----------5分存在T（1,0）----------------6分（2）（法一）11----------------7分设直线OA,OB的倾斜角分别为，--------9分设------11分----------------------12分法二：-----------------------7分---------9分-------11分--------------------12分21.（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴当时，．-----------------4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．11①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．------------------------------------8分（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．---------------------------------12分22.证明：（Ⅰ）连接，因为,所以.2分又因为，所以，又因为平分，所以，4分所以，即，所以是的切线.5分（Ⅱ）连接，因为是圆的直径，所以，因为，8分11所以△∽△，所以，即.10分23.（1）由得，所以的直角坐标方程是--2分由已知得的直角坐标方程是，当时射线与曲线交点的直角坐标为，-----------3分的直角坐标方程是.①-----------5分（2）联立与得或，不是极点.---6分又可得，的参数方程为②-------8分将②带入①得,设点的参数是，则-------10分24解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，所以解之得为所求．----------------4分（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，所以f（x）+t≥f（x+2t）⇔|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式解得x＜2﹣2t或或x∈ϕ，即；综上，当t=0时，原不等式的解集为R，当t＞0时，原不等式的解集为．-----------10分1111
