天水一中2022届第一次模拟考试数学试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．集合，，若，则（）A．B．C．D．2.设是虚数单位，复数（）A.B.C.D.3.已知,则()A．B．C．D．4.函数的图像关于原点对称，是偶函数，则A.1B.C.D.5.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A．51个B．50个C．49个D．48个6.下列说法正确的是A．命题“，”的否定是“，”B．命题“已知，若，则或”是真命题C．“在上恒成立”“在上恒成立”D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题7.已知函数，且，则当时，的取值范围是（）A．B．C．D．-13-8．设函数，记则（）A.B.C.D.9.在中，，，是边上的高，则的值等于（）A．B．C．D．910．如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为,则（）A．B．C．D．11.若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sinx＋4cosx；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④12.已知为R上的可导函数，当时，，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.0D.0或2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为____．14.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15.设满足约束条件，则所在平面区域的面积为___________.16、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在-13-上，若圆上存在点M，使，则圆心的横坐标的取值范围为三、解答题（共70分）17.（12分）某站针对2022年中国好声音歌手三人进行上网投票，结果如下观众年龄支持支持支持20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量表示抽取出3人中支持的人数，写出的分布列并计算.18.（本题满分12分）设数列是等差数列，数列的前项和满足且（Ⅰ）求数列和的通项公式：（Ⅱ）设，设为的前n项和，求.19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=（I）求证：AB⊥PC：（Ⅱ）求二面角B一PC—D的余弦值．20．（本小题满分12分）已知圆点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，N为抛物线上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．21.（本小题满分12分）.已知函数，（a为实数）．(Ⅰ)当a=5时，求函数在处的切线方程；(Ⅱ)求在区间[t，t+2]（t>0）上的最小值；(Ⅲ)若存在两不等实根，使方程-13-成立，求实数a的取值范围．22.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．23.在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为:（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.24.已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围.天水一中2022届第一次模拟考试数学答案（理科）1.【答案解析】A解析：由，得=2，所以,.即，，因此2.【答案】【解析】A解析：复数．3.【答案解析】C∵cos（x-）=-，∴cosx+cos（x-）=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=×（-）=-1故选C．4.【答案】【解析】D解析：∵关于原点对称，∴函数是奇函数，∴∵是偶函数，∴对任意的都成立，∴，∴，-13-∴对一切恒成立，∴，∴，故选：D5.【答案】【解析】C解析：由题意知，代入回归直线方程得，故选6.【答案解析】A、“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x0∈R，ex≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=-1，则函数f（x）=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x-1有一个零点时，a=-1”，∵f（x）有一个零点时，a=-1或a=0；∴命题错误．故选：B．【思路点拨】B.A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥amax在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．7..设，由得.结合图形可知，-13-即.选A.8.【解析】试题分析：已知，得，当x>0时，，所以在（0，+）上单调递减，，即，故选B.9.【答案】C解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系；根据已知条件可求以下几点坐标：A，D，C；∴，；∴．故选C．【思路点拨】根据已知条件可以分别以BC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，而根据已知的边长及角的值可求出向量，的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出．10.【答案】【解析】D解析：三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是，该几何体的外接球的体积V1=，V2=，∴V1：V2=，故选D-13-．.【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果．11.【答案解析】B①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=，在 x=和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在 x= 和 x=-处的切线都是y=-，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．12.【答案】C【解析】13.-13-14【答案】40解析：令则有，得，所以二项式为所以其常数项为所以答案为40.15【答案】【解析】试题分析：画出对应的平面区域，如图所示.所在平面区域的面积为.16【答案】解析：解：设点M（x，y），由MA=2MO，知，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，故答案为：．-13-17.【答案解析】（1）40（2）（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴=，解得n=40，（2）X=0，1，2X012P274717∴E（X）=1×+2×=，D（X）=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2=．【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列并计算E（X），D（X）．18.【答案解析】(1),.（2）（1）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3．当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)-(bn-1-1)，化为bn=3bn-1．∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9．设等差数列{an}的公差为d．∴，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．综上可得：an=2n-1，bn=3n．（2）cn=an•bn=（2n-1）•3n．∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）•3n-1+（2n-1）•3n，3Tn=32+3×33+…+（2n-3）•3n+（2n-1）•3n+1．∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）•3n+1=-（2n-1）•3n+1-3=（2-2n）•3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1．【思路点拨】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．19.（I）证明：取的中点，连接为等腰三角形………………………2分又四边形是菱形，是等边三角形…………………………4分又，又-13-……………………………………6分20.解：（Ⅰ）由已知可得，点满足所以，动点的轨迹是一个椭圆，其中，动点的轨迹的方程为.（Ⅱ）设，则的方程为：，联立方程组-13-，消去整理得：，……6分有，而点到的高为由代入化简得：即；当且仅当时，可取最大值.21.【解析】(I)(II)当时(III)解析：(Ⅰ)当时,.，故切线的斜率为.所以切线方程为:,即.(Ⅱ),-13-①当时,在区间上为增函数,所以②当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,所以(Ⅲ)由，可得：，,令,.,,..实数的取值范围为.22.【答案解析】答案略证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，-13-∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形【思路点拨】根据圆内接四边形角关系求出，证明三角相等证明等边三角形。23.【答案解析】（1）（2）2（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以从而的参数方程为（为参数）（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.【思路点拨】根据等量关系求出参数方程，根据极坐标求出长度。24【答案解析】（1）{x}（2）-（1）当时，或或或（2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数a。-13-
