功和能综合应用(三)1．(2022·扬州中学学测模拟)如图1所示，竖直平面内的圆弧形光滑轨道ABC，其半径为R，A端与圆心O等高，B为轨道最低点，C为轨道最高点，AE为水平面．一质量为m的小球(可视为质点)从A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道，到达C点时速度大小为，g为重力加速度．求：图1(1)小球到达C点时对轨道的压力F；(2)小球到达D点时的速度大小vD；(3)释放点距A点的竖直高度h.2．(2022·扬州学测模拟)如图2所示，abc是光滑的轨道，其中ab是水平的，bc为竖直平面内的半圆轨道，与ab相切于b点，其半径R＝0.4m．质量m＝0.2kg的小球A静止在轨道上，另一质量M＝0.5kg的小球B以速度vB＝6m/s与小球A正碰．已知碰撞后，小球A能经过半圆的最高点c，并落到轨道上距b点l＝1.2m处．碰后小球B仍沿原方向，以大小vB′＝4m/s的速度继续前行，重力加速度g＝10m/s2.求：5\n图2(1)小球A经过半圆最高点c时的速度大小vc；(2)碰撞过程中，两球组成的系统损失的机械能；(3)试论证小球B是否能沿着半圆轨道到达c点．3．(2022·南京师范大学附中学测模拟)如图3所示，一轻弹簧原长为2L，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于原长，直轨道BC＝5L.质量为m的小物块P(可视为质点)自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，BF＝2L.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.图3(1)求P第一次运动到B点时速度的大小．(2)P从B运动到E的过程中加速度大小和速度的大小如何变化？(3)求P运动到E点时弹簧的弹性势能．4．(2022·连云港学测模拟)如图4甲所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC的距离为1m，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.4m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k＝100N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐，一个质量为1kg的小球(可视为质点)放在曲面AB上，现从距BC的高度为h＝0.6m处静止释放小球，小球进入管口C端时，它对上管壁有FN＝5N的作用力，通过CD5\n后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能为Ep＝0.5J，取重力加速度g＝10m/s2.求：图4(1)小球在C处的向心力大小；(2)小球与BC间的动摩擦因数；(3)若改变高度h且BC段光滑，试通过计算探究小球压缩弹簧过程中的最大动能Ekm与高度h的关系，并在图乙的坐标系中粗略做出Ekm－h的图象，并标出纵轴的截距．答案精析1．(1)mg，方向竖直向上 (2)2 (3)2R解析 (1)小球在C点处：mg＋F′＝m得F′＝mg由牛顿第三定律可得小球在C点时对轨道的压力F＝F′＝mg，方向竖直向上(2)从C→D，由机械能守恒定律得mgR＋mvC2＝mvD2解得vD＝2(3)从释放到D，由动能定理得mgh＝mvD2－0解得h＝2R.2．(1)3m/s (2)2.5J (3)见解析解析 (1)小球A经过半圆的最高点c后做平抛运动竖直方向上2R＝gt2，解得t＝0.4s水平方向上l＝vct，解得vc＝3m/s(2)碰后小球A运动到最高点过程机械能守恒，有mvA′2＝mg·2R＋mvC25\n解得vA′＝5m/s则碰撞过程中系统损失的机械能ΔE＝MvB2－(mvA′2＋MvB′2)解得ΔE＝2.5J(3)假定B球恰好能沿着半圆轨道上升到c点，则在c点时Mg＝M解得v＝vb表示B球在b点相应的速度，由机械能守恒定律有Mv2＋Mg·2R＝Mvb2解得vb＝代入数值得vb＝2m/s由于vB′<vb，所以小球B不能到达半圆轨道的最高点．3．(1)2 (2)加速度大小先减小后反向增大 速度大小先增大后减小 (3)2.4mgL解析 (1)由C→B，由动能定理得mg·5Lsin37°－μmgcos37°·5L＝mvB2，解得vB＝2(2)加速度大小先减小后反向增大；速度大小先增大后减小(3)从B点到E点过程中，设BE＝x，弹簧弹力做功大小为W，则mgxsin37°－μmgxcos37°－W＝0－mvB2从E到F过程中：W－mg(x＋2L)sin37°－μmg(x＋2L)cos37°＝0可得x＝LEp＝W＝2.4mgL.4．(1)15N (2)0.3 (3)见解析解析 (1)小球进入管口C端时，它与圆管上管壁有大小为F＝5N的相互作用力，故小球的向心力为F向＝5N＋mg＝15N(2)在C点，由F向＝m代入数据得vC＝m/s小球从A点运动到C点过程，由动能定理得mgh－μmgx＝mvC2－0解得μ＝0.35\n(3)在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零．设此时小球离D端的距离为x0，则有kx0＝mg解得x0＝＝0.1m由机械能守恒定律有mg(r＋x0＋h)＝Ekm＋Ep得Ekm＝mg(r＋x0＋h)－Ep即Ekm＝10h＋4.5图象如图所示5
