第21讲 万有引力定律及其应用Ⅰ体验成功1.以下说法正确的选项是( )A.行星绕太阳运行的椭圆轨道可以近似地看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力B.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力，所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转C.万有引力定律适用于天体，不适用于地面上的物体D.行星与卫星之间的引力、地面上的物体所受的重力和太阳对行星的引力，性质相同答案：AD2.经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨道均处在火星和木星轨道之间.已知“神舟星”平均每天绕太阳运行174万公里，“杨利伟星”平均每天绕太阳运行145万公里.假设两行星均绕太阳做匀速圆周运动，那么两星相比较( )A.“神舟星”的轨道半径大 B.“神舟星”的加速度大C.“神舟星”的公转周期大D.“神舟星”的角速度大答案：BD3.土星外层有一个环，为了判断它是土星的一局部还是土星的卫星群，可以根据环中各层的线速度与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断( )A.假设v∝R，那么该层是土星的一局部B.假设v∝R，那么该层是土星的卫星群C.假设v∝，那么该层是土星的一局部D.假设v2∝，那么该层是土星的卫星群答案：AD4.一飞船在某行星外表附近沿圆形轨道绕该行星飞行，假设行星是质量分布均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量( )A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量解析：因为F向＝m()2r＝G其中M＝πr3·ρ可得：ρ＝.答案：C5.某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料，如表所示.利用这些数据来计算地球外表与月球外表间的距离s，那么以下结果中正确的选项是( )地球的半径R＝6400km月球的半径r＝1740km地球外表的重力加速度g0＝9.80m/s2月球外表的重力加速度g′＝1.56m/s2月球绕地球转动的线速度v＝1km/s月球绕地球转动的周期T＝27.3天光速c＝2.998×105km/s用激光器向月球外表发射激光光束，经过约t＝2.565s接收到从月球外表反射回来的激光信号.A.B.－R－r9/9\nC.－R－rD.－R－r解析：由光的传播特点知，s＝，A正确；月球绕地球旋转的线速度v与激光传播的时间无关，B错误；月球外表处的重力加速度g′＝G，与其绕地旋转的线速度无关，C错误；由G＝m(S＋R＋r)，GM＝g0R2，可得s＝－R－r，D正确.答案：AD6.一飞船在某星球外表附近，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v1，飞船在离该星球外表高度为h处，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v2，已知引力常量为G.(1)求该星球的质量.(2)假设设该星球的质量为M，一个质量为m的物体在离该星球球心r远处具有的引力势能为Ep＝－，那么一颗质量为m的卫星由r1轨道变为r2(r1＜r2)轨道，对卫星至少做多少功？(卫星在r1、r2轨道上做匀速圆周运动，结果请用M、m、r1、r2、G表示)解析：(1)设星球的半径为R，质量为M，由万有引力定律及向心力分公式得：G＝mG＝m联立解得：M＝.(2)卫星在轨道上的机械能E＝Ek＋Ep＝－G故有W＝E2－E1＝GMm().答案：(1) (2)GMm()9/9\n第22讲 万有引力定律及其应用Ⅱ体验成功1.常用的通讯卫星是地球同步卫星，它定位于地球赤道正上方.已知某同步卫星离地面的高度为h，地球自转的角速度为ω，地球半径为R，地球外表附近的重力加速度为g，该同步卫星运动的加速度的大小为( )A.0 B.g C.ω2h D.ω2(R＋h)解析：同步卫星的加速度等于其做圆周运动的向心加速度，故g′＝G＝＝ω2(R＋h).答案：D2.在2022年初，欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗新行星，命名为“格利斯581c”.该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍.设想在该行星外表附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为Ek1，在地球外表附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为Ek2，那么为( )A.0.13B.0.3C.3.33D.7.5解析：对于在星球外表附近做圆周运动的卫星，有：G＝，即动能Ek＝mv2＝故＝×＝.答案：C3.我国和欧盟合作的建国以来最大的国际科技合作方案——伽利略方案将进入全面实施阶段，正式启动伽利略卫星导航定位系统方案.据悉，伽利略卫星定位系统将由30颗轨道卫星组成，卫星的轨道高度为2.4×104km，分布在三个轨道上，每个轨道上部署9颗工作卫星和1颗在轨备用卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作.假设某颗替补卫星处于略低于工作卫星的轨道上，那么这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较，以下说法中正确的选项是( )A.替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度B.替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度C.替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度D.替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度解析：由G＝m＝mr可知，与工作卫星相比，替补卫星的周期略小，速度略大.答案：B4.用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球外表的重力加速度，ω表示地球的自转角速度，那么通讯卫星所受万有引力的大小是( )A.0 B.C.mω2(R＋h)D.解析：①由万有引力定律F＝G又因为g＝可得：F＝②由万有引力等于向心力，有：F＝mω2(R＋h).答案：BC5.一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星的轨道离地面的高度为2R(R9/9\n为地球半径)，已知地球外表重力加速度为g，那么该卫星的运行周期是多大？假设卫星的运动方向与地球自转方向相同，地球自转角速度为ω0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，那么至少经过多长时间它再次通过该建筑物的正上方？解析：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，引力提供向心力，有：G＝mr()2其中r＝h＋R＝3R又G＝mg联立解得：T＝6π设经过时间t，卫星再次通过该建筑物正上方，那么有：ω0t＋2π＝·t解得：t＝.答案：6π 6.2022年8月15日的国际天文学联合会(IAU)上定义了行星的新标准，冥王星被排除在行星之外而降为“矮行星”.另外，根据新标准，从理论上可分析出：如果地球和月亮还能继续存在几十亿年，月亮有可能成为行星.由于两者之间潮汐力的作用，月亮与地球的距离每年增加约3.75cm，地球和月亮的共同质心(地球和月亮作为独立双星系统相互环绕的中心)转移到地球之外，到那时月亮就可能成为行星了.已知地球质量M＝5.97×1024kg，地球半径R＝6.37×106m，月球的质量m＝7.36×1022kg，月地中心距离L＝3.84×108m，按上述理论估算月亮还需经多少年才可能成为行星？(结果保存两位有效数字)解析：设当月地距离为L′时，月地的共同质心距地球中心距离r1＝6.37×106m，即恰好移到地球之外，由向心力公式及万有引力定律得：G＝Mωr1G＝mω(L′－r1)对于双星系统有：ω1＝ω2解得：L′＝5.23×108m由题意知到那时还需经过的时间为：t＝年＝3.7×109年.答案：3.7×109年9/9\n金典练习十 万有引力定律及其应用选择题局部共10小题，每题6分.在每题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确. 1.对于万有引力定律的表达式F＝G，以下说法正确的选项是( )A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的B.当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C.m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1和m2是否相等无关D.m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力答案：AC2.一行星的半径是地球半径的2倍，密度与地球的密度相等.在此行星上以一定的初速度竖直上抛一物体，上升的高度为h，那么在地球上以同样大的初速度竖直上抛同一物体，上升的高度应为(空气阻力不计)( )A.h B.2h C.4h D.8h解析：由g＝πGρR和h＝可知，选项B正确.答案：B3.一飞船在某行星外表附近沿圆形轨道绕该行星飞行，假设行星是质量分布均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量( )A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量解析：因为F向＝m()2r＝G其中M＝πr3·ρ可得：ρ＝.答案：C4.已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出( )A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8B.地球外表的重力加速度与月球外表的重力加速度之比约为9∶4C.靠近地球外表沿圆形轨道运行的航天器的周期与靠近月球外表沿圆形轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9D.靠近地球外表沿圆形轨道运行的航天器的线速度与靠近月球外表沿圆形轨道运行的航天器的线速度之比约为81∶4解析：依据ρ＝得：＝＝，应选项A错；依据g＝得：＝＝，应选项B错；依据T＝()得：＝，所以选项C正确；依据v＝()得：＝()＝9∶2，所以选项D错.答案：C9/9\n5.欧盟和我国合作的“伽利略”全球卫星定位系统的空间局部由平均分布在三个轨道平面上的30颗轨道卫星构成，每个轨道平面上有10颗卫星，从而实现高精度的导航定位.现假设“伽利略”系统中每颗卫星均围绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置如以下图.相邻卫星之间的距离相等，卫星1和卫星3分别位于轨道上的A、B两位置，卫星均按顺时针运行.地球外表的重力加速度为g，地球的半径为R，不计卫星间的相互作用力.那么以下判断正确的选项是( )A.这10颗卫星的加速度大小相等，且均为gB.要使卫星1追上并靠近卫星2通过向后喷气即可实现C.卫星1由位置A运动到B所需要的时间为D.卫星1由位置A运动到B的过程中万有引力做的功为零解析：①由G＝和g＝可得：加速度a＝＝＝，应选项A正确.②卫星向后喷气将做离心运动至更高轨道，应选项B错误.③tAB＝＝，应选项C正确.④万有引力与轨道垂直即万有引力不做功，应选项D正确.答案：ACD6.2022年10月24日，我国第一颗月球探测卫星嫦娥一号在西昌卫星发射中心成功发射.嫦娥一号卫星奔月路线的模拟图如以下图，卫星由地面发射，经过屡次变轨后沿地月转移轨道奔向月球，卫星被月球俘获后，实施近月制动，最终在离月球外表200km的环月圆轨道上运行.已知地球与月球的质量分别为M和m，地球与月球的半径分别为R和r，地球的卫星的第一宇宙速度为v.以下说法正确的选项是( )A.卫星在轨道1上运行的周期大于在轨道2上运行的周期B.卫星在轨道2上的机械能大于在轨道3上的机械能C.卫星在离月球外表高度为h的环月圆轨道上运行的速率为vD.卫星在环月圆轨道上的机械能一定大于在轨道3上的机械能解析：人造卫星在越高的轨道上运动，其周期和机械能就越大，应选项A、B错误；设卫星在距月球外表h处的线速度为v1，有G＝m0，又由GM＝R2g及第一宇宙速度v＝可得v1＝v·，选项C正确；卫星由轨道3到达被月球俘获的轨道机械能要增加，但被俘获后还要进展减速制动才能降到200km高的环月圆轨道，故机械能不一定大于在3轨道时的机械能(应是小于)，选项D错误.答案：C7.2022年9月27日下午，举世瞩目的神舟七号实现了航天员出舱和太空行走，从电视转播中可以看到翟志刚和刘伯明穿上加气压的舱外服在(与返回舱隔离的)轨道舱中协同作业，16：35：12翟志刚在经过几次尝试后奋力向内翻开舱盖，太空在中国人面前豁然翻开！以下关于轨道舱内气压的猜测正确的选项是( )A.翟志刚需要用很大的力才能把舱盖翻开是因为舱内有接近一个大气压的空气压强，而舱外的太空气压为零B.翟志刚翻开舱盖前，轨道舱中应该已经过泄压，舱内接近真空9/9\nC.翟志刚翻开舱盖时，轨道舱内有与地表附近相似的空气，但由于完全失重，这些空气产生的气压为零D.翟志刚翻开舱盖时，轨道舱内和舱外的太空都有约为一个大气压的空气压强解析：在太空中，舱外为真空，气压为零，D错误；假设舱内气压为1个大气压，那么内外压力F≈1.0×105×S≈2.5×104N，用人力无法翻开舱盖，故A错误；舱内假设有与地表相似的空气，即使完全失重也会产生约1个大气压的压强，故C错误.答案：B8.有一种关于宇宙演变的学说叫“宇宙膨胀说”，认为引力常量G在漫长的宇宙演变过程中是在非常缓慢地减小的，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比( )A.公转半径比现在大 B.公转周期比现在小C.公转速率比现在小D.公转角速度比现在小解析：由万有引力定律及向心力公式可得：G＝m＝mω2r＝mr随着G的缓慢变小，卫星将缓慢地做离心运动，故r变大，v变小，ω变小，T变大.答案：B9.几十亿年来，月球总是以同一面对着地球，人们只能看到月貌的59%，由于在地球上看不到月球的反面，所以月球的反面蒙上了一层十分神秘的色彩.试通过对月球运动的分析，说明人们在地球上看不到月球反面的原因是( )A.月球的自转周期与地球的自转周期相同B.月球的自转周期与地球的公转周期相同C.月球的公转周期与地球的自转周期相同D.月球的公转周期与月球的自转周期相同解析：月球绕地球旋转的同时，月球本身以相同的角速度自转.使得朝向地球的一侧总是朝向地球，背向地球的一侧总是背向地球.答案：D10.1930年美国天文学家汤博发现冥王星，当时错估了冥王星的质量，以为冥王星比地球还大，所以命名为大行星.然而，经过近30年的进一步观测，发现它的直径只有2300公里，比月球还要小.2022年8月24日晚在布拉格召开的国际天文学联合会(IAU)第26届大会上，来自各国天文界权威代表投票通过联合会决议，今后原来九大行星中的冥王星将不再位于“行星”之列，而属于矮行星，并提出了行星的新定义.行星新定义的两个关键：一是行星必须是围绕恒星运转的天体；二是行星的质量必须足够大，它自身的重力必须和外表力平衡使其形状呈圆球.一般来说，行星直径必须在800公里以上，质量必须在50亿亿吨以上.假设冥王星的轨道是一个圆形，那么由以下几个条件能估测出其质量的是(其中引力常量为G)( )A.冥王星围绕太阳运转的周期和轨道半径B.冥王星围绕太阳运转的线速度和轨道半径C.冥王星一个的卫星查龙(charon)围绕冥王星在圆形轨道上转动的线速度和轨道半径D.冥王星一个的卫星查龙(charon)围绕冥王星在圆形轨道上转动的周期和轨道半径解析：由行星绕太阳运行的动力学方程(G＝m＝mr)知周期与轨道半径与行星质量无关，故A、B错误；同理可知，假设知查龙卫星的线速度和半径或周期和半径可解得冥王星的质量：M＝＝.答案：CD非选择题局部共3小题，共40分.11.(13分)已知地球的半径约为6.4×106m，重力加速度g＝10m/s2又知月球绕地球的运动可以近似看做匀速圆周运动，试估算出月球到地心的距离.(结果只保存一位有效数字)9/9\n解析：此题的运动模型是：月球绕地球做匀速圆周运动，其规律是：万有引力提供向心力.已知常识是：月球运行周期约为30天.解决问题还涉及引力常量G和地球质量未知，解决的方法是多种的，可以是由经历确定GM＝gR2＝4×1014，也可由另外情境确定.方法一 对月球是由万有引力提供向心力，有：G＝mr式中M、m分别表示地球和月球的质量.(想方法替换M和G)对地面上的物体，忽略地球自转的影响，认为其重力等于万有引力，那么有m′g＝G式中m′为地面上某一物体的质量：由以上两式消去G、M、m、m′得：r＝＝m＝×108m＝4×108m.方法二 直接利用开普勒第三定律，月球绕地球做匀速圆周运动，有：＝＝m3/s2＝1013m3/s2R月＝＝m＝4×108m.答案：4×108m12.(13分)两个天体(包括人造天体)间存在万有引力，并具有由相对位置决定的势能.如果两个天体的质量分别为m1和m2，当它们相距无穷远时势能为零，那么它们的距离为r时，引力势能Ep＝－G.发射地球同步卫星时，一般是把它先送入较低的圆形轨道，如以下图，再经过两次点火，即先在图中a点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫星得到加速，进入图中的椭圆轨道Ⅱ；在轨道Ⅱ的远地点b处第二次点火，卫星再次被加速，此后，卫星沿图中的圆形轨道Ⅲ(同步轨道)运动.设某同步卫星的质量为m，地球半径为R，轨道Ⅰ距地面非常近，轨道Ⅲ距地面的距离近似为6R，地面处的重力加速度为g，并且每次点火经历的时间都很短，点火过程中卫星减少的质量可以忽略.(1)从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功是多大？(2)假设已知卫星在轨道Ⅱ上经过a点时的速率为，那么在b处点火的过程中燃气对卫星所做的功是多少？解析：(1)卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ做圆周运动，应满足：G＝m，G＝m得：Ek1＝mv＝G＝mgREk3＝mv＝mgR合力做的功W＝Ek3－Ek1＝mgR(－)＝－mgR.(2)卫星在a处的势能Ep1＝G＝－mgR9/9\n卫星在b处的势能Ep2＝G＝－mgR卫星在轨道Ⅱ上经过b处的速度为vb，由机械能守恒定律有：Epa＋Eka＝Epb＋Ekb解得：Ekb＝mv＝mgR故在a处燃气所做的功W＝Ek3－Ekb＝mgR.答案：(1)－mgR (2)mgR13.(14分)在有“科学界奥斯卡”之称的美国《科学》杂志2022年度世界科技大突破评选中，物理学中的“证明宇宙是由暗物质和暗能量‘主宰’”的观点名列榜首，成为当今科技突破中的头号热点.世界科技的开展显示，暗物质、暗能量正成为天体物理学研究的重点.宇宙中的暗物质是不能直接观测到的东西，存在的依据来自子螺旋转的星系和星团，这些星系和星团以自身为中心高速旋转而没有飞散开去，仅靠自身质量产生的引力是远缺乏以把它们集合在一起的，一定存在暗物质，它的吸引力足以把这些旋转的星系牢牢抓住.根据对某一双星系统的光学测量确定该双星系统中每一个星体的质量都是M，两者相距L(L远大于星体的直径)，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.(1)假设没有其他物质存在，试推算该双星系统的运动周期T.(2)假设实验上观测到的运动周期为T′，且T′∶T＝1∶(N＞1)，为了解释观测周期T′和(1)中理论上推算的双星运动的周期T不同，目前有一种理论认为，在宇宙中可能存在一种用望远镜也观测不到的暗物质.作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.解析：(1)双星均绕它们的连线中点做圆周运动，设运动的周期为T，根据万有引力提供向心力，有：G＝M··()2解得：周期T＝πL.(2)根据观测结果，星体运动的周期T′＜T，说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它还受到其他指向中心的作用力.由题意知，这一作用力来源于均匀分布的暗物质.均匀分布在球内的暗物质对双星系统的作用与一个质量等于球内暗物质的总质量M′而位于中点处的质点相同，考虑到暗物质作用后双星的运动周期即为T′，那么有：G＋G＝M··()2由题设条件可知，T′∶T＝1∶联立解得：M′＝M设所求暗物质的密度为ρ，有：ρ·π·()3＝M解得：ρ＝.答案：(1)πL (2)9/9
