第26章二次函数26.1二次函数学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决相关问题.3.能从实际问题中抽象出二次函数模型.（难点）自主学习一、知识链接1.（1）若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的_________，x叫做______________.（2）形如y=_____________(______≠0)的函数是一次函数，当b=0时，它是_______________函数；形如y=_____________(______≠0)的函数是反比例函数.2.用含a的代数式填空：（1）矩形ABCD的宽为acm,长比宽的2倍多1cm,则矩形的长为______________cm,矩形的面积S=_____________cm2；（2）某商店销售一种水果，进价为3元/kg，售价为a元/kg,每天可销售20kg,则一天的销售额为___________元，利润为____________元.二、新知预习（预习课本P2-4）填空并完成练习：形如y=___________________(a,b,c是常数，____≠0）的函数叫做二次函数.练习：下列函数中，是二次函数的有______________(填序号）：①S=2x2-x+3;②y-x2=0；③y=x2+;④y=ax2+bx+c;⑤y=(x+2)(x-2)-x2.合作探究一、要点探究探究点1：二次函数的定义问题1：如图，总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？（1）填表：AB的长x(m）123456789BC的长(m）12面积y(m2)48（2）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，则BC的长为___________m（用含x的代数式表示）;（3）x的取值范围为_______________________;
（4）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，即y是x的函数，试写出这个函数的关系式:_____________________.问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?(1)设每件商品降价x元，则一天的销量增加______件，一天的销量为___________件（用含x的代数式表示）此时每件商品的售价为________元，每件商品的利润为_________元；(2)写出x的取值范围：_______________________;(3)设每天的利润为y元，易知y是x的函数，试写出这个函数的关系式:_____________________.思考：观察所得的两个函数关系式，他们有什么共同点？它们都是用自变量的来表示的．【要点归纳】二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．ax2叫做二次项，a为二次项系数；bx叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项,注意：（1）关系式都是整式；（2）自变量的最高次数是二次；（3）二次项系数不等于零.【典例精析】例1当函数y=（a-1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）A．a=1B．a=-1C．a≠-1D．a≠1【针对训练】当m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数？易错提醒：解决此类问题需要注意二次项系数a≠0这一限制条件.探究点2：从实际问题中抽象出二次函数模型例2如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．分析：根据题意和图形，可得两个等量关系：①S=AB×;②BC+AB=24.则当AB=x时，BC=；由AB＞0可知x;由_______＞0可知x＜.易错提醒：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围【针对训练】写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出圆的面积y（cm2）与它的直径x（cm）之间的函数关系式；（2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系式．二、课堂小结二次函数的定义形式相关概念判别方式y=__________(a≠0，a，b，c是常数)ax2叫做，为二次项系数；bx叫做，___为一次项系数；c为.右边是整式；自变量的最高次数是2；二次项系数不等于0.从实际问题中抽象二次函数模型①找：找等量关系；②列：用含自变量的代数式表示相关量，再根据等量关系列出函数关系式；③定：确定自变量的取值范围当堂检测1.下列函数中是二次函数的是（ ）A.y=B.y=（x+3）2-x2C．y=D.y=x（x-1）2.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（ ）A．y=a（1+x）2B．y=a（1-x）2C．y=（1-x）2+aD．y=x2+a3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为.4.已知y=（m-2）+3x+6是二次函数，求出它的表达式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．5.某批发市场批发某种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y=ax2+bx（其中a≠0，a，b为常数，x≥0），且进货量x为1吨时，销售利润y为1.4万元；进货量x为2吨时，销售利润y为2.6万元．求y（万元）与x（吨）之间的函数关系式．
参考答案自主学习一、知识链接1.（1）函数自变量（2）kx+bk正比例k2.(1)(2a+1)a(2a+1)(2)20a20（a-3）二、新知预习ax2+bx+ca练习：①②合作探究一、要点探究探究点1：二次函数的定义问题1（1）填表如下：AB的长x(m）123456789BC的长(m）18161412108642面积y(m2)183242485048423218（2）（20-2x）（3）0＜x＜10（4）y=x（20-2x）=-2x2+20x(0＜x＜10)问题2（1）100x（100+100x）(10-x)(10-x-8)(2)0≤x≤2（3）y=(10-x-8)（100+100x）=-100x2+100x+200(0≤x≤2)思考二次整式【典例精析】例1D【针对训练】解：由题意得m2-m≠0，则m≠0且m≠1.探究点2：从实际问题中抽象出二次函数模型【典例精析】例2分析：BC（或AD）324-3x＞0BC8解：（1）S=BC×AB=（24-3x）x=-3x2+24x.由题意得24-3x＞0，解得x＜8，则自变量x的取值范围为0＜x＜8. （2）由题意得24-3x≤9，解得x≥5.由（1）知0＜x＜8，则5≤x＜8．【针对训练】解：（1）y=,二次函数.（2）S=，二次函数.
二、课堂小结ax2+bx+c二次项a一次项b常数项当堂检测1.D2.A3.y=-10x2+560x-73504.解：由题意可知解得m=-1.当m=-1时，二次函数为y=-3x2+3x+6，其二次项系数为-3，一次项系数为3，常数项为6.5.解：由题意得解得∴y（万元）与x（吨）之间的函数关系式为y=-0.1x2+1.5x．
