26.2二次函数的图象与性质3.求二次函数的表达式学习目标：1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）自主学习一、知识链接1.已知一次函数y=kx+3过点（1,2），则k=_________.2.已知某反比例函数的图象经过点（2，-4），则该反比例函数的表达式为__________.3.说一说：（1）反比例函数y=中，待定系数有几个？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？（2）一次函数y=kx+b中，有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？思考：对于二次函数y=ax2+bx+c,有几个待定系数？需要知道几个点的坐标能确定它的表达式？二、新知预习填空并完成练习1.已知二次函数y=ax2的图象经过点(1,1),则a=_________;2.已知二次函数y=ax2+k的图象的顶点坐标为（0,3），且经过点（1,5），则该二次函数的表达式为__________.3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1,6），（-1，2），求该二次函数的表达式.4.已知某二次函数的图象经过点（2,6），（0,10），（1,7）三点，求该二次函数的表达式.【自主归纳】求二次函数表达式的方法：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入图象上三个点的坐标，得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.练习：一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式.合作探究一、要点探究探究点1：一般式法求二次函数的表达式【典例精析】例1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象,经过A（2，0），B（0，-1），C（4，5）三点．求二次函数的表达式．【针对训练】下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，试求出这个二次函数的表达式.x－3－2－1012y010－3－8－15探究点2：顶点法求二次函数的表达式问题已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-2，-16），（4，-16），且函数的最大值为2，你能求出此函数的表达式吗？（1）由题意，可知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为.方法一：将点（-2，-16），（4，-16），代入y=ax2+bx+c，得解得所以y=_________________.____________________,__________________,（2）二次函数y=ax2+bx+c通过配方，可转化为y=a(x-h)2+k的形式，若给定顶点坐标后，即可知道_____、_______的值，再将另外一个点的坐标代入，即可得a的值.方法二：∵y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为，可设y=a(x-_____)2+_____.将点（-2，-16）代入可得a(-2-_____)2+_____=-16,解得a=_______.∴y=___(x-_____)2+_____=_______________________.【要点归纳】顶点法求二次函数的方法已知抛物线的顶点坐标，设函数表达式是y=a(x－h)2+k，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－h)2+k；②先代入顶点坐标，得到与a,h,k有关的一次方程（组）；③将另一点的坐标代入一次方程（组）求出未知参数的值；④写出函数表达式.【典例精析】例2已知二次函数的顶点坐标为（2，-2），且其图象经过点（1，-1），求此二次函数的表达式．【针对训练】二次函数图象经过点A（4，-3），当x=3时，函数有最大值-1，求二次函数的表达式．,探究点3：交点法求二次函数的表达式（拓展）问题已知一个二次函数的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3）三点．求此二次函数的表达式.方法一：思考：将y=x2-2x-3右边的整式因式分解，可得y=（x+_____)（x-_____）,对比点A，B的坐标，你有什么发现？方法二：解：设二次函数表达式为y=a（x+_____）（x-_____），∵抛物线过点C（0，-3），∴-3=a（0+_____）（0-_____），解得a=_____，∴y=___×（x+_____）（x-_____），∴二次函数的表达式y=_______________________．【要点归纳】交点法求二次函数表达式的方法已知抛物线与x轴的交点，设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)的方法，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.【典例精析】例3分别求出满足下列条件的二次函数的表达式．（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；（3）如图，图象经过A，B，C三点．二、课堂小结待定系数法求二次函数表达式已知条件所选方法已知三点坐标用一般式法：y=ax2+bx+c,已知顶点坐标或对称轴或最值用顶点法：y=a(x－h)2+k已知抛物线与x轴的两个交点用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)(x1，x2为交点的横坐标)当堂检测1.已知二次函数y=ax2-1的图象经过点（1，-2），那么a的值为（ ）A．-2B．2C．1D．-12.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），则抛物线对应的函数表达式为（ ）A．y=x2-2x+2B．y=x2-2x-2C．y=-x2-2x+1D．y=x2-2x+13.已知二次函数y=ax2+4x+c，当x等于-2时，函数值是-1；当x=1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为.4.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=-1，则这个二次函数的表达式为.5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-3，0），（2，-5），（-2，3）．(1)试确定此二次函数的表达式；(2)写出该函数的对称轴及顶点坐标.6.在二次函数y=ax2+bx+c中，部分x，y的对应值如下表：x…-10123…y…-123m-1…（1）直接写出表格中m的值；（2）求该函数的表达式.,参考答案自主学习一、知识链接1.-12.y=3.答：（1）反比例函数y=中，待定系数有1个，通常需要已知1个点的坐标求出它的表达式.（2）一次函数y=kx+b中，有2个待定系数，通常需要已知2个点的坐标求出它的表达式.二、新知预习1.12.y=2x2+33.解：将点（1,6），（-1，2）代入y=x2+bx+c，得解得则二次函数表达式为y=x2+2x+3.4.解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点（2,6），（0,10），（1,7）代入，得解得则该二次函数的表达式为y=x2-4x+10.练习：解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点(－1，10)，(1，4)，(2，7)代入，得解得则该二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.合作探究一、要点探究探究点1：一般式法求二次函数的表达式【典例精析】例1解：根据题意得解得∴二次函数的表达式为y＝x2−x−1．【针对训练】解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-3,）代入y=ax2+bx+c得解得∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.探究点2：顶点法求二次函数的表达式问题（1）（1,2）（1,2）-2x2+4x(2)hk（1,2）1212-2-212-2x2+4x【典例精析】例2解：设二次函数的表达式为y=a（x-2）2-2.∵图象经过点（1，-1），∴-1=a（1-2）2-2，解得a=1，∴二次函数的表达式为y=（x-2）2-2．【针对训练】解：由题意可知此抛物线顶点坐标为（3，-1）,设其表达式为y=a（x-3）2-1．将点（4，-3）代入得-3=a-1解得a=-2，∴此抛物线的表达式为y=-2（x-3）2-1探究点3：交点法求二次函数的表达式（拓展）问题方法一解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3）代入得解得即二次函数的表达式y=x2-2x-3．思考：13方法二13131113x2-2x-3【典例精析】例3解：（1）∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，∴图象经过另一点(3，0).∴设该二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3).将点(0，-3)代入，得-3=a·(-1)(-3).解得a=-1.∴该二次函数的表达式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.（2）∵图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，-3)，设抛物线的表达式为y=a(x+2)2+3，把(1，-3)代入，得a(1+2)2+3=-3，解得a=∴抛物线的表达式为y=（3）根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）三点，代入可得解得∴所求的二次函数的表达式是y=x2-2x-3.当堂检测1.D2.B3.y=2x2+4x-14.y=-x2-2x+35.解：（1）设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点（-3，0），（2，-5），（-2，3）,代入得解得即二次函数的表达式y=-x2-2x+3．(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,则抛物线的对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,4）.6.解：（1）从表格看：函数的对称轴为直线x=1，x=2与x=0是关于对称轴的对称点，其y值相同，故m=2.（2）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的表达式为y=a （x-1）2+3.∵过点（0，2），∴2=a （0-1）2+3．∴a=-1．∴y=-（x-1）2+3=-x2+2x+2，∴该函数的表达式为y=-x2+2x+2．
