26.2二次函数的图象与性质1.二次函数y=ax2的图象与性质学习目标：1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.（重点）2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质.（难点）3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题.自主学习一、知识链接1.一次函数的图象是___________________,反比例函数的图象是_______________.2.用描点法画函数图象的步骤：_______________、___________、__________.3.下面是一次函数y=x-2的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？合作探究一、要点探究探究点1：二次函数y=ax2的图象画一画在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）列表如下：x…-2-1.5-1011.52…y=2x2……y=-2x2……（2）在如图所示的坐标系中，描点，连线：（3）观察函数y=2x2与y=-2x2的图象，写出它们的共同点(至少填写三条）：①：____________________________________________;②：____________________________________________;③：____________________________________________.写出它们的不同点(至少填写三条）：①：____________________________________________;②：____________________________________________;③：____________________________________________.
【要点归纳】函数y=ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴是y轴（或直线x=0）,抛物线与坐标轴的交点，叫做抛物线的顶点.其顶点坐标为（0,0）.【典例精析】例1在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．【针对训练】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．【要点归纳】对于抛物线y=ax2，当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；且|a|越大，抛物线的开口越小.练一练1.函数的图象的开口，对称轴是，顶点是；2.函数的图象的开口，对称轴是，顶点是，顶点是抛物线的最点；探究点2：二次函数y=ax2的性质观察与思考图①图②问题1如图①，观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？问题2如图②，观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？【自主归纳】 抛物线y＝ax2的性质抛物线y＝ax2（a＞0）y＝ax2(a＜0)顶点坐标对称轴位置开口方向增减性
最值【典例精析】例2已知正方形周长为xcm，面积为Scm2．（1）求S和x之间的函数关系式，并画出图象；（2）判断点（4,2），（8,4），（-4,1）是否在该函数的图象上.例3已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数表达式.【针对训练】已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=.例4已知二次函数y＝ax2.(1)若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2(填“>”“＝”或“<”)；(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2(填“>”“＝”或“<”)；(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法：①直接代入法:将x的值分别代入函数表达式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例4(1);②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例4(2)；③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例4(3).二、课堂小结二次函数y＝ax2的图象及性质画法描点法→在对称轴两侧对称取点图象抛物线→轴对称图形性质1.开口方向及大小；2.对称轴；3.顶点坐标4.增减性当堂检测1.抛物线y=5x2的顶点坐标是,对称轴是,在对称轴的侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是.
2.抛物线位置在x轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而；在对称轴的右侧,y随着x的增大而,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x0时,y<0.3.如图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是.4.已知抛物线y=ax2的图象经过点A（2，-8），求：（1）该抛物线的表达式；（2）判断点B（3，-18）是否在该抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标．5.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…-4-2024…y…41014…（1）在给定的坐标系中，画出该二次函数的图象；（2）求这个二次函数的表达式；（3）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1y2.参考答案自主学习一、知识链接1.直线双曲线2.列表描点连线3.解：①一次函数y=x-2的图象经过第一、三、四象限；②函数值y随x的增大而增大合作探究一、要点探究探究点1：二次函数y=ax2的图象
画一画（1）列表如下：x…-2-1.5-1011.52…y=2x2…84.52024.58…y=-2x2…-8-4.5-20-2-4.5-8…（2）描点、连线如图①所示.图①图②图③（3）相同点：①对称轴均为y轴②顶点坐标均为（0,0）③开口大小相同不同点：①开口方向不同；②y=2x2的图象有最低点，y=-2x2的图象有最高点；③当x＜0时，y=2x2的图象呈下降趋势，y=-2x2的图象呈上升趋势【典例精析】例1解：（1）列表如下：x…-3-1013…y=x2…303…x…-2-1012…y=x2…41014…描点、连线，如图②所示.【针对训练】解：（1）列表如下：x…-3-1013…y=x2…-30-3…
x…-2-1012…y=-x2…-4-10-1-4…描点、连线，如图③所示：练一练1.向上y轴（0,0）2.向下y轴（0,0）高3.向上y轴（0,0）低4.向下y轴（0,0）探究点2：二次函数y=ax2的性质问题1从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．问题2从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．【自主归纳】抛物线y＝ax2（a＞0）y＝ax2(a＜0)顶点坐标（0,0）（0,0）对称轴y轴y轴位置第一、二象限第三、四象限开口方向向上向下增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．最值最小值，为0最大值，为0【典例精析】例2解：（1）由题意得S=（x＞0）.画函数图象略.（2）点（4,2），（-4,1）不在该函数图象上，点（8,4）在该函数图象上.例3解:依题意有由①得m>－1，解②得m1=－2，m2=1，∴m=1，此时，二次函数的表达式为y=2x2.【针对训练】2例4＜＜y1＞y2＞y3当堂检测1.（0,0）y轴右左002.下方增大减小0≠3.k＞14.解：（1）把点A（2，-8）代入y=ax2，得-8=a×22，解得a=-2，则抛物线的表达式为y=-2x2；（2）∵-2×32=-18，∴点B（3，-18）在该抛物线上；（3）由题意得，-2x2=-50，解得x=±5，∴此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标为（5，-50）、（-5，-50）．5.解：（1）画图象略；（2）由图象可设该二次函数为y=ax2,将点（2，1）代入得4a=1,解得a=.则该二次函数的表达式为y=x2.
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