7.2空间点、直线、平面之间的位置关系第七章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解基本事实1—4和等角定理.备考指导本节的基本事实是立体几何位置关系的基础,复习时应结合图形和符号语言理解记忆.能准确把握对点、线、面及关系的逻辑表达,为后面空间位置关系的证明打好基础,培养空间想象的数学素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.基本事实体系\n\n2.由基本事实1,2得到的推论\n3.空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线①定义:把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.②画法:(通常用平面衬托)(2)空间两条直线的位置关系\n(3)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).\n问题思考分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗?不一定,如图,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.\n4.空间中直线与平面的位置关系\n5.空间中平面与平面的位置关系温馨提示平面与平面之间无特别说明,一般不讲“重合”.\n6.基本事实4与等角定理(1)基本事实4(2)等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.\n温馨提示定理中的两个角的三种位置情况:(1)两个角的两条边分别对应平行且方向相同,此时两个角相等;(2)两个角的两条边分别对应平行且方向相反,此时两个角相等;(3)两个角的两条边分别对应平行,且其中一条边方向相同,另一条边方向相反,此时两个角互补.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能平行.()(4)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,那么平面α,β相交,并记作α∩β=a.()(5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.()××√√×\n2.在空间中可以确定一个平面的条件是()A.两条直线B.一点和一条直线C.三个点D.一个梯形DA中,若两条直线是异面直线,则不能确定一个平面;B中,若点在直线上,则不能确定一个平面;C中,若三个点在同一条直线上,则不能确定一个平面;D中,梯形有两条边平行,而两条平行直线能确定一个平面.\n3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1D只有B1C1与EF在同一平面内,且相交,选项A,B,C中直线与EF都是异面直线,故选D.\n4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个结论:①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.其中正确的结论是.(填序号)③④①直线a与平面α可能相交于点P,故①不正确;②直线a与平面β可能相交,故②不正确;③④正确.\n5.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.AC=BDAC=BD,且AC⊥BD易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.(1)要使平行四边形EFGH为菱形,需满足EF=EH,即AC=BD;(2)要使四边形EFGH为正方形,需满足EF=EH,且EF⊥EH,即AC=BD,且AC⊥BD.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1平面的基本事实及其应用命题角度1证明点、线共面问题例1已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交,证明:这四条直线共面.证明如图所示.(方法一)∵a∥b,∴a,b确定平面α.又l∩a=A,l∩b=B,∴l上有两点A,B在α内,即直线l⊂α.∴a,b,l共面.同理,a,c,l共面,即c也在a,l确定的平面内.故a,b,c,l共面.\n(方法二)∵a∥b,∴a,b确定平面α.又A∈a,B∈b,∴AB⊂α,即l⊂α.又b∥c,∴b,c确定平面β.而B∈b,C∈c,∴BC⊂β,即l⊂β.∴b,l⊂α,b,l⊂β,而b∩l=B,∴α与β重合,故a,b,c,l共面.\n命题角度2证明点共线例2如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.证明(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.\n(方法二)∵AP∩AQ=A,∴直线AP与直线AQ确定平面APQ.又AB∩α=P,AC∩α=Q,∴平面APQ∩α=PQ.∵B∈平面APQ,C∈平面APQ,∴BC⊂平面APQ.∵R∈BC,∴R∈平面APQ,又R∈α,∴R∈PQ,∴P,Q,R三点共线.\n命题角度3证明线共点例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.\n证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B∥CD1,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA.∴CE,D1F,DA三线共点.\n解题心得1.点、线共面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(2)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面α,再证明其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:首先选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.3.证明三线共点问题,常用的方法是:先证明其中两条直线交于一点,再证明交点在第三条直线上.证明交点在第三条直线上时,一般先证明第三条直线为前两条直线所在平面的交线,再用基本事实3证明.\n对点训练1(1)如图所示,已知A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,求证:直线AD,BD,CD共面.证明因为D∉l,所以l与D可以确定平面α.因为A∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD⊂α.同理,BD⊂α,CD⊂α,所以AD,BD,CD共面.\n(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1和D1C1的中点,P,Q分别为EF和BD的中点,体对角线A1C与平面EFDB交于点H,求证:P,H,Q三点共线.证明因为EF⊂平面BDFE,P∈EF,所以P∈平面BDFE.同理,Q∈平面BDFE,所以P,H,Q∈平面BDFE.连接A1C1,AC,图略,由正方体的性质知A1C1∥AC,所以直线A1C1,AC确定平面ACC1A1,又P∈A1C1,Q∈AC,H∈A1C,所以P,H,Q∈平面ACC1A1,所以P,H,Q三点一定在平面BDFE与平面ACC1A1的交线上,故P,H,Q三点共线.\n(3)如图所示,在空间四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且.求证:①E,F,G,H四点共面;②直线FH,EG,AC共点.\n证明①如图,连接EF,GH,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD.∴GH∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四点共面.②易知直线FH与直线AC不平行,但共面,可设FH∩AC=M,则M∈平面EFHG,M∈平面ABC.∵平面EFHG∩平面ABC=EG,∴M∈EG,∴直线FH,EG,AC共点.\n能力形成点2空间两条直线的位置关系的判断例4(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交Dl1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.\n(2)如图所示,AB,CD是异面直线,求证:直线AC,BD也是异面直线.证明假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一平面内,设这个平面为α,由AC⊂α,BD⊂α,知A,B,C,D∈α.故AB⊂α,CD⊂α.这与AB和CD是异面直线矛盾,所以假设不成立,所以直线AC,BD是异面直线.解题心得解题时注意某些重要字眼,如“至少”“至多”,否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置关系这类问题时,除了作理论方面的推导论证外,也可利用特殊图形进行检验,作必要的合情推理.\n对点训练2如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)②④题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接GM,易知GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.故填②④.\n能力形成点3基本事实4及等角定理的应用例5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别为棱AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.\n证明(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,∴AM=A1M1,且AM∥A1M1,∴四边形AMM1A1为平行四边形,∴MM1=AA1,且MM1∥AA1.又AA1=BB1,且AA1∥BB1,∴MM1=BB1,且MM1∥BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.\n(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.又∠BMC和∠B1M1C1的两条边方向相同,∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1,∴∠BMC=∠B1M1C1.\n解题心得1.证明空间两条直线平行的方法:(1)定义法:证明两条直线在同一个平面内且两条直线没有公共点;(2)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.2.证明空间角相等的方法:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.\n对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:∠EA1F=∠E1CF1.\n证明如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,连接BM,F1M.∴四边形F1MBC为平行四边形.∴BM∥F1C.又BM∥A1F,∴A1F∥F1C.同理可得A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两条边分别对应平行,且方向都相反,∴∠EA1F=∠E1CF1.\n第三环节 学科素养提升\n思想方法——构造模型判断空间线面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面的位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.\n典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.(3)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个说法:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确的说法的序号是.答案:(1)D(2)无数(3)①④\n解析:(1)如图所示,在长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.\n(2)(方法一)如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与点M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因为CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.\n(3)借助长方体模型来解决本题.对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图a所示,故①正确;对于②,平面α,β可能垂直,如图b所示,故②不正确;对于③,平面α,β可能垂直,如图c所示,故③不正确;对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图d所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n,故④正确.\n解题心得1.构造法实质上是先结合题意构造符合题意的直观模型,再将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.2.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体,化抽象为直观去判断.
