2021年四川省泸州市中考数学试卷

2021年四川省泸州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（3分）（2021•泸州）2021的相反数是　　A．B．2021C．D．2．（3分）（2021•泸州）第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4254000人，将4254000用科学记数法表示为　　A．B．C．D．3．（3分）（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•泸州）函数的自变量的取值范围是　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•泸州）如图，在中，平分且交于点，，则的大小是　　第36页（共36页）\nA．B．C．D．6．（3分）（2021•泸州）在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴对称点的坐标为　　A．B．C．D．7．（3分）（2021•泸州）下列命题是真命题的是　　A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．（3分）（2021•泸州）在锐角中，，，所对的边分别为，，，有以下结论：（其中为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为　　A．B．C．D．9．（3分）（2021•泸州）关于的一元二次方程的两实数根，，满足，则的值是　　A．8B．32C．8或32D．16或4010．（3分）（2021•泸州）已知，，则的值是　　第36页（共36页）\nA．2B．C．3D．11．（3分）（2021•泸州）如图，的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，则的长是　　A．B．C．D．12．（3分）（2021•泸州）直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是　　A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.13．（3分）（2021•泸州）分解因式：　　．14．（3分）（2021•泸州）不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　　．15．（3分）（2021•泸州）关于的不等式组恰好有2个整数解，则实数的取值范围是　　．16．（3分）（2021•泸州）如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点在上，且，，相交于点，则的面积是　　．第36页（共36页）\n三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.17．（6分）（2021•泸州）计算：．18．（6分）（2021•泸州）如图，点在上，点在上，，，求证：．19．（6分）（2021•泸州）化简：．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分.20．（7分）（2021•泸州）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：1614131715141617141415141515141612131316（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；（2）上述样本数据的众数是　　，中位数是　　；（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．第36页（共36页）\n21．（7分）（2021•泸州）某运输公司有、两种货车，3辆货车与2辆货车一次可以运货90吨，5辆货车与4辆货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆货车和1辆货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排、两种货车将全部货物一次运完、两种货车均满载），其中每辆货车一次运货花费500元，每辆货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.22．（8分）（2021•泸州）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于，，与反比例函数的图象相交于点，，求的值．23．（8分）（2021•泸州）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里．（1）求观测点与点之间的距离；第36页（共36页）\n（2）有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距30海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里小时，求救援船到达点需要的最少时间．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.24．（12分）（2021•泸州）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．（1）求证：；（2）若，于点，，，求的值．25．（12分）（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，，三点．（1）求证：；（2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．第36页（共36页）\n①求的最大值；②点是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．第36页（共36页）\n2021年四川省泸州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（3分）（2021•泸州）2021的相反数是　　A．B．2021C．D．【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：2021的相反数是：．故选：．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2021•泸州）第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4254000人，将4254000用科学记数法表示为　　A．B．C．D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．3．（3分）（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是　　第36页（共36页）\nA．B．C．D．【分析】分别得出三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图即可．【解答】解：三棱柱、圆柱的主视图都是长方形，圆锥的主视图是三角形，球的主视图是圆，故选：．【点评】本题考查三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图，明确视图的意义是正确判断的前提．4．（3分）（2021•泸州）函数的自变量的取值范围是　　A．B．C．D．【分析】根据二次根式的意义和二次根式作分母时不能为0可知：，可求的范围．【解答】解：要使函数有意义，则，解得：，故选：．【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：第36页（共36页）\n（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．5．（3分）（2021•泸州）如图，在中，平分且交于点，，则的大小是　　A．B．C．D．【分析】由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质和外角性质可求解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，故选：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是本题的关键．6．（3分）（2021•泸州）在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴对称点的坐标为　　A．B．C．D．第36页（共36页）\n【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得点坐标，然后再根据轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：点向右平移4个单位长度得到的的坐标为，即，则点关于轴的对称点的坐标是：．故选：．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化平移，以及关于轴对称点的坐标，解题的关键是掌握点平移坐标的变化规律．7．（3分）（2021•泸州）下列命题是真命题的是　　A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．【解答】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故不符合题意；、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故符合题意；、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故不符合题意；、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故不符合题意；故选：．【点评】第36页（共36页）\n本题考查平行四边形、特殊平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．8．（3分）（2021•泸州）在锐角中，，，所对的边分别为，，，有以下结论：（其中为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为　　A．B．C．D．【分析】已知，所以求出的度数即可使用题中的结论，得到关于的方程，再求圆的面积即可．【解答】解：，，，，，，故选：．【点评】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的内角和定理，实数的运算，解题的关键是：求出的度数，使用题中的结论，得到关于的方程．9．（3分）（2021•泸州）关于的一元二次方程的两实数根，，满足，则的值是　　A．8B．32C．8或32D．16或40【分析】先根据根的判别式求得第36页（共36页）\n的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而求得或，从而求得，把原式变形，代入计算即可．【解答】解：由题意得△，，关于的一元二次方程的两实数根，，满足，则，，，解得或（舍去），，，原式；故选：．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．10．（3分）（2021•泸州）已知，，则的值是　　A．2B．C．3D．【分析】把100变形为，两个条件相乘得，整体代入求值即可．【解答】解：，，第36页（共36页）\n原式，故选：．【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是：把100变形为，两个条件相乘得，整体代入求值．11．（3分）（2021•泸州）如图，的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，则的长是　　A．B．C．D．【分析】如图，构建如图平面直角坐标系，过点作于．想办法求出，两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点作于．是直径，，，，，是的切线，第36页（共36页）\n，，，四边形是矩形，，，，设，则，，，，，，直线的解析式为，直线的解析式为，由，解得，，，，解法二：设交于,利用求解即可．故选：．【点评】第36页（共36页）\n本题考查切线的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考选择题中的压轴题．12．（3分）（2021•泸州）直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是　　A．B．C．D．【分析】先写出直线的解析式，根据直线和抛物线有两个不同的交点，由直线和抛物线解析式得出关于的一元二次方程，通过判别式△，求出的取值，再根据对称轴在轴右侧，得出的取值，故可以判断正确．【解答】解：直线过点且与轴垂直，直线为：，二次函数的图象与直线有两个不同的交点，，整理得：，△，，又二次函数对称轴在轴右侧，，，，第36页（共36页）\n故选：．【点评】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，直线与抛物线的交点等知识，关键是对二次函数的图象和性质的掌握．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.13．（3分）（2021•泸州）分解因式：　　．【分析】先提取公因式4，再用平方差公式因式分解．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，考核学生的计算能力，解题的关键是把1看作．14．（3分）（2021•泸州）不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　　．【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：袋子中共有个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为3，从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．15．（3分）（2021•泸州）关于的不等式组恰好有2个整数解，则实数第36页（共36页）\n的取值范围是　　．【分析】先解不等式组得出，根据不等式组恰有2个整数解得出，解之即可得出答案．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组恰好有2个整数解，，解得：，故答案为：．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组．16．（3分）（2021•泸州）如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点在上，且，，相交于点，则的面积是　　．【分析】根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到的长，然后通过图形可知，的面积的面积的面积，代入数据计算即可．【解答】解：作于点，作于点，如右图所示，正方形的边长为4，点是的中点，点在上，且，，，，第36页（共36页）\n，，，，，设，则，，，，，，即，解得，，的面积是：，故答案为：．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答．第36页（共36页）\n三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.17．（6分）（2021•泸州）计算：．【分析】利用0指数幂、负整数指数幂．，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；【解答】解：．．【点评】本题考查了实数的运算，0指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值等知识．掌握运算法则是此题的关键．18．（6分）（2021•泸州）如图，点在上，点在上，，，求证：．【分析】要证只要证明即可，而证明，则可得．【解答】证明：在与中，．．．第36页（共36页）\n【点评】考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．19．（6分）（2021•泸州）化简：．【分析】先计算括号内分式的加法，然后将分子因式分解，继而将除法转化为乘法，最后约分即可．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分.20．（7分）（2021•泸州）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：1614131715141617141415141515141612131316（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；（2）上述样本数据的众数是　14万元　，中位数是　　；（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．第36页（共36页）\n【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到销售额14万元和16万元的天数，然后即可将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据，可以直接写出样本数据的众数，计算出样本数据的中位数；（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．【解答】解：（1）由题目中的数据可得，销售额为14万元的有6天，销售额为16万元的有4天，补全的条形统计图如右图所示；（2）由条形统计图可得，样本数据的众数是14万元，中位数是（万元），故答案为：14万元，14.5万元；第36页（共36页）\n（3）（万元），答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是14.65万元．【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、加权平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确条形统计图的特点，会计算一组数据的中位数和加权平均数．21．（7分）（2021•泸州）某运输公司有、两种货车，3辆货车与2辆货车一次可以运货90吨，5辆货车与4辆货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆货车和1辆货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排、两种货车将全部货物一次运完、两种货车均满载），其中每辆货车一次运货花费500元，每辆货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．【分析】（1）设1辆货车一次可以运货吨，1辆货车一次可以运货吨，根据3辆货车与2辆货车一次可以运货90吨，5辆货车与4辆货车一次可以运货160吨列出方程组解答即可；（2）设货车运输吨，则货车运输吨，设总费用为元，列出的一次函数表达式，化简得随的增大而减小；根据、两种货车均满载，得，都是整数，分类列举得到符合题意得方案，最后根据费用越少，越大得到费用最少的方案．【解答】解：（1）设1辆货车一次可以运货吨，1辆货车一次可以运货吨，根据题意得：，解得：，答：1辆货车一次可以运货20吨，1辆货车一次可以运货15吨；第36页（共36页）\n（2）方法一：设货车运输吨，则货车运输吨，设总费用为元，则：，，随的增大而减小．、两种货车均满载，，都是整数，当时，不是整数；当时，；当时，不是整数；当时，不是整数；当时，；当时，不是整数；当时，不是整数；当时，；第36页（共36页）\n当时，不是整数；故符合题意的运输方案有三种：①货车2辆，货车10辆；②货车5辆，货车6辆；③货车8辆，货车2辆；随的增大而减小，费用越少，越大，故方案③费用最少．方法二：设安排辆货车，则安排辆货车，,,,,都为整数，，5，8，故符合题意的运输方案有三种：①货车2辆，货车10辆；②货车5辆，货车6辆；③货车8辆，货车2辆；随的增大而减小，费用越少，越大，第36页（共36页）\n故方案③费用最少．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，解题的关键是：根据，都是整数得出符合题意的运输方案．五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.22．（8分）（2021•泸州）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，与两坐标轴分别相交于，，与反比例函数的图象相交于点，，求的值．【分析】（1）根据待定系数法，先求出反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出一次函数的解析式；（2）根据直线沿轴向下平移8个单位后得到直线求得的解析式，然后求出点，得坐标，根据勾股定理求得的长度；联立一次函数和反比例函数得到点，的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，根据勾股定理求得的长度，问题即可迎刃而解．【解答】解：（1）反比例函数得图象过点，点，，，，，一次函数的图象过点，点，第36页（共36页）\n，解得：，一次函数的解析式为：；（2）直线沿轴向下平移8个单位后得到直线，直线的解析式为：，当时，，当时，，，，，，，联立，得：，解得：，，将，代入得：，，经检验：和都是原方程组的解，第36页（共36页）\n，，如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两条平行线交于点，则，，，，，．【点评】本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：联立一次函数和反比例函数，求得点，的坐标．23．（8分）（2021•泸州）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里．（1）求观测点与点之间的距离；第36页（共36页）\n（2）有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距30海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里小时，求救援船到达点需要的最少时间．【分析】（1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得（海里），由，即可得结论；（2）作于点，证明四边形是矩形，可得（海里），（海里），根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间．【解答】解：（1）如图，过点作于点，根据题意可知：，海里，（海里），，第36页（共36页）\n（海里），（海里）．答：观测点与点之间的距离为50海里；（2）如图，作于点，，，，四边形是矩形，（海里），（海里），（海里），在中，根据勾股定理，得（海里），（小时）．答：救援船到达点需要的最少时间是小时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.24．（12分）（2021•泸州）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．（1）求证：；（2）若，于点，，，求的值．第36页（共36页）\n【分析】（1）如图1，连接，先根据切线的性质和同圆的半径相等，及等边对等角可得：，从而得结论；（2）证明，得，再证明，列比例式可得结论．【解答】（1）证明：如图1，连接，是的切线，，，，，是的直径，，，第36页（共36页）\n，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，即．【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，第二问证明列比例式计算的长是解本题的关键．25．（12分）（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，，三点．（1）求证：；（2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交第36页（共36页）\n轴于点．①求的最大值；②点是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．【分析】（1）由抛物线与两坐标轴分别相交于，，三点，求出，，坐标和三边长，用勾股定理逆定理判断是直角三角形即可（2）①由，可得直线解析式为，设第一象限，则，可得，即可得的最大值是9；②由，，得，以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，而，，用含的代数式表示，，分情况列出方程即可得的值，从而得到答案．【解答】解：（1）中，令得，令得，，，，，，，，，第36页（共36页）\n，，，而，，；（2）①设直线解析式为，将，代入可得：，解得，直线解析式为，设第一象限，则，，，，当时，的最大值是9；②由（1）知，，轴于，，，第36页（共36页）\n（一当与对应时，以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，而为中点，，，，，，由①知：，，，当时，，解得或（此时与重合，舍去），当时，，解得或（舍去），，，是中点，，，即，，（二当与对应时，以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，，第36页（共36页）\n与答案相同，同理与或答案相同，综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或．【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及抛物线与坐标轴交点、线段和的最大值、相似三角形判定等，解题的关键是分类列方程．微信公众号：中考数学压轴题第36页（共36页）