内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足，则=（ ）A．4B．5C．6D．82．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（ ）A．6里B．12里C．24里D．48里3．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]4．（5分）已知等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（ ）A．3B．4C．5D．65．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（ ）A．B．C．1D．2第16页共16页,6．（5分）m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A．m⊥l，n⊥l，则m∥nB．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥nD．α∥γ，β∥γ，则α∥β7．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A．甲B．乙C．丙D．不确定8．（5分）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为（ ）A．B．C．D．9．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（ ）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．211．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．12．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（ ）A．B．C．0≤a＜1D．a≥1 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为 ．第16页共16页,14．（5分）已知向量满足，且，则的夹角是 ．15．（5分）已知tanα=2，则的值等于 ．16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn，若an+1+（﹣1）nan=n，则S40= ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．18．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．第16页共16页,20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，Sn+1=4an+2．（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．21．（12分）已知f（x）=ln（a+x）﹣x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当时，． 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=，l与C交于A，B两点，求|AB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+3|．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，求实数a的取值范围． 第16页共16页,内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足，则=（ ）A．4B．5C．6D．8【解答】解：由，得，则，故选：B． 2．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（ ）A．6里B．12里C．24里D．48里【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：B． 3．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜第16页共16页,0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）A．（4，5）B．（﹣3，﹣2）∪（4，5）C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，∴不等式可能为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a＜1时，得a＜x＜1，则﹣3≤a＜﹣2，故a的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（4，5]．故选：D． 4．（5分）已知等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（ ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：等差数列{an}中，a5+a7=sinxdx=（﹣cosx）|=﹣（﹣1﹣1）=2，可得a4+a8=2a6=a5+a7=2，则a4+a6+a8=3，故选：A． 5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（ ）第16页共16页,A．B．C．1D．2【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，∴几何体的最长棱为PC==．故选：B． 6．（5分）m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A．m⊥l，n⊥l，则m∥nB．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥nD．α∥γ，β∥γ，则α∥β【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故错误；m∥α，n∥α，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．故选：D． 7．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A．甲B．乙C．丙D．不确定第16页共16页,【解答】解：如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一人说的是假话，相矛盾，如果甲说的是假话，乙丙说的是真话，那乙就是满分，故选：B 8．（5分）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=1，则1，化为：xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．∴xy的最大值为．故选：A． 9．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（ ）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴向右平移个单位而得到g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]=﹣2cos2x，∴令2x=kπ，k∈Z，可解得x=，k∈Z，k=1时，可得x=，故选：C． 10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，∴f′（1）=1第16页共16页,∵函数f（x）是偶函数，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故选：B． 11．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A． 12．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（ ）A．B．C．0≤a＜1D．a≥1【解答】解：∵函数，第16页共16页,若f（f（a））=2f（a），则f（a）≥1，当a＜1时，由3a﹣1≥1得：≤a＜1，当a≥1时，2a≥1恒成立，综上可得：，故选：A． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为 ﹣4 ．【解答】解：作表示的平面区域如下，z=x﹣2y可化为y=﹣，故当过点（0，2）时，﹣有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；故答案为：﹣4． 14．（5分）已知向量满足，且，则的夹角是 第16页共16页, ．【解答】解：向量满足，且，可得﹣=﹣6，﹣4=﹣6，可得cos=﹣．则的夹角是：．故答案为：． 15．（5分）已知tanα=2，则的值等于 ．【解答】解：=cos（2α++π）=﹣sin（2α）=﹣cos2α而cos2α=且tanα=2则原式=﹣2cos2α===故答案为： 16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn，若an+1+（﹣1）nan=n，则S40= 420 ．【解答】解：由an+1+（﹣1）nan=n，∴当n=2k时，有a2k+1+a2k=2k，①当n=2k﹣1时，有a2k﹣a2k﹣1=2k﹣1，②当n=2k+1时，有a2k+2﹣a2k+1=2k+1，③①﹣②得：a2k+1+a2k﹣1=1，①+③得：a2k+2+a2k=4k+1，∴a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2．第16页共16页,∴S40=4（1+3+…+19）+20=+20=420．故答案为：420． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=． 18．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜．【解答】解：（1）由题意得第16页共16页,解得，∴an=4n+2；（2），∴，∴． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，第16页共16页,∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF． 20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，Sn+1=4an+2．（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．【解答】（1）证明：由已知得a1+a2=4a1+2，解得a2=8，b1=a2﹣2a1=4．又有an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣（4an+2）=4an+1﹣4an，所以an+2﹣2an+1=2（an+1﹣2an），即bn+1=2bn，因此数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）得等比数列{bn}中b1=4，q=2，所以，，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，， 21．（12分）已知f（x）=ln（a+x）﹣x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当时，．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣1=，令f′（x）=0，解得：x=1﹣a，第16页共16页,∴x∈（﹣a，1﹣a）时，f′（x）＞0，x∈（1﹣a，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣a，1﹣a）递增，在（1﹣a，+∞）递减；（2）令g（x）=f（x）+=ln（x+a）+﹣x=ln（x+a）﹣＞0，故x+a＞，即a＞﹣x恒成立，令t=∈（0，1），则a＞et+恒成立，令φ（t）=et+，则φ′（t）=﹣，下面证明φ′（t）＜0，∵e﹣t＞﹣t+1，且t∈（0，1）时，（t﹣1）2﹣（﹣t+1）=t2﹣t＜0，∴e﹣t＞﹣t+1＞（t﹣1）2＞0，∴φ′（t）=et﹣＜0，∴φ（t）递减，∴a≥φ（0）=1，即a的范围是[1，+∞）；（3）由（2）可知：a=1，x＞0时，ln（x+1）＞，当x∈（0，）时，令m（x）=x﹣sinx，则m′（x）=1﹣cosx＞0，∴m（x）递增，∴m（x）＞0，即x＞sinx＞0，又n（x）=在（0，+∞）递增，故＞，故． 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=第16页共16页,，l与C交于A，B两点，求|AB|的值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），普通方程为x2+（y+6）2=25，极坐标方程为ρ2+12ρsinθ+11=0；（2）设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=﹣12sinα0，ρ1ρ2=11∵tanα0=，∴sin2α0=，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==6． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+3|．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|≤3，当x≤﹣3时2﹣x+x+3≤3解集为空集；当﹣3＜x＜2时2﹣x﹣（x+3）≤3解得﹣2＜x＜2；当x≥2时x﹣2﹣（x+3）≤3解得x≥2；故所求不等式的解集为[﹣2，+∞）．（2）因为|f（x）|=||x﹣2|﹣|x+3||≤|x﹣2﹣x﹣3|=5，所以﹣5≤f（x）≤5，即f（x）的最小值为﹣5，要不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，需f（x）min＜a2﹣6a，从而a2﹣6a+5＞0，解得a＜1或a＞5，所以a的取值范围为（﹣∞，1）∪（5，+∞）． 第16页共16页
