2021年四川省雅安市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．－2021的绝对值是（ ）A．2021B．－2021C．D．2．我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为（ ）．A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（ ）A．B．C．D．5．若的值为零，则x的值为（ ）A．-1B．1C．D．06．如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（ ）A．6B．4C．3D．57．甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（ ）试卷第6页，共6页
A．甲和乙左视图相同，主视图相同B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同C．甲和乙左视图相同，主视图不相同D．甲和乙左视图不相同，主视图相同8．下列说法正确的是（ ）A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为B．一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖C．统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：，，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式9．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A．6B．12C．12或D．6或10．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（ ）A．2B．4C．6D．811．如图，四边形为⊙的内接四边形，若四边形为菱形，为（ ）．试卷第6页，共6页
A．45°B．60°C．72°D．36°12．定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）A．0B．2C．3D．4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．从-1，，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是______．14．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______．15．如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．16．若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．17．如图，在矩形中，和相交于点O，过点B作于点M，交于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接，．有下列结论：①四边形为平行四边形，②；③为等边三角形；④当时，四边形DEBF是菱形．正确结论的序号______．三、解答题试卷第6页，共6页
18．（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中．19．为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计．组别成绩范围频数A60～702B70～80mC80～909D90～100n（1）分别求m，n的值；（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．20．某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．21．如图，为等腰直角三角形，延长至点B使，其对角线，交于点E．试卷第6页，共6页
（1）求证：；（2）求的值．22．已知反比例函数的图象经过点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．23．如图，在⊙中，是直径，，垂足为P，过点的的切线与的延长线交于点,连接．（1）求证：为⊙的切线；（2）若⊙半径为3，，求．试卷第6页，共6页
24．已知二次函数．（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；（2）在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．试卷第6页，共6页
参考答案：1．A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可解答．【详解】解：-2021的绝对值是2021，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．2．C【分析】根据科学记数法的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得14.1亿=故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解．3．C【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果．【详解】点关于y轴的对称点的坐标是故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键．4．A【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．【详解】答案第20页，共20页
解：A、正确，该选项符合题意；B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；C、原计算错误，该选项不符合题意；D、原计算错误，该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算及合并同类项，熟练掌握幂的运算及合并同类项是解题的关键．5．A【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【详解】根据题意知，，解得：，所以，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．6．A【分析】由DE是的中位线，可得AC=12，在中，点F为AC中点，可得BF=即可．【详解】解：∵DE是的中位线，∴AC=2DE=2×6=12，∵在中，，点F为AC中点，答案第20页，共20页
∴BF=，故选择A．【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键．7．D【分析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状．【详解】由甲俯视图知，其左视图为，由乙俯视图知，其左视图为，故它们的左视图不相同，但它们两个的主视图相同，都是．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和主视图．8．D【分析】根据简单事件的概率计算即可对A作出判断；根据概率的含义即可对B作出判断；根据方差反映了数据的波动程度这一特征即可对C作出判断；根据普查的适用范围即可对D作出判断．【详解】A、由题意知，从中任意摸出一个球共有5种可能的结果数，摸出的一个球是红球有2种可能的结果数，所以从中任意摸出一个球是红球的概率为，故A选项错误；B、一个抽奖活动的中奖概率为，只能说抽奖2次，可能有一次中奖，也可能一次不中甚至2次都中，故B选项错误；C、方差的大小反映了一组数据的波动程度，方差越小，数据的波动程度越小，由于答案第20页，共20页
且，所以乙的波动程度更小，说明乙的成绩更稳定，故C选项错误；D、由于一个班的学生人数不多，可以用普查的方法来调查，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了统计与概率部分中的有关知识，包括概率的含义及计算，数据收集中的普查，反映一组数据特征的方差，熟悉这些知识是解决本题的关键．9．D【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程得，当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；则该直角三角形的面积是6或，故选：D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．10．B【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得△CEG的面积．【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADG答案第20页，共20页
∴即∵∴∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键．11．B【分析】根据菱形性质，得；连接，根据圆的对称性，得；根据等边三角形的性质，得，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案．【详解】∵四边形为菱形∴连接∵四边形为⊙的内接四边形∴答案第20页，共20页
∴，为等边三角形∴∴∴故选：B．【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．12．C【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令,当时，即时，，令，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当时，，∴（），∵y随x的增大而增大，∴当x=2时，；当时，即时，，令，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当时，或，∴（或），∵的对称轴为x=1，∴当时，y随x的增大而减小，∵当x=2时，=3，∴当时，y<3；答案第20页，共20页
当，y随x的增大而增大，∴当x=-1时，=0；∴当时，y<0；综上，的最大值为3．故选C．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．13．【分析】三个数中任取两个不同的数作积，共有三个积，把这三个积按从小到大排列，则中间的数便是中位数．【详解】从-1，，2三个数中任取两个不同的数作积，分别是，，，把，-2，1这三个数按大小排列，则中间的数为，则中位数为．故答案为：．【点睛】本题考查了反映一组数据集中趋势的统计量：中位数，掌握中位数的概念是本题的关键．14．【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，答案第20页，共20页
从而完成求解．15．【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．【详解】解：∵ABDEF是正六边形，∴∵ABGH是正方形，∴∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．16．且【分析】根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．【详解】解：根据题意且答案第20页，共20页
∴∴∴k的取值范围是且．【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．17．①②④．【分析】通过全等三角形的判定和性质，证明EN=FM，EN∥FM，判断结论①；通过证明△AMB∽△BMC，然后利用全等三角形和相似三角形的性质判断结论②；假设结论成立，找出与题意的矛盾之处，判断结论③，结合等腰三角形的判定和性质求得DE=BE，可得结论④【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△ADN和△CBM中，∴△ADN≌△CBM，∴DN=BM，又∵DF∥BE，DE∥BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE=BF，答案第20页，共20页
∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，∵NE∥FM，∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，∵△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴CN=AM，∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，∴∠ABM=∠BCM，∴△AMB∽△BMC，∴，∵DN=BM，AM=CN，∴DN2=CM•CN，故②正确，若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，即∠ACD=30°，不符合题意，故③错误，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形；故④正确．故答案为：①②④．答案第20页，共20页
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．18．（1）2；（2）；【分析】（1）根据负整数指数幂、0指数幂、实数的绝对值和特殊角的三角函数值进行计算即可得解；（2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再将代入计算即可求得原式的值．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式将代入，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及实数的计算，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．19．（1）5,4；（2）分；（3）【分析】（1）根据扇形统计图、频数的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，根据加权平均值、用样本估计总体的性质计算，即可得到答案；（3）根据题意画出树状图，即可完成求解．答案第20页，共20页
【详解】（1）根据题意，得∴；（2）根据题意，得从A组和D组的中间值分别为：65，75，85，95∴全校学生的平均成绩为分（3）根据题意，树状图如下总共有：30种情况，其中2名学生都在D组的情况有12种∴2名学生都在D组的概率为：．【点睛】本题考查了抽样调查和概率的知识；解题的关键是熟练掌握扇形统计图、频数、加权平均数、用样本估计总体、树状图法求概率的性质，从而完成求解．20．（1）；（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；（2）根据题意得出每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式，由题意可得，，解得，，∴y与x之间的函数关系式；答案第20页，共20页
（2）由题意可得，w=（x-10）（-5x+150）=（，且x为整数），当时，，∴当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确求得每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式是解决问题的关键．21．（1）见解析；（2）【分析】（1）通过是等腰直角三角形可知，再由，即可证明；（2）设，则，，再根据即可得到用含的表达式表示的DF，进而即可求得的值．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形∴E为BD中点∵∴∴又∵为等腰直角三角形∴，∴∴∵∴在与中答案第20页，共20页
∴；（2）解：设∵为等腰直角三角形∴，，∵∴∴又∵∴∴∵，∴∵E是DB中点∴∴∴∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，三角形相似的性质与判定，还涉及了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，矩形的性质等相关内容，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键．22．（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解．答案第20页，共20页
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可；（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH性质，可得∠DOH=∠ADK即可．【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，∴该反比例函数的表达式为；（2）①设点C（），则B（2，），D（），∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，∴∠EBO=∠DBC，∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，∴点O，点B，点D三点共线；②设AC与OD交于K，∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，∴AD∥BC∥x轴，∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AF⊥x轴，AD∥x轴，∴AF⊥AD，∴∠BAD=90°，答案第20页，共20页
∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，∵，∴AO=AK，∴∠AOD=∠AKO，又∵∠AKO为△AKD的外角，∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，∵AD∥OH，∴∠DOH=∠ADK，∴∠AOD=2∠DOH．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接、，由题意可以得到，再利用，即可得出即可；（2）过点作于点，在中，，由（1）得，在和中，设，根据勾股定理建立方程求出，再求出即可．【详解】答案第20页，共20页
解：（1）证：连接、∵为的切线∴∵是直径，∴，又∵∴∴，又∵∴∴∴为⊙的切线；（2）过点作于点，如下图：由（1）得在中，，，∴答案第20页，共20页
∴（等面积法）∴设，则在和中，，∴解得∴【点睛】此题考查了圆的切线证明、勾股定理的应用、三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、勾股定理的应用和三角函数的有关概念．24．（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．【详解】解：（1）把代入，得：，解得：b=1，∴该二次函数的表达式为：；（2）令y=0代入，得：，答案第20页，共20页
解得：或，令x=0代入得：y=-3，∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，∴BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴是等腰直角三角形，∴MQ=BQ=t，∴△BPQ的面积==，∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，设，∵对的任意实数x，都使得成立，∴或，∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，答案第20页，共20页
∴-3≤b≤1．【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．答案第20页，共20页
