2021年四川省达州市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．﹣的相反数是（ ）A．﹣B．﹣C．D．2．如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（ ）A．B．C．D．3．实数在数轴上的对应点可能是（ ）A．点B．点C．点D．点4．下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．5．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）试卷第8页，共8页
A．B．C．D．6．在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．7．以下命题是假命题的是（）A．的算术平方根是2B．有两边相等的三角形是等腰三角形C．一组数据：3，，1，1，2，4的中位数是1.5D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8．生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…891011…例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（ ）A．28B．62C．238D．3349．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（）试卷第8页，共8页
A．B．C．D．10．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人．将392.5亿元用科学记数法表示应为___________元．12．如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为___________．13．已知，满足等式，则___________．试卷第8页，共8页
14．若分式方程的解为整数，则整数___________．15．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．三、解答题16．如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图像恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________．17．计算：．18．化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数．19．为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：试卷第8页，共8页
（1）这次抽样调查的总人数为__________人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为_________；（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？（3））学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．20．如图，在平面直角坐标中，的顶点坐标分别是，，．（1）将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（2）将平移后得到，若点的对应点的坐标为，求的面积21．2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，）试卷第8页，共8页
22．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？23．如图，是的直径，为上一点（不与点，重合）连接，，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求阴影部分面积．24．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为__________；试卷第8页，共8页
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为__________；【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，且．试卷第8页，共8页
①求的值；②连接，若，直接写出的长度．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；试卷第8页，共8页
参考答案：1．C【详解】分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．详解：-的相反数是．故选C．点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．A【分析】根据三视图中主视图的定义，由正面看即可判断．【详解】解：由三视图中主视图的定义，可知几何体的主视图为：故选：A．【点睛】本题考查了三视图中的主视图，解题的关键是：掌握三视图的定义，确定好主视图观看的方向即可判断出．3．D【分析】先求出的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．【详解】解：∵，∴，∴它表示的点应位于2和3之间，所以对应点是点D，故选：D．【点睛】本题考查了对无理数的估值及其在数轴上的表示，解决本题的关键是能正确估出的答案第24页，共24页
整数部分，本题较基础，考查了学生的基本功．4．C【分析】根据二次根式的性质和运算法则，负整数指数幂，积的乘方法则，逐一判断选项，即可．【详解】解：A.，不能合并，故该选项错误，B.，故该选项错误，C.，故该选项正确，D.，故该选项错误，故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的性质和运算，负整数指数幂，积的乘方法则，熟练掌握上述性质和法则，是解题的关键．5．B【分析】过点B作，过点C作，与相交于点E；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案．【详解】如下图，过点B作，过点C作，与相交于点E∵，∴答案第24页，共24页
∴∵与平行∴∵，∴∴故选：B．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．6．C【分析】根据k>0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．【详解】解：∵，∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线上的两点，且，∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，∵A（x1，y1）在第三象限，∵y1＜0，∴．故选：C．【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键．7．A【分析】根据所学知识对命题进行判断，得出真假即可．【详解】答案第24页，共24页
解：A，的算数平方根是，命题为假命题，符合题意；B，有两边相等的三角形是等腰三角形，命题为真命题，不符合题意；C，一组数据：3，，1，1，2，4的中位数是，命题为真命题，不符合题意；D，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，命题为真命题，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了命题的真假，解题的关键是：要结合所学知识对选项逐一判断，需要对基本知识点掌握牢固．8．D【分析】在表格中找到字母E对应的十进制数，根据满十六进一计算可得．【详解】由题意得，十六进制中对应十进制的数为：1×16×16+4×16+14=334，故选D．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握十进制与十六进制间的转换及有理数的混合运算顺序和运算法则．9．C【分析】由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，，点在第四象限，，，点的横坐标为，纵坐标为，，故选：C．【点睛】答案第24页，共24页
本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．10．D【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负②根据对称轴公式，判断的大小关系③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图像开口朝上，故，根据对称轴“左同右异”可知，图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0故①正确；②得故②错误；③经过又由①得c<0故③正确；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等当时，即即经过，即经过答案第24页，共24页
故④正确；⑤当时,,当时,函数有最小值化简得，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】解：1亿=108将392.5亿元用科学记数法表示392.5亿=3.925×102×108=3.925×1010元．故答案为：3.925×1010．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．【详解】解：∵x=3＜4答案第24页，共24页
∴把x=3代入，解得：，∴值为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键．13．-3【分析】先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．【详解】解：由，变形得，∴，∴，∴．故答案为：-3【点睛】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．14．【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．【详解】解：，答案第24页，共24页
整理得：若分式方程的解为整数，为整数，当时，解得：，经检验：成立；当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；综上:，故答案是：．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．15．．【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．【详解】如图所示，∵边长为6的等边，∴，又∵∴∴答案第24页，共24页
∴∴∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧此时连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值∵，，∴∴，∴又∵∴，∴即故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．16．【分析】利用等腰直角三角形特殊性质可求出，，，设，用含有的代数式表示点、点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出的值，进而确定的值．【详解】解：过点作，垂足为，则，答案第24页，共24页
在中，，，，又，，设，则，点，，，，又反比例函数的图象恰好经过点，．，解得，，，故答案为：-12．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质确定点、点的坐标是解决问题的关键．17．1【分析】直接通过整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值即可求解．【详解】解：原式故答案是：1．【点睛】本题考查了整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值，解题的关键是：掌握相关的运算法则，直接进行求解．18．，-2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解．【详解】答案第24页，共24页
解：原式；∵2，3，a为三角形的三边，∴，∴，∵为整数，∴，3或4，由原分式得，，∴且，∴，∴原式=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入求值是要注意所求的a的值保证原分式有意义．19．（1）200；；（2）560人；（3）【分析】（1）通过“唱歌”人数以及百分比求出总人数，然后根据条形统计图求出“舞蹈”的人数，利用其人数比上总人数，再乘360°即可得到对应圆心角的度数；（2）利用“书法”人数的占比乘1400即可；（3）通过列表法或者树状图的方法求解即可．【详解】（1）由题意，总人数为：（人），“舞蹈”的人数：（人），∴扇形统计图中，“舞蹈”对应的圆心角为：，故答案为：200；；（2）（人）答：估计选择参加书法的有560人．（3）记两名男生分别为：，，两名女生分别为：，，则列表如图所示：答案第24页，共24页
第一次第二次.共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种，∴恰好抽到一男一女的概率为，答：恰好抽到一男一女的概率为．【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，以及列表法或树状图的方法求概率，理解统计图中的信息，掌握列表法求概率是解题关键．20．（1）见解析；（2）11【分析】（1）延长至,使得；延长至,使得；延长至,使得；再连接即得旋转后对应的；（2）根据平移的规律求出，再连接点，得，将三角形分割乘两个三角形的面积之和，求出公共边的长即可求解．【详解】解：（1）延长至,使得；延长至,使得；延长至,使得；再连接即得旋转后对应的，如下图所示：答案第24页，共24页
（2）由题意，，，平移后得到，其中，根据平移的规律知，平移过程是向下和向右分别移动两个单位可得：，再连接点，得，其中交轴于点,如上图所示：由得出直线的方程如下：直线：当时，，，,故．【点睛】本题考查了图象的旋转和平移，求三角形面积，解题的关键是：掌握图象旋转和平移的性质，求不规则三角形面积可以分割为两个规则的三角形面积之和．21．桥墩AB的高约为72.4米．答案第24页，共24页
【分析】延长DC交AB于点E，利用直角三角形BCE计算出BE，利用直角三角形ADE计算出AE，从而AB可求．【详解】解：如图所示，延长DC交AB于点E，则ED∥BM．∴∠AED=∠ABM=90°，∠ECB=∠CBM=30°．在中，∵∠ECB=30°，BC=48米，∴（米）．（米）．∴（米）．在中，∵，∴（米）．∴（米）．答：桥墩AB的高约为72.4米．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键．22．（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】答案第24页，共24页
（1）若降价元，则每天销量可增加千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可．【详解】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，∴，整理得：，当时，，∴每天的利润为9600元；（2），∵，∴当时，取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令，得：，解得：，，∵要让利于民，∴，（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．23．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，先证明∠CDA=90°，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OCAE，从而求出∠ECO=90°，问题得证；（2）连接，过点作于点，证明四边形OCEG为矩形，求出，答案第24页，共24页
，，进而求出，∠COF=30°，分别求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面积，即可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）如图，连接OC，∵，∴∠CDA=90°，∵翻折得到，∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，∴∠EAD=2∠DAC，∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA∴∠COD=2∠OAC，∴∠COD=∠EAD，∴OCAE，∴∠ECO=180°-∠E=90°，∴OC⊥EC，∴是的切线；（2）如图，连接，过点作于点，∵∠E=∠ECO=90°，∴四边形OCEG为矩形．∵，，∴，∴，∴，∵于点，OA=OF=2，∴，∠FAO=∠AFO=30°，∵OCAE，∴∠COF=∠AFO=30°，∴矩形OCEG面积为，答案第24页，共24页
△OGF面积为，扇形COF面积为∴阴影部分面积=矩形OCEG面积-△OGF面积-扇形COF面积=．【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握相关定理并根据题意添加辅助线是解题的关键．24．（1）1；（2）；（3）证明见解析；（4）①；②．【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出答案；（2）先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定与性质即可得；（3）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得，再根据直角三角形的性质、对顶角相等可得，然后根据相似三角形的判定可得，由此即可得证；（4）①如图（见解析），先证出，从而可得，再分别在和中，解直角三角形可得，，然后根据翻折的性质可得，最后利用的面积公式求出的长，由此即可得出答案；②先根据（4）①中，相似三角形的性质可得，可求出，再根据翻折的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，从而可得答案第24页，共24页
，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：（1）四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，；（2）四边形是矩形，，，，，，在和中，，，；（3）如图，过点作交的延长线于点，答案第24页，共24页
∵，，∴，∴四边形为矩形，∴，，，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴；（4）①过作于点，连接交于点，∵，，答案第24页，共24页
∴，∴，在和中，，∴，∴，在中，，，∴，在中，，设，则，∴，即，∴或（舍去），∴，，由翻折的性质得：，，∴，解得，∴；②由（4）①已证：，，，，，解得，由翻折的性质得：，在中，，答案第24页，共24页
，在中，．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（4）①，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．25．（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．【详解】解：（1）∵过，∴∴，∴抛物线的解析式为：（2）在上取一点，使得，连接，答案第24页，共24页
∵对称轴．∴，，∴，∴∴∴当，，三点在同一点直线上时，最小为．在中，，∴即最小值为．（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，联立得答案第24页，共24页
是等腰，分别过两点作的垂线，交于点，过作轴，轴,,也是等腰直角三角形设，则，所以代入，解得,（不符题意，舍）同理，设，则，所以代入，解得,（不符题意，舍）②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则，答案第24页，共24页
设，则整理得：解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），，综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．答案第24页，共24页
