2021年四川省内江市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．－2021的绝对值是（ ）A．2021B．－2021C．D．2．从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为（ ）A．B．C．D．3．下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．4．某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是（ ）A．152，134B．146，146C．146，140D．152，1405．如图，，，，则的度数为（ ）A．B．C．D．6．下列计算正确的是（ ）A．B．试卷第7页，共7页
C．D．7．在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（ ）A．B．C．D．8．函数中，自变量的取值范围是（ ）A．B．且C．D．且9．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）A．4B．C．3D．10．某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）A．B．C．D．11．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）A．B．C．D．12．如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（ ）试卷第7页，共7页
A．B．C．D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．分解因式：__．14．有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为__．15．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为___．16．如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为__．17．若实数满足，则__．18．已知，在中，，，，则的面积为__．19．已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为__．20．如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点试卷第7页，共7页
到原点的最大距离为__．三、解答题21．计算：．22．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．23．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？试卷第7页，共7页
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．24．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；（3）若点在线段上，且，求点的坐标．26．为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元件）试卷第7页，共7页
售价（元件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？27．如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结，在（2）的条件下，求的长．28．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．试卷第7页，共7页
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参考答案：1．A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可解答．【详解】解：-2021的绝对值是2021，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．2．C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：4000亿，故选：．【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．3．D【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．故选D．答案第23页，共23页
【点睛】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握三视图.4．C【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】解：出现了2次，出现的次数最多，这组数据的众数是146个；把这些数从小到大排列为：121，122，134，146，146，152，则中位数是（个．故选：．【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．5．C【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果．【详解】解：如图，，，，，，．故选：．【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等以及三角答案第23页，共23页
的外角等于与它不相邻的两个内角的度数．6．B【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】解：、与不是同类项，故不符合题意．、原式，故符合题意．、原式，故不符合题意．、原式，故不符合题意．故选：．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．7．D【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可．【详解】解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，解得：．故这栋高楼的高度为36米．故选：．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．8．B【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．【详解】解：由题意得：，，答案第23页，共23页
解得：且，故选：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．9．B【分析】过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．【详解】解：过点作，交于点，是的外接圆，，，又，，，，在中，，，，，故选：．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．10．A【分析】设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原售价×（1-降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出每次降价的百分率．答案第23页，共23页
【详解】解：设每次降价的百分率为，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．D【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．【详解】解：点，分别为，的中点，，点，分别为，的中点，，，，△的面积，故选D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．12．D【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=答案第23页，共23页
∠BCD=30°，解直角三角形求得，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得结果．【详解】解：连接、，四边形是菱形，，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，与、与关于原点对称，、经过点，，，，作轴于，轴于，，，，，，答案第23页，共23页
，，故选：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．13．##【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握是解题的关键．14．【分析】卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式=满足条件的样本个数总体的样本个数，可求出最终结果．【详解】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根据概率公式，（轴对称图形）．故答案为：．【点睛】本题主要考查概率问题，属于基础题，掌握轴对称图形的性质以及概率公式是解题关键．答案第23页，共23页
15．且##a≠0且a≥-2【分析】根据题意可知，代入求解即可．【详解】解：一元二次方程ax2+4x﹣2＝0，，∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，∴且，即，解得：且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式，熟知：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，是解题的关键．16．##7.5【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．【详解】解：如图：四边形是矩形，，又，，，是的垂直平分线，，，又，答案第23页，共23页
，，，解得，，四边形是矩形，，，，是的垂直平分线，，，在和中，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．17．2020【分析】由等式性质可得，，再整体代入计算可求解．【详解】解：，，，答案第23页，共23页
．故答案为：2020．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为，是解题的关键．18．2或14#14或2【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．【详解】解：过点作边的高，中，，，，在中，，，①是钝角三角形时，，；②是锐角三角形时，答案第23页，共23页
，，故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．19．+##0.6875【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．【详解】解：设，则，，，．，，为非负实数，，解得：．当时，取最大值，当时，取最小值．，．．故答案为：【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．20．##答案第23页，共23页
【分析】取的中点，连接，，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求的长，由三角形的三边可求解．【详解】如图，取的中点，连接，，矩形，，，，，点是的中点，，，，点是的中点，，在中，，当点在上时，，的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．21．-3【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．答案第23页，共23页
【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．【详解】证明：（1），，即，，，在与中，，；（2）由（1）得：，，，，，四边形是平行四边形．【点睛】答案第23页，共23页
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．23．（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题；（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；（2）喜爱“体育”的人数为（名，补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；（4）列表如下：甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，答案第23页，共23页
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．米．【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】解：作于点，设米，在中，，则（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．答案第23页，共23页
解得：，则米．答：的高度是米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25．（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），．【分析】(1)将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式；(2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围；(3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标.【详解】解：（1）反比例函数经过，，反比例函数为，在比例函数的图象上，，，直线经过，，，解得，一次函数的解析式为；答案第23页，共23页
（2）观察图象，的的取值范围是或；（3）设，，，即，，解得，（舍去），点坐标为(，)．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.26．（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；（2）根据题意列不等式组解答；（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．【详解】解：（1）依题意得：，整理，得：，解得：，经检验，是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，答案第23页，共23页
根据题意得：，解得：，为整数，，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为，则，①当时，，随的增大而增大，当时，最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当时，，，（2）中所有方案获利都一样；③当时，，随的增大而减小，当时，最大，此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．27．（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．答案第23页，共23页
【详解】解：（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，的半径为2，，，如图，连接，答案第23页，共23页
是的直径，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如图，过点作于点，连接，答案第23页，共23页
在中，，，，．【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．28．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点，设抛物线的解析式为，解得，，或，在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为，直线经过、，答案第23页，共23页
设直线的解析式为，则，解得，，直线的解析式为；（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．，的值最大值时，的面积最大，，，时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，答案第23页，共23页
设交轴于点，则，，直线的解析式为，，作点关于的对称点，则直线的解析式为，设交轴于点，则，，综上所述，满足条件的点的坐标为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．答案第23页，共23页
