第二章第1讲 力的合成与分解,必备知识·整合一、力的合成1.合力与分力(1)定义:如果一个力产生的效果跟几个力共同作用产生的效果相同,这一个力就叫那几个力的合力,那几个力就叫这个力的分力。(2)关系:合力和分力是一种等效替代关系。,2.共点力作用在物体的同一点,或作用线的延长线交于一点的几个力。如图均为共点力。3.力的合成(1)定义:求几个力的合力的过程。,(2)运算法则①平行四边形定则:求互成角度的两个力的合力,可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。②三角形定则:把两个矢量首尾相连从而求出合矢量的方法。如图乙所示。,二、力的分解1.定义:求一个力的分力的过程。力的分解是力的合成的逆运算。2.遵循的原则:平行四边形定则或三角形定则。3.分解方法(1)效果分解法。如图所示,物体重力G的两个作用效果,一是使物体沿斜面下滑,二是使物体压紧斜面,这两个分力与合力间遵循平行四边形定则,其大小分别为G1=Gsinθ,G2=Gcosθ。,(2)正交分解法:将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。建立坐 标轴的原则:以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。三、矢量和标量1.矢量:既有大小又有方向的物理量,叠加时遵循平行四边形定则,如速度、力等。2.标量:只有大小没有方向的物理量,求和时按代数法则相加,如路程、时间等。,1.判断下列说法对错。(1)两个分力大小一定时,两分力方向间的夹角θ越大,合力越小。( )(2)合力一定时,两等大分力间的夹角θ越大,两分力越大。( )(3)力的分解必须按效果进行分解。( )(4)位移、速度、加速度、力和时间都是矢量。( )(5)两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。( )(6)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。( )√√✕✕✕✕,2.(人教版必修1·P64·T2改编)有两个力,它们的合力为0。现在把其中一个向东6N的力改为向南(大小不变),它们的合力大小为( )A.6N B.6N C.12N D.0B,3.(人教版必修1·P66·T2改编)一个竖直向下的180N的力分解为两个分力,一个分力在水平方向上并等于240N,则另一个分力的大小为( )A.60N B.240N C.300N D.420NC,考点一 力的合成关键能力·突破1.共点力合成的常用方法(1)作图法:从力的作用点起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点的对角线,量出对角线的长度,计算出合力的大小,量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。,(2)计算法:几种特殊情况的共点力的合成。类 型作 图合力的计算互相垂直F=tanθ=两力等大,夹角为θF=2F1cosF与F1夹角为两力等大且夹角为120°合力与分力等大,(3)力的三角形定则:将表示两个力的线段保持原来的方向依次首尾相接,从第一个力的起点,到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图所示。,2.合力大小的范围(1)两个共点力的合成:|F1-F2|≤F≤F1+F2。两个力的大小不变时,其合力随夹角的增大而减小,当两个力共线反向时,合力最小,为|F1-F2|;当两力共线同向时,合力最大,为F1+F2。(2)三个共点力的合成。①三个力共线且同向时,其合力最大为F=F1+F2+F3;②以这三个力的大小为边,如果能组成封闭的三角形,则其合力最小值为零,若不能组成封闭的三角形,则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。,3.多个共点力的合成方法:依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力,再求这个合力与第三个力的合力,依次类推,求完为止。,例1如图所示是剪式千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°,则下列判断正确的是( )A.此时两臂受到的压力大小均为5.0×104NB.此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105NC.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将增大D.若继续摇动把手,将汽车顶起,两臂受到的压力将减小D,审题关键(1)两个分力大小相等且夹角为120°时,合力与分力的大小关系如何?提示:合力大小等于分力大小(2)当合力一定时,夹角越小,则分力越小。,解析千斤顶受到的压力大小等于两臂受到的压力的合力,由于夹角θ=120°,所以两臂受到的压力大小均为1.0×105N,A错误;由牛顿第三定律可知,千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105N,B错误;若继续摇动把手,两臂间的夹角减小,而合力不变,故两分力减小,即两臂受到的压力减小,C错误,D正确。,解题感悟1.合力与分力是一种等效替代关系,不可同时作为物体所受的力。2.矢量是既有大小又有方向的物理量,但既有大小又有方向的物理量并不一定是矢量。如电流,有大小又有方向,但其运算法则满足算术法则,是标量。,3.解题中常用到的二级结论:(1)两个力的合力的大小范围:|F1-F2|≤F≤F1+F2。(2)两个分力F1和F2的合力为F,若已知合力(或一个分力)的大小和方向,又知另一个分力(或合力)的方向,则第三个力与已知方向不知大小的那个力垂直时有最小值。,1.[两个力的合力]如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π),下列说法中正确的是( )A.合力大小的变化范围是0≤F≤14NB.合力大小的变化范围是2N≤F≤10NC.这两个分力的大小分别为6N和8ND.这两个分力的大小分别为2N和8NC,2.[多个力的合力](多选)一物体位于光滑水平面上,同时受到三个水平共点力F1、F2和F3的作用,其大小分别为F1=42N、F2=28N、F3=20N,且F1的方向指向正北,下列说法中正确的是( )A.这三个力的合力可能为零B.F1、F2两个力的合力大小可能为20NC.若物体处于匀速直线运动状态,则F2、F3的合力大小为48N,方向指向正南D.若物体处于静止状态,则F2、F3的合力大小为42N,方向指向正南ABD,考点二 力的分解考向一 力的分解的两种方案1.按力的作用效果分解(思路图),2.正交分解法(1)定义:将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。(2)建立坐标轴的原则:一般选共点力的作用点为原点,在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上);在动力学中,往往以加速度方向所在直线和垂直加速度方向所在直线为坐标轴建立坐标系。(3)方法:物体受到多个力F1、F2、F3…作用,求合力F时,可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解。x轴上的合力Fx=+++…y轴上的合力Fy=+++…,合力大小F=合力方向:与x轴夹角为θ,则tanθ=。,例2如图所示,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45°,两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物,在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码,平衡后绳的ac段正好水平,则重物和钩码的质量之比m1∶m2为( )A.∶1 B.2∶1C.∶2 D.∶1C,解析解法一 力的效果分解法甲钩码对绳圈的拉力F等于钩码的重力m2g,将F沿ac和bc方向分解,两个分力分别为Fa、Fb,如图甲所示,其中Fb=m1g,由力的矢量三角形可得cosθ==,又由几何关系得cosθ=,联立解得m1∶m2=∶2。,解法二 正交分解法绳圈受到Fa、Fb和钩码的拉力F三个力作用,如图乙所示,将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解,由竖直方向受力平衡得m1gcosθ=m2g;由几何关系得cosθ=,联立解得m1∶m2=∶2。乙,解题感悟力的合成与分解方法的选择力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法,一般情况下,物体只受三个力的情形下,力的效果分解法、合成法解题较为简单,在三角形中找几何关系,利用几何关系或三角形相似求解;而物体受三个以上力的情况多用正交分解法,但也要视题目具体情况而定。,1.[正交分解](多选)如图所示,质量为m的木块在推力F作用下,在水平地面上做匀速运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ,那么木块受到的滑动摩擦力为( )A.μmgB.μ(mg+Fsinθ)C.μ(mg-Fsinθ) D.FcosθBD,2.[作用效果分解](2019课标Ⅲ,16,6分)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件,为使工件保持固定,将其置于两光滑斜面之间,如图所示,两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上,倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时,圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2,则( )A.F1=mg,F2=mgB.F1=mg,F2=mgC.F1=mg,F2=mgD.F1=mg,F2=mgD,解析以工件为研究对象,受力分析如图所示,重力与F1、F2的合力等大反向,根据共点力平衡条件得=cos30°,=cos60°,则F1=mg,F2=mg,故只有D选项正确。,已知条件示意图解的情况已知合力与两个分力的方向有唯一解考向二 力的分解的唯一性和多解性及极值问题,已知条件示意图解的情况已知合力与两个分力的大小在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)已知合力与一个分力的大小和方向有唯一解续表,已知条件示意图解的情况已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向在0<θ<90°时有三种情况:①当F1=Fsinθ或F1>F时,有一组解②当F1<fsinθ时无解③当fsinθ<f1<f时,有两组解若90°<θ<180°,仅f1>F时有一组解,其余情况无解续表,例3(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角,大小未知,另一个分力F2的大小为F,方向未知,则F1的大小可能是( )A.FB.FC.FD.FAC,解析如图所示,因F2=F>Fsin30°,故F1的大小有两种可能情况,有ΔF==F,则F1的大小分别为Fcos30°-ΔF和Fcos30°+ΔF,即F1的大小分别为F和F,A、C正确。,“死结”模型“活结”模型“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线考向三 力的合成与分解的应用——绳上的“死结”和“活结”模型,例4如图甲所示,细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体,∠ACB=30°;图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端G通过细绳EG拉住,EG与水平方向的夹角为30°,在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)。重力加速度为g。求:,(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比;(2)轻杆BC对C端的支持力;(3)轻杆HG对G端的支持力。答案(1)(2)M1g,方向与水平方向成30°指向右上方 (3)M2g,方向水平向右,解题感悟绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧(1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。(2)如果题目搭配杆出现,一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即动杆,“活结”搭配无转轴的杆即定杆。,1.[绳的活结模型](多选)如图,一光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O点;另一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块a,另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b,整个系统处于静止状态。若F方向不变,大小在一定范围内变化,物块b仍始终保持静止,则( )A.绳OO'的张力也在一定范围内变化B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化BD,解析系统处于静止状态,连接a和b的绳的张力大小T1等于物块a的重力Ga,C项错误;以O‘点为研究对象,受力分析如图甲所示,T1恒定,夹角θ不变,由平衡条件知,绳OO’的张力T2恒定不变,A项错误;以b为研究对象,受力分析如图乙所示,则FN+T1cosθ+Fsinα-Gb=0f+T1sinθ-Fcosα=0FN、f均随F的变化而变化,故B、D项正确。,2.[绳的“死结”与“活结”综合模型](多选)如图所示,A、B都是重物,A被绕过小滑轮P的细线所悬挂,B放在粗糙的水平桌面上;小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点;O'是三根线的结点,bO'水平拉着重物B,cO'沿竖直方向拉着弹簧;弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略,整个装置处于静止状态,g取10m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20N,则下列说法中正确的是( )A.弹簧的弹力为10NB.重物A的质量为2kgC.桌面对重物B的摩擦力为10ND.OP与竖直方向的夹角为60°ABC,解析O'点是三根线的结点,属于“死结”,而小滑轮重力及与细线间的摩擦力可忽略,故P处为“活结”。对P受力分析,由平衡条件得mAg=FO'a,FOP=2FO'acos30°,解得FO'a=20N,mA=2kg,B正确;OP的方向沿细线张角的角平分线方向,故OP与竖直方向间夹角为30°,D错误。对O'受力分析,由平衡条件得F弹=FO'asin30°,FO'b=FO'a·cos30°,对重物B有fB=FO'b,联立解得F弹=10N,fB=10N,A、C均正确。</fsinθ时无解③当fsinθ<f1<f时,有两组解若90°<θ<180°,仅f1>
