第四章曲线运动第5讲天体运动与人造卫星【教学目标】1、能灵活应用牛顿第二定律和万有引力定律，解析有关人造卫星的运动或行星的运动问题2、知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度，【重、难点】1、第一宇宙速度是卫星发射的最小速度，是卫星运行的最大速度2、天体运动与几何知识的综合题的解题思路和方法【知识梳理】（1）同步卫星可以定点在北京市的正上方。（）（2）不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的。（）（3）第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。（）21
（4）第一宇宙速度的大小与地球质量有关。（）（5）月球的第一宇宙速度也是7.9km/s。（）（6）同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。（）（7）若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。（）考点一人造地球卫星1．第一宇宙速度的推导（1）由G＝m，得：v＝；（2）由GM＝gR2，得：v＝。2．宇宙速度与运动轨迹的关系（1）v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。（2）7.9km/s＜v发＜11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。（3）11.2km/s≤v发＜16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。（4）v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。例1、我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月球运行的速率约为（）A．0.4km/sB．1.8km/sC．11km/sD．36km/s例2、（多选）2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是（ ）A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以21
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的考点二卫星运行参量的分析与比较1．四个分析：分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。G＝2．四个比较（1）同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。（2）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。（3）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。（4）赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力（或者说由万有引力的分力充当向心力），它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。例3、（多选）如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同，且小于c的质量，则（）地球abc21
A．b所需向心力最小B．b、c周期相等，且小于a的周期C．b、c的向心加速度相等，且大于a的向心加速度D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度例4、（多选）如图所示，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则（）epq地球A．v1>v2>v3B．v1<v3<v2C．a1>a2>a3D．a1<a3<a2变式1、（多选）据报道，我国的数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（）A．运行速度大于7.9km/sB．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大C．离地面高度一定，相对地面静止D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等变式2、（多选）已知同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．考点三卫星变轨问题分析21
1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。（2）在A点点火加速（发动机做正功），由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。2．三个运行物理量的大小比较（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。3．机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E34．卫星变轨的其他原因（1）由于对接引起的变轨；（2）由于空气阻力引起的变轨例5、我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（ ）21
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接变式3、我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )A．飞行器在B点处点火后，动能增加B．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期C．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度D．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π变式4、（多选）如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )21
A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/sB．该卫星在P点的速度大于7.9km/s，且小于11.2km/sC．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ考点四天体运动中的能量问题1．卫星（或航天器）在同一轨道上运动时，机械能不变。2．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为Ek=，由于重力加速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用Ep=mgh计算，而要用到公式（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）因此机械能为E=。同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。例6、质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为（）A．B．C．D．例7、（多选）神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是（ ）A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加21
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用考点五宇宙多星模型在天体运动中彼此相距较近，在相互间的万有引力作用下，围绕同一点做匀速圆周运动的星体系统称为宇宙多星模型。要充分利用宇宙多星模型中各星体运行的周期、角速度都相等这一特点，解题模板如下。1．宇宙双星模型（1）两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。（2）两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。（3）两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L。例8、两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必定以一定角速度绕二者连线上的某一点转动才不至于由于万有引力的作用而吸引在一起，已知两颗星的质量分别为m1和m2，相距为L，试求：（1）两颗星做圆周运动的轨道半径分别是多少；（2）这两颗星转动的周期。变式5、（多选）某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”21
质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中( )A．双星做圆周运动的角速度不断增大B．双星做圆周运动的角速度不断减小C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大2．宇宙三星模型（1）如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma．两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。（2）如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：＝ma．例9、（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是( )21
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4πC．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3．宇宙四星模型（1）如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。＝ma。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等（2）如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动＝ma外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等例10、（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法正确的是（）A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为21
C．四颗星表面的重力加速度均为D．四颗星的周期均为考点六卫星的追及相遇问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。典例精析例11、（多选）如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则（ ）A．经过时间，两行星第一次相距最远B．经过时间，两行星第一次相距最远C．经过时间，两行星将第二次相遇D．经过时间t=T2+T1，两行星将第二次相遇变式6、21
将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r1=2.3×1011m，地球的轨道半径为r2=1.5×1011m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为（）A．1年B．2年C．3年D．4年变式7、（多选）已知地球自转周期为T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是 （）A． B．C． D．考点七万有引力定律与几何知识的结合人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来。求解此类问题时，要根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，列式求解。（一）已知中心天体相对环绕星体的张角例12、有一颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为T，地球相对该卫星的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为（）21
A．B．C．D．变式8、（多选）宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则（ ）A．一天内飞船经历“日全食”的次数为B．飞船绕地球运动的线速度为C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为D．飞船周期为T＝（二）绕同一星体运行的星体间的连线例13、如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与AO连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为（ ）A．sinθ B．C．D.21
变式9、位于贵州的“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜（FAST）。通过FAST测得水星与太阳的视角为θ（水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角），如图所示。若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为（）θ水星FAST太阳A．年B．年C．年D．年（三）利用三颗卫星刚好实现地球赤道上任意两点之间保持无线电通信例14、利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（）A．1hB．4hC．8hD．16h（四）其他类型例15、（多选）假设地球同步卫星绕地球运行的轨道半径为地球半径的6.6倍，地球赤道平面与地球公转平面共面。站在地球赤道某地的人，日落后4小时的时候，在自己头顶正上方观察到一颗恰好有阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星在赤道所在平面内做匀速圆周运动。则此人造卫星（）A．距地面高度等于地球半径B．绕地球运行的周期约为4小时C．绕地球运行的角速度与同步卫星绕地球运行的角速度相同D．绕地球运行的速率约为同步卫星绕地球运行速率的1.8倍21
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【能力展示】【小试牛刀】1．欧洲天文学家发现了可能适合人类居住的行星“格里斯581c”。该行星的质量是地球的m倍，直径是地球的n倍。设在该行星表面及地球表面发射人造卫星的最小发射速度分别为，则的比值为（）A．B．C．D．2．某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( )A．B．2v0C．D．3．（多选）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是（）A．卫星距地面的高度为B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C．卫星运行时受到的向心力大小为D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度4．已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为( )A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．（多选）2006年10月19日，“神舟十一号”与“天宫二号”成功实现交会对接。如图所示，交会对接前“神舟十一号”飞船先在较低圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫二号”对接。M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十一号”变轨过程的描述，正确的有( )21
A．“神舟十一号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2B．“神舟十一号”在M点加速，可以在P点与“天宫一号”相遇C．“神舟十一号”经变轨后速度总大于变轨前的速度D．“神舟十一号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期6．（多选）实现全球通讯至少要三颗地球同步轨道卫星，如图所示，三颗地球同步卫星a、b、c等间隔分布在半径为r的圆轨道上．则三颗卫星（）A．质量必须相同B．某时刻的线速度相同C．绕地球的运行周期相同D．绕行方向与地球自转方向相同7．（多选）2015年2月7日，木星发生“冲日”现象，“木星冲日”是指木星和太阳正好分处地球的两侧，三者成一条直线，木星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨迹都近似为圆，设木星公转半径为R1，周期为T1；地球公转半径为R2，周期为T2。下列说法中正确的是（）A．B．“木星冲日”这一天象的发生周期为21
C．D．“木星冲日”这一天象的发生周期为8．如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )A．a2＞a3＞a1B．a2＞a1＞a3C．a3＞a1＞a2D．a3＞a2＞a19．（多选）质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，构成双星系统．由天文观察测得其运动周期为T，两星体之间的距离为r，已知引力常量为G。下列说法不正确的是（ ）A．双星系统的平均密度为B．O点离质量较大的星体较远C．双星系统的总质量为D．若在O点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零10．（多选）我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R。下列判断正确的是（ ）21
A．月球的第一宇宙速度v＝B．月球的质量M＝C．图中的航天飞机正在加速飞向B处D．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速11．（多选）同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200km～300km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36000km处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。关于同步卫星及发射过程，下列说法正确的是( )A．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度B．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能C．卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为7.9～11.2km/s D．所有地球同步卫星的静止轨道都相同12．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球半径是地球半径R21
的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（ ）A．B．C．D．【大显身手】13．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象。图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是( )第5讲天体运动与人造卫星答案例1、B例2、CD例3、AD例4、BD变式1、BC变式2、AD例5、D变式3、D变式4、BCD例6、C例7、BC例8、略变式5、BD例9、BD例10、ACD例11、BC变式6、B变式7、CD例12、B变式8、BD例13、C变式9、C例14、B例15、ABD【能力展示】1、D2、D3、BD4、B5、BD6、CD7、CD8、D9、ABD10、BCD11、BD12、B13、B21
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