§3.8 函数模型及函数的综合应用专题检测1.(2020河南安阳模拟,8)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2.它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1000提升至2000,则C大约增加了( )A.10% B.30% C.50% D.100%答案 A 本题主要考查了函数的实际应用,以及对数的运算性质,体现了数学运算和数学建模的核心素养.将信噪比从1000提升至2000,C大约增加了=≈≈10%,故选A.2.(2020北京平谷一模,10)在声学中,声强级L(单位:dB)由公式L=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).L1=60dB,L2=75dB,那么=( )A.1 B. C.- D.答案 D 本题考查对数在声学中的应用问题,考查学生的运算求解能力,渗透数学运算的核心素养,试题体现应用性.由题意,10lg=60⇒=106,10lg=75⇒=107.5,
因而==1,故选D.3.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( )A.8 B.9 C.10 D.11答案 C 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为,由题意得<,解得n≥10,所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.故选C.4.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了5次涨停(每次上涨10%),又经历了5次跌停(每次下跌10%),则该股民购进的这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案 B 设该股民购进这支股票的价格为a元,则(1+10%)5(1-10%)5a=0.995a<a.所以该股民购进的这支股票略有亏损.故选B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16C.60,25 D.60,16答案 D 由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15得A=16.故选D.6.(2016北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )A.15 B.16 C.17 D.18答案 B 由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t(万元),则由解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.7.(2016北京西城二模,6)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=已知某家庭今年前三个月的煤气使用量和煤气费如下表:月份使用量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则煤气费为( )A.11.5元 B.11元
C.10.5元 D.10元答案 A 由题中表格易知4≤A<25,由题意可得解得当x=20时,f(20)=4+×(20-5)=11.5.故选A.8.(2018宁夏银川月考,5)国家规定个人稿费纳税条件为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11%纳税.若某人共纳税420元,则这个人的稿费为( )A.3000元 B.3800元 C.3818元 D.5600元答案 B 设纳税额为y元,稿费为x元.由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y=由题意可知稿费满足800<x≤4000,则0.14(x-800)=420,解得x=3800.9.(2014北京文,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟答案 B 由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
评析 本题主要考查二次函数及配方法求最值,考查学生的计算能力,利用待定系数法求出a,b,c是解题的关键.10.(2016北京东城二模,6)一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元;优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价可能为( )A.179元 B.199元C.219元 D.239元答案 C 设他购买的商品的标价为x元(x>100),则解得200<x<225,故选C.11.(2018北京西城期末,8)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH值的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的=( )(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)A. B. C. D.答案 C 本题考查对数的运算法则.由题可得pH=-lg[H+]∈(7.35,7.45),且[H+]·[OH-]=10-14,
lg=lg=lg([H+]2·1014)=2lg[H+]+14,又因为7.35<-lg[H+]<7.45,所以-7.45<lg[H+]<-7.35,所以-0.9<2lg[H+]+14<-0.7,即-0.9<lg<-0.7.因为lg=-lg2≈-0.30,所以A项错,因为lg=-lg3≈-0.48,所以B项错,因为lg=-(lg2+lg3)≈-0.78,所以C项正确,因为lg=-1,所以D项错.故选C.12.(2018吉林吉大附中四模,16)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈时,f(x)=sinπx,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 . 答案 9解析 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且周期为3,所以f(0)=f=f=0,如图所示,画出函数的图象,由图象可知,在[0,6]上的零点为0,1,,2,3,4,,5,6.所以共有9个零点.13.(2018广西南宁、梧州、防城港毕业班适应性考试)已知函数f(x)是偶函数,且x≥0时,f(x)=e2x,若函数y=f(x)-|x-1|-kx有且只有1个零点,则实数k的取值范围是 . 答案 [-1,3]
解析 显然x=0是y=f(x)-|x-1|-kx的一个零点.①当x≥1时,e2x=x-1+kx,k=-1+,令g(x)=-1+,则g'(x)=-=>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数,g(x)min=g(1)=e2,∴函数y=f(x)-|x-1|-kx在[1,+∞)上没有零点时,k<e2.②当0<x<1时,e2x=1-x+kx=(k-1)x+1,当x≥0时,f(x)=e2x,f'(x)=2e2x,过点(0,1)的切线斜率为2,由题意得k-1≤2,∴k≤3<e2.由函数f(x)是偶函数知x≤0时,k-1≥-2,∴k≥-1,∴k∈[-1,3].
