§5.4 解三角形及其综合应用基础篇【基础集训】考点一 正弦定理和余弦定理1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=3sinB,c=,且cosC=,则a=( )A.2 B.3 C.3 D.4答案 B2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,则等于( )A. B. C. D.答案 D3.在△ABC中,a=2,c=2,A=60°,则C=( )A.30° B.45° C.45°或135° D.60°答案 B4.(多选题)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个命题中正确的是( )A.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC是锐角三角形B.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形D.若==,则△ABC是等边三角形答案 ACD5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a∶b∶c=4∶3∶2,则=( )A. B. C. D.答案 D6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b+acosC=0,sinA=2sin(A+C),则=( )A. B. C. D.答案 C7.设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则△ABC周长的取值范围为( )A.(0,2+) B.(0,3+)C.(2+,3+) D.(2+,3+]答案 C考点二 解三角形及其综合应用8.在△ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为( )A. B. C. D.答案 A9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
答案 100[教师专用题组]【基础集训】考点一 正弦定理和余弦定理1.(2020吉林长春二模,8)在△ABC中,C=30°,cosA=-,AC=-2,则AC边上的高为( )A. B.2 C. D.答案 C 依题意得sinA==,则sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×-×=.由正弦定理得=,得BC=,所以AC边上的高为BC·sinC===,故选C.2.(2019安徽安庆二模,10)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,则等于( )A. B. C. D.答案 D 由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinA·cosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,则cosA=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.故选D.3.(2020陕西安康二模,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=,tanC=7,则b= . 答案 解析 由tanC=7且C∈(0,π)可求得sinC=,cosC=.故sinA=sin(B+C)=sin=(cosC+sinC)=×=.由=⇒=⇒b=.4.(2020河南开封二模,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosB=-, .△ABC的面积是否存在最大值?若存在,求对应三角形的三边;若不存在,说明理由. 从①a+c=2,②b=a这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析 若选①,由题意得sinB=,S=acsinB=ac≤=,当且仅当a=c=1时等号成立,则面积的最大值为,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=3,则b=.若选②,由题意得B=,则sinB=,因为==,所以sinA=,A=,C=,所以a=c,S=acsinB=a2,a可以取任意正数,所以△ABC的面积不存在最大值.5.(2020九师联盟3月联考,17)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的外接圆半径为2,求△ABC的面积S的最大值.解析 (1)由正弦定理及题意得=,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论得cosA===,又因为0<A<π,所以A=.(2)由正弦定理得=2R,则a=2RsinA=4sin=2,由余弦定理得a2=12=b2+c2-2bccosA≥2bc-bc=bc,
即bc≤12(当且仅当b=c时取等号),故S=bcsinA≤×12×=3(当且仅当b=c时取等号).即△ABC的面积S的最大值为3.6.(2019北京丰台一模文,16)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=-.(1)求sinC;(2)当c=2a,且b=3时,求a.解析 (1)因为cos2C=-,所以1-2sin2C=-.因为0<C<,所以sinC=.(2)由(1)可知sinC=,因为△ABC是锐角三角形,所以cosC==.因为c=2a,=,所以sinA=sinC=,所以cosA=.所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.因为=,b=3,所以a=2.考点二 解三角形及其综合应用1.(2018广西柳铁一中2月月考,6)在△ABC中,“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 若B∈,A∈,则sinA>0,cosB<0,则sinA>cosB,而此时△ABC为钝角三角形,∴“sinA>cosB”不是“△ABC为锐角三角形”的充分条件.若△ABC为锐角三角形,则A,B∈且<A+B<π,∴>A>-B>0,∴sinA>sin=cosB,∴“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要条件.综上,“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.2.(2018云南昭通一模,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆的面积为( )A.4π B.8π C.9π D.36π答案 C 已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R为△ABC的外接圆半径).利用两角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,则2RsinC=2,因为cosC=,所以sinC=,所以R=3.故△ABC的外接圆面积为9π.故选C.3.(2019北京朝阳一模文,4,5分)已知△ABC中,∠A=120°,a=,△ABC的面积为.若b<c,则c-b=( )A. B.3 C.-3 D.-答案 B ∵S△ABC=bcsinA=bc=,∴bc=4.∵a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=b2+c2+4=21,∴b2+c2=17,∴(b+c)2=b2+c2+2bc=25,∴b+c=5,结合b<c,bc=4,解得c=4,b=1,∴c-b=3,故选B.4.(2019北京海淀一模,10)在△ABC中,a=4,b=5,cosC=,则c= ,S△ABC= . 答案 6;解析 由已知及余弦定理得c2=42+52-2×4×5×=36,∴c=6,∵cosC=,∴C∈,∴sinC==,∴S△ABC=absinC=×4×5×=.5.(2019北京西城二模,11)在△ABC中,若a=b,b=c,则三个内角中最大角的余弦值为 . 答案 -
解析 因为a=b,b=c,所以a=2c,从而a>b>c,故最大角是A,由a2=b2+c2-2bccosA,得4c2=2c2+c2-2·c2cosA,得cosA=-.误区警示 根据三角形中“大边对大角”判断出哪个角最大,然后用余弦定理求解.6.(2019贵州凯里中学4月月考,17)已知锐角△ABC面积为S,∠A,∠B,∠C所对边分别是a,b,c,∠A,∠C的平分线相交于点O,b=2且S=(a2+c2-b2),求:(1)∠B的大小;(2)△AOC周长的最大值.解析 (1)∵S=(a2+c2-b2),∴acsinB=(a2+c2-b2),故acsinB=·2accosB⇒tanB=,∵B∈,∴B=.(2)设△AOC周长为l,∠OAC=α,∵△ABC为锐角三角形,B=,∴A+C∈,C∈,∴A∈,则α∈,∵OA,OC分别是∠A,∠C的平分线,B=,∴∠AOC=,由正弦定理,===4.∴△AOC周长l=4sinα+4sin+2=4sin+2.∵α∈,∴α+∈,∴当α=时,△AOC周长取得最大值,最大值为4+2.综合篇【综合集训】考法一 利用正弦、余弦定理解三角形1.(2019湖南四校调研联考,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=1,则C=( )A. B. C. D.答案 B2.(2020浙江名校联盟考,13)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=,3.则asinC= ,a+b的取值范围是 . 答案 ;(1+,4+2)3.(2021届广东湛江二十一中月考,17)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+bc=(b+c)2.(1)求角A;(2)若b=1,c=3,D为BC的中点,求中线AD的长.4.(2020山东泰安5月模拟,19)在①asinC-ccosBcosC=bcos2C;②5ccosB+4b=5a;③(2b-a)cosC=ccosA这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 . (1)求sinC;(2)已知a+b=5,△ABC的外接圆半径为,求△ABC的边AB上的高h.
考法二 三角形形状的判断5.(2020山东济宁二中10月月考,8)在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,a2=b2+c2-bc,则△ABC的形状是( )A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 A6.(2020山东青岛三模,7)在△ABC中,如果cos(2B+C)+cosC>0,那么△ABC的形状为( )A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形答案 A7.(多选题)(2020山东烟台5月模拟,11)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则( )A.sin∠CDB= B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8+4 D.△ABC为钝角三角形答案 BC考法三 与三角形的面积、范围有关的问题8.(2020湖南师范大学附属中学月考(六),10)设锐角△ABC的三个内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为( )A.(2,2) B.(2,4)C.(2,2) D.(0,4)答案 A9.(2020河北正定中学第三次质量检测,16)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,BD=,AB⊥AC,AC=2AB,则CD的最小值为 . 答案 10.(2020浙江绍兴嵊州期末,15)在锐角△ABC中,D是边BC上一点,且AB=2,BC=3,AC=AD,若cos∠CAD=,则sinC= ;△ABC的面积是 . 答案 ;311.(2021届江苏苏州八校联盟第一次适应性检测,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2.有以下3个条件:①2ccosA=b;②2b-a=2ccosA;③a+b=2c.请在以上3个条件中选择一个,求△ABC面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.12.(2020湖北襄阳四中3月月考,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB=bsin.(1)求A;(2)D是线段BC上的点,若AD=BD=2,CD=3,求△ADC的面积.
[教师专用题组]【综合集训】考法一 利用正弦、余弦定理解三角形1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,若2sinC=sinA+sinB,cosC=且S△ABC=4,则c=( )A. B.4 C. D.5答案 A 因为2sinC=sinA+sinB,所以由正弦定理可得2c=a+b①,由cosC=可得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab②,又由cosC=,得sinC=,所以S△ABC=absinC==4,∴ab=10③.由①②③解得c=,故选A.2.(2019宁夏石嘴山一模,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若ccosB+3.bcosC=asinA,S=(b2+a2-c2),则B=( )A.90° B.60° C.45° D.30°答案 D 由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,所以sin(C+B)=sin2A⇒sinA=1,因为0°<A<180°,所以A=90°.由余弦定理、三角形面积公式及S=(b2+a2-c2),得absinC=·2abcosC,整理得tanC=,又0°<C<90°,所以C=60°,故B=30°.故选D.3.(2019广西桂林、梧州、贵港、玉林、崇左、北海联考,15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=4,c=9,sinAsinC=sin2B,则cosB= . 答案 解析 ∵sinAsinC=sin2B,∴b2=ac=36,∴cosB==.4.(2019河南郑州第二次质检,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC+2sinCcosB=sinA,C∈,a=,cosB=,则b= . 答案 解析 由正弦定理及题意可得c+2c×=a,即a=c,又a=,所以c=,由余弦定理得b2=6+-=,所以b=.考法二 三角形形状的判断1.(2019云南师大附中1月月考,9)在△ABC中,若=,则△ABC的形状是( )A.直角三角形 B.等腰或直角三角形C.等腰三角形 D.不能确定答案 B 由已知并结合正弦定理得,·=,即=,∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,又A、B为△ABC的内角,∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.故选B.2.(2017陕西渭南二模)已知△ABC的三边长为a,b,c,满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.以上情况都有可能答案 C 易知圆心到直线的距离d=>2,故c2>a2+b2,在△ABC中,cosC=<0,所以∠C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.选C.3.(2019四川蓉城名校联盟第二次联考,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=,a2=bc,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 C 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc.∵a2=bc,∴bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,∴b=c.又A=,∴△ABC是等边三角形.4.(2019湘东六校3月联考,5)若△ABC的三个内角满足6sinA=4sinB=3sinC,则△ABC是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.以上都有可能答案 C 由已知利用正弦定理可得6a=4b=3c,则可设a=2k,b=3k,c=4k,k>0,则cosC=<0,所以角C是钝角,所以△ABC是钝角三角形,故选C.5.(2019河南洛阳一模,11)在△ABC中,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2+,则△ABC为( )A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形答案 B 由2acosB=c及正弦定理得2sinAcosB=sinC,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,∵A与B都为△ABC的内角,∴A-B=0°,即A=B.∵sinAsinB(2-cosC)=sin2+,∴sinAsinB(2-cosC)=(1-cosC)+=1-cosC,∴-[cos(A+B)-cos(A-B)](2-cosC)=1-cosC,∴-(-cosC-1)(2-cosC)=1-cosC,即(cosC+1)(2-cosC)=2-cosC,整理得cos2C-2cosC=0,即cosC(cosC-2)=0,∴cosC=0或cosC=2(舍去),∴C=90°,则△ABC为等腰直角三角形.故选B.6.(2019广东佛山顺德第二次质检,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsinCcosA+asinA=2csinB.(1)证明:△ABC为等腰三角形;(2)若D为BC边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的值.解析 (1)证明:∵2bsinCcosA+asinA=2csinB,∴由正弦定理得2bccosA+a2=2cb,由余弦定理得2bc·+a2=2bc,化简得b2+c2=2bc,∴(b-c)2=0,即b=c.故△ABC为等腰三角形.(2)解法一:由已知得BD=2,DC=1,∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,∴=-,
即=-,得2b2+c2=9,由(1)可知b=c,得b=.解法二:由已知可得CD=a=1,由(1)知,AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠DAC=∠ADB-∠C=2∠C-∠C=∠C=∠B,∴△CAB∽△CDA,∴=,即=,∴b=.考法三 与三角形面积、范围有关的问题1.(2018吉林长春二中期中,9)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin=1,且a=2,则△ABC的面积的最大值为( )A. B. C. D.2答案 B ∵A∈(0,π),∴-∈,∵2sin=1,∴-=,∴A=.又a=2,∴4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当b=c时等号成立,∴bc≤.△ABC的面积S=bcsinA≤××=,∴△ABC的面积的最大值为.故选B.2.(2018海南二模)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,已知a=,(b2+c2-3)tanA=bc,2cos2=(-1)cosC,则△ABC的面积为( )A. B.C. D.答案 A ∵a=,(b2+c2-3)tanA=bc,∴tanA=,即cosAtanA=,亦即sinA=,又A∈,∴A=,∵2cos2=(-1)cosC,∴1+cos(A+B)=(-1)cosC,∴1-cosC=(-1)cosC,∴cosC=,C∈,∴C=,由正弦定理可得=,解得c=,∴S△ABC=acsinB=×××=.故选A.3.(2018四川泸州一模,16)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆半径为1,且满足=,则△ABC的面积的最大值为 . 答案 解析 设△ABC外接圆的半径为r,则r=1,∴c=2rsinC=2sinC,b=2rsinB=2sinB,∵tanA=,tanB=,∴===,∴sinAcosB=cosA(2sinC-sinB)=2sinCcosA-sinBcosA,即sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,又∵sinC≠0,∴cosA=,又A为三角形的内角,∴A=,∴cosA==,
∴bc=b2+c2-a2=b2+c2-(2rsinA)2=b2+c2-3≥2bc-3(当且仅当b=c时,等号成立),∴bc≤3,∴△ABC的面积S=bcsinA≤×3×=(当且仅当b=c时,等号成立),∴△ABC的面积的最大值为.2.(2020浙江省重点高中统练,16)已知△ABC的面积为S,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sinC,,cosA成等比数列,b=a,2≤c2+ac≤18,则的最小值为 . 答案 解析 解法一:由2sinC,,cosA成等比数列,可得2sinCcosA=sinB,即2sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinCcosA=cosCsinA,即sinCcosA-cosC·sinA=sin(C-A)=0,所以C=A,从而c=a,则sinB=2sinA·cosA即b=2acosA,因为b=a,所以cosA=,所以sinA=,由2≤c2+ac≤18,得2≤a2+a2≤18,解得1≤a≤3,令m=====,令t=a+1,t∈[2,4],则∈,且m====≥=,当且仅当t=3,即a=2时等号成立.所以所求最小值为.解法二:由解法一得m===1-,令t=2a-1,则t∈[1,5],则m=1-=1-=1-≥1-=,当且仅当t=3,即a=2时等号成立.所以所求最小值为.5.(2018陕西榆林二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC的面积S的最大值.解析 (1)∵=,∴=,即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC.∵0<C<π,∴sinC≠0,∴cosA=1,即cosA=,∵0<A<π,∴A=.(2)∵a=2,A=,∴b2+c2=4+bc.∴4+bc≥2bc,当且仅当b=c时取等号,∴bc≤2(2+).∴S=bcsinA≤×2(2+)×=+1.所以△ABC的面积S的最大值为+1.
