§3.2 函数的基本性质专题检测1.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式>0恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案 D 由题意知函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则解得a≥,故选D.2.(2018河北石家庄一模,9)设f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≥f(3)的解集为( )A.[-3,3] B.[-2,4] C.[-1,5] D.[0,6]答案 B 因为f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,所以有-2b+3+b=0,解得b=3,由函数f(x)在[-6,0]上为增函数,得f(x)在(0,6]上为减函数,故f(x-1)≥f(3)⇒f(|x-1|)≥f(3)⇒|x-1|≤3,故-2≤x≤4.选B.3.(2018广东省际名校(茂名)联考(二),4)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( )A.y=在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数答案 D A错,如f(x)=x3,则y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性;B错,如f(x)=x3,则y=|f(x)|在R上无单调性;C错,如f(x)=x3,则y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性.故选D.4.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,4)已知a∈R,则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C 当a=0时,f(x)=x2是偶函数,充分性成立;当f(x)=x2+ax是偶函数时,f(-x)=f(x),解得a=0,必要性成立,所以“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分必要条件.故选C.5.(2018吉林长春二模,4)若f(x)=是奇函数,则f(g(-2))的值为( )A. B.-C.1 D.-1答案 C ∵f(x)=是奇函数,∴x<0时,g(x)=-+3,∴g(-2)=-+3=-1,f(g(-2))=f(-1)=g(-1)=-+3=1.故选C.6.(2018甘肃庆阳一中5月模拟,10)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,则f(x)在区间[-2,0)上的表达式为( )A.f(x)=2x+1 B.f(x)=-2-x+4-1C.f(x)=2-x+4+1 D.f(x)=2-x+1答案 B 当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],∴-x+4∈(4,6],又∵当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,∴f(-x+4)=2-x+4+1.又∵f(x+4)=f(x),∴f(-x+4)=f(-x),又∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=2-x+4+1,∴当x∈[-2,0)
时,f(x)=-2-x+4-1.故选B.7.(2019北京朝阳一模,4)若函数f(x)=则函数f(x)的值域是( )A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.[0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,2)答案 A 当x<1时,f(x)=2x.如图,f(x)为单调递增函数,值域为(0,2);当x≥1时,f(x)=-log2x.如图,f(x)为单调递减函数,值域为(-∞,0].综上,f(x)的值域为(-∞,2).故选A.8.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,13)已知函数f(x)=的图象上存在点关于y轴对称,则实数a的取值范围是 . 答案 a<0或a≥解析 设(x,y)(x>0)为函数y=f(x)的图象上任一点,则(-x,y)也在y=f(x)的图象上,则有=alnx,∴=(2e-x)lnx.设g(x)=(2e-x)lnx(x>0),
则g'(x)=-lnx+=-lnx+-1,g″(x)=--,则g″(x)<0且g'(e)=0,∴当x∈(0,e)时,g'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,∴g(x)≤g(e)=e,∴≤e,∴a<0或a≥.9.(2017天津河北二模,14)设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则函数g(x)在[-2017,2017]上的值域为 . 答案 [-4030,4044]解析 由g(x)在区间[2,3]上的值域为[-2,6],可设g(x0)=-2,g(x1)=6,x0,x1∈[2,3],则g(x0)=f(x0)-2x0=-2.∵y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,∴对于任意n∈N*,g(x0+n)=f(x0+n)-2(x0+n)=f(x0)-2x0-2n=-2-2n.同理g(x1+n)=6-2n,又2017-3=2014,-2017-2=-2019,于是g(x)在[-2017,2017]上的最小值是-2-2×2014=-4030;在[-2017,2017]上的最大值是6-2×(-2019)=4044.∴函数g(x)在[-2017,2017]上的值域为[-4030,4044].解题分析 本题考查了函数的值域、函数的周期性及其应用,考查了利用所学知识解决问题的能力.10.(2019浙江金丽衢十二校2018学年高三第一次联考,12)已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则f= .若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是 .
答案 ;解析 由已知可得函数f(x)是周期为2的偶函数,则f=f=f=.当x∈[-1,0)时,-x∈[0,1),∴f(x)=f(-x)=-x,当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x,当x∈(2,3]时,x-2∈(0,1],∴f(x)=f(x-2)=x-2,从而在区间[-1,3]上,f(x)的解析式为f(x)=令g(x)=0⇔f(x)=k(x+1),则需保证两个函数y=f(x)和y=k(x+1)的图象有四个不同交点,画出图象(画图略)可得k∈.11.(2018山东烟台期中,16)设函数D(x)=则下列结论正确的是 . (1)D(x)的值域为{0,1};(2)D(x)是偶函数;(3)D(x)是周期函数;(4)D(x)不是单调函数.答案 (1)(2)(3)(4)解析 由题意可知,D(x)的值域为{0,1},(1)正确.∵D(-x)==D(x),∴D(x)是偶函数,(2)正确.∵D(x+1)==D(x),∴T=1,(3)正确.∵D()=0,D(2)=1,D()=0,显然D(x)不是单调函数,∴(4)正确.
12.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,16)已知函数f(x)=ex--2x是定义在[-1,1]上的奇函数(其中e是自然对数的底数).(1)求实数m的值;(2)若f(a-1)+f(2a2)≤0,求实数a的取值范围.解析 (1)因为f(x)=ex--2x是定义在[-1,1]上的奇函数,所以f(0)=0,所以m=1.(4分)当m=1时,f(x)=ex--2x,f(-x)=-ex+2x=-f(x),符合题意.(6分)(2)f'(x)=ex+-2,因为ex+≥2,所以f'(x)≥0,当且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在[-1,1]上单调递增,(10分)所以所以0≤a≤.(14分)(忘记定义域扣2分)13.(2019江苏沙溪高级中学检测)已知函数f(x)=-(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.解析 (1)设任意x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0.因为f(x2)-f(x1)=-=-=>0,所以f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)因为f(x)在上的值域是,又由(1)得f(x)在上是单调增函数,所以f=,f(2)=2,易知a=.14.(2018江苏泰州中学期中,17)已知函数f(x)=x2+(x-1)·|x-a|.(1)若a=-1,求满足f(x)=1的x的取值集合;(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若a<1且不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,求a的取值范围.解析 (1)当a=-1时,有f(x)=当x≥-1时,2x2-1=1,解得x=1或x=-1,当x<-1时,f(x)=1恒成立,∴x的取值集合为{x|x≤-1或x=1}.(2)f(x)=若f(x)在R上单调递增,且f(x)是连续的,则有解得a≥,即实数a的取值范围是.(3)设g(x)=f(x)-(2x-3),则g(x)=若不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立,
则当x<a时,∵a<1,∴g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+∞).∵a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,∴g(x)≥0恒成立.当x≥a时,∵a<1,∴a<,∴g(x)min=g=a+3-≥0,得-3≤a≤5.∵a<1,∴-3≤a<1,综上,a的取值范围是[-3,1).
