§3.6 函数的图象专题检测1.(2020北京八中三月模拟,5)已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于x轴对称,则f(x)=( )A.-2x B.2-xC.-log2x D.log2x答案 A 由函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于x轴对称,得f(x)=-g(x)=-2x,故选A.2.函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示),其定义域为[-1,0)∪(0,1],则不等式f(x)-f(-x)>-1的解集是 ( )A.{x|-1≤x≤1且x≠0}B.{x|-1≤x<0}C.D.答案 D 由题图可知,f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)-f(-x)>-1⇔2f(x)>-1⇔f(x)>-⇔-1≤x<-或0<x≤1.故选D.
3.现有四个函数:①y=xsinx;②y=xcosx;③y=x|cosx|;④y=x·2x.它们的图象(部分)如下,但顺序已被打乱,则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号排列正确的一组是( )A.④①②③ B.①④③② C.③④②① D.①④②③答案 D 函数y=xsinx是偶函数,由图象知,函数①对应第一个图象;函数y=xcosx是奇函数,且当x=π时,y=-π<0,故函数②对应第三个图象;函数y=x|cosx|为奇函数,且当x>0时,y≥0,故函数③与第四个图象对应;函数y=x·2x为非奇非偶函数,与第二个图象对应.综上可知,选D.4.(2018北京海淀一模,7)下列函数中,其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足y≤|x|的函数是( )A.f(x)=x3 B.f(x)=C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x+1)答案 D 在同一直角坐标系中分别作出A,B,C,D选项中y=f(x)和y=|x|的图象,如图所示.由图象可知选D.5.(2019北京朝阳期中,7)已知函数f(x)=当≤m<时,方程f(x)=-x+m的根的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 方程f(x)=-x+m的根的个数,即函数y=f(x)与y=-x+m的图象的交点个数.当m=或m=时,在同一坐标系下画出两个函数的图象如图所示,
由图可知,当≤m<时,两个函数的图象总是有3个交点,即当≤m<时,方程f(x)=-x+m有3个根,故选C.6.(2019安徽合肥二模,9)设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b的取值范围是( )A.(1,+∞) B.C.(1,+∞)∪{0} D.(0,1]答案 D 令g(x)=f(x)-b=0,函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于f(x)=b有三个根,当x≤0时,f(x)=ex(x+1),则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),由f'(x)<0得ex(x+2)<0,即x<-2,此时f(x)为减函数,由f'(x)>0得ex(x+2)>0,即-2<x<0,此时f(x)为增函数,即当x=-2时,f(x)取得极小值f(-2)=-.作出f(x)的图象如图,要使f(x)=b有三个根,则0<b≤1,故选D.7.(2018浙江名校协作体,5)已知函数f(x)=ax3+x2+x+b,下列图象一定不能表示f(x)的图象的是( )
答案 D f'(x)=3ax2+2x+1,当a=0时,f'(x)=2x+1,显然此时f(x)存在一个极值.当即a≥时,f'(x)≥0恒成立,此时f(x)在R上单调递增,所以选项A可能.当即a<且a≠0时,f'(x)=3ax2+2x+1=0有两个解,即存在两个极值,所以选项B,C可能.当时无解.综上可知,不存在f'(x)≤0恒成立的情况,即不存在f(x)在R上单调递减的情况,故选D.8.(2019安徽安庆二模,7)若函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域与值域都是[m,n](m<n),则a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(e,+∞)C.(1,e) D.(1,)答案 D f(x)=logax的定义域与值域相同,等价于方程f(x)=logax=x有两个不等的实数解.∵logax=x,∴=x,∴lna=有两个不等实数解,
问题等价于直线y=lna与函数y=的图象有两个交点.作函数y=的图象,如图所示.根据图象可知,当0<lna<,即1<a<时,直线y=lna与函数y=的图象有两个交点.故选D.9.(2019北京石景山一模文,8)当x∈[0,1]时,下列关于函数y=(mx-1)2的图象与y=的图象交点个数说法正确的是( )A.当m∈[0,1]时,有两个交点B.当m∈(1,2]时,没有交点C.当m∈(2,3]时,有且只有一个交点D.当m∈(3,+∞)时,有两个交点答案 B y=(mx-1)2=m2的图象是由y=x2的图象向右平移个单位,再将函数值放大m2倍得到的;y=的图象是由y=的图象向左平移m个单位得到的.当m=0时,函数y=1与函数y=在[0,1]上只有一个交点,故排除A.当m∈(1,2]时,在同一坐标系下,作出两个函数的图象如图:由图可知在[0,1]上两个函数图象没有公共点.选项B正确.
当m∈(2,3]时,不妨取m=2.1,在同一坐标系下作出两个函数的图象如图:由图象可知m=2.1时无交点,选项C错误.当m∈(3,+∞)时,(m-1)2>.在同一坐标系下,作出两个函数的图象,如图:故由图象得到选项D错误,应该是一个交点.综上所述,选B.10.(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是 . 答案 解析 令f(x)=0,即x2+15=2a(x+1),所以=2a,令x+1=t,则t>1,问题转化为=2a在(1,+∞)上的两个解t1,t2之间恰有两个正整数.作出函数y=t+-2和y=2a的图象(如图所示).
易知,仅需t=3,t=5恰有一个满足条件即可,而当t=3时,y=;t=5时,y=.当2a=,即a=时,f(x)=x2-x+15-=x2-x+.令f(x)=0,解得x1=,x2=4.此时(x1,x2)内只有1个正整数.故<2a≤,所以<a≤,因而实数a的取值范围是.11.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,17)在直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点.如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点,则称函数f(x)为k阶格点函数,给出下列函数:①f(x)=lox;②f(x)=;③f(x)=3x2-6x+3+1;④f(x)=sin4x+cos4x.其中是一阶格点函数的为 .(只填序号) 答案 ③④解析 函数f(x)=lox的图象过格点(2n,2n),其中n∈N,有无数个格点,故不是一阶格点函数;f(x)=的图象过格点(-n,2n),其中n∈N,有无数个格点,故不是一阶格点函数;f(x)=3(x-1)2+1的图象过格点(1,1),且当x≠1,x∈Z时,f(x)的值不是整数,故是一阶格点函数;f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-sin22x=+cos4x,显然f(x)的值域为,要使f(x)的值是整数,则f(x)=1,此时cos4x=1,得x=,k∈Z,当且仅当k=0时,x取整数,故是一阶格点函
数.12.(2018浙江镇海中学阶段性测试,17)已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如下图所示.给出下列四个命题:①方程f(g(x))=0有且仅有6个根;②方程g(f(x))=0有且仅有3个根;③方程f(f(x))=0有且仅有5个根;④方程g(g(x))=0有且仅有4个根.其中正确的命题为 . 答案 ①③④解析 由题图知方程f(t)=0有三个根,t1∈(-2,-1),t2=0,t3∈(1,2),由题图知方程g(x)=t1有两个不同的根,方程g(x)=t2=0有两个不同的根,方程g(x)=t3有两个不同的根,则方程f(g(x))=0有且仅有6个根.故①正确.由题图知方程g(u)=0有两个根u1∈(-2,-1),u2∈(0,1),由题图知方程f(x)=u1只有1个根,方程f(x)=u2有三个不同的根,则方程g(f(x))=0有且仅有4个根.故②不正确.由题图知方程f(x)=t1只有1个根,方程f(x)=t2=0有三个不同的根,方程f(x)=t3只有1个根,则方程f(f(x))=0有且仅有5个根.故③正确.由图知方程g(x)=u1有两个不同的根,方程g(x)=u2有两个不同的根,则方程g(g(x))=0有且仅有4个根.故④正确.故①③④正确.13.(2017浙江衢州质量检测(1月),22)已知函数f(x)=|x2-a|,g(x)=x2-ax,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值;(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值;(3)若关于x的方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上有两个解,求a的取值范围.解析 (1)当a=1时,f(x)=|x2-1|,f(x)在区间[-1,1]上的最大值为1.(2)由于f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上是偶函数,故只需考虑f(x)在区间[0,1]上的最大值即可.若a≤0,则f(x)=x2-a,它在[0,1]上是增函数,故M(a)=1-a.当0<a<时,M(a)=1-a,当a≥时,M(a)=a,故当a=时,M(a)取得最小值,且最小值为.(3)令y=f(x)+g(x)=|x2-a|+x2-ax.当a=0时,y=2x2.令y=0,得x=0,不符合题意.当a<0时,y=2x2-ax-a的图象的对称轴为x=<0,故y在(0,2)上单调递增,当x=0时,y=-a>0,故方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上不存在解.当a>0时,y=令h(x)=2x2-ax-a.由h(0)=-a<0知,方程h(x)=0在(0,+∞)只有一解,又x=1是方程-ax+a=0的解,所以a≥1,方程h(x)=0在(1,2)上必有一解.由h(1)h(2)<0,得(2-2a)(8-3a)<0,所以1<a<,综上所述,a的取值范围为1<a<.
