§3.3 二次函数与幂函数基础篇【基础集训】考点一 二次函数的图象与性质1.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为( )A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,2)答案 A2.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是 . 答案 -1考点二 幂函数3.函数y=的图象大致是( )答案 C4.函数f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 A5.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α等于( )A. B.1 C. D.2答案 C[教师专用题组]【基础集训】考点一 二次函数的图象与性质1.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么( )A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)答案 D 由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=对称.∵f(x)的图象开口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2).
方法总结 “f(x)=f(2a-x)”等价于“函数f(x)图象的对称轴为直线x=a”.2.(2018河北衡水武邑中学开学考试,6)若存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数f(x)可能是( )A.f(x)=x2-2x+1 B.f(x)=x2-1C.f(x)=2x D.f(x)=2x+1答案 A 由存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,可得函数图象的对称轴为x=≠0,只有f(x)=x2-2x+1满足题意,而f(x)=x2-1;f(x)=2x;f(x)=2x+1都不满足题意,故选A.3.(2018湖北武汉高中毕业班2月调研,11)如果函数f(x)=(2-m)x2+(n-8)x+1(m>2)在区间[-2,-1]上单调递减,那么mn的最大值为( )A.16 B.18 C.25 D.30答案 B 因为m>2,所以抛物线的开口向下,所以≤-2,8-n≥-2(2-m),n≤12-2m,故nm≤(12-2m)m=-2m2+12m=-2(m-3)2+18≤18,当且仅当m=3,n=6时等号成立,所以mn的最大值为18.故选B.方法总结 处理多变量函数最值问题的方法有:(1)消元法:把多变量问题转化为单变量问题,消元时可以用等量消元,也可以用不等量消元.(2)基本不等式:即给出的条件是和为定值或积为定值,此时可以利用基本不等式来处理,用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.(3)线性规划:如果题设给出的是二元一次不等式组,而目标函数也是二元一次的,那么我们可以用线性规划来处理.考点二 幂函数1.(2018安徽巢湖柘皋中学第三次月考,3)已知p:|m+1|<1,q:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递减,则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B p:由|m+1|<1得-2<m<0,∵幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递减,∴m2-m-1=1,且m<0,解得m=-1,∴p是q的必要不充分条件,故选B.2.(2018山东济宁微山第二中学第一次月考,10)下列命题正确的是( )A.y=x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)C.若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限答案 D 对于A,函数y=x0的图象是一条直线除去点(0,1),故A错误;对于B,幂函数的图象都经过点(1,1),当指数大于0时,都经过点(0,0),当指数小于0时,不经过点(0,0),故B错误;对于C,若幂函数y=xn是奇函数,且n>0,y=xn是定义域上的增函数,n<0,y=xn在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,故C错误;由幂函数的性质,幂函数的图象一定过第一象限,不可能出现在第四象限,知D正确,故选D.3.(2018宁夏石嘴山三中模拟,6)若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为( )A.-3 B.- C.3 D.答案 D 设f(x)=xα(α为常数),∵=3,∴=3,∴α=log23.∴f(x)=.则f==.故选D.4.(2018陕西西安检测,3)函数y=的图象大致是( )
答案 C y==,其定义域为x∈R,排除A,B.又0<<1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.综合篇【综合集训】考法一 求二次函数在闭区间上的最值(值域)1.(2019广东珠海模拟,6)已知函数y=x2-4x+5在闭区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的取值范围是( )A.[0,1] B.[1,2] C.[0,2] D.[2,4]答案 D2.已知函数f(t)=log2(2-t)+的定义域为D.(1)求D;(2)若函数g(x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2,求实数m的值.考法二 一元二次方程根的分布3.已知一元二次方程x2+mx+3=0(m∈Z)有两个实数根x1,x2,且0<x1<2<x2<4,则m的值为( )A.-4 B.-5 C.-6 D.-7答案 A4.方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为( )A. B.(1,+∞)C. D.答案 C5.已知方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.(1)当该方程有两个负根时,求实数a的取值范围;(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a的取值范围.考法三 幂函数的图象及性质的应用6.(2020湘赣皖十五校第一次联考(4月))设a=ln,b=-,c=lo2,则( )A.c<b<a B.a<c<bC.c<a<b D.b<a<c答案 B7.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为( )
A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1答案 D8.已知点在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是( )A.奇函数 B.偶函数C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数答案 A9.幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a-=( )A.0 B.1 C. D.2答案 A
