专题五 万有引力与航天应用篇【应用集训】应用一 卫星变轨问题的分析方法1.(2020山东青岛胶州期中,11)(多选)如图,我国发射同步卫星时,先进入一个近地的圆轨道1,然后在P点经极短时间点火变速后进入椭圆形转移轨道2(该椭圆轨道2的近地点为近地圆轨道1上的P点,远地点为同步轨道3上的Q点),到达远地点时再次经极短时间点火变速后,进入同步轨道3,设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1,在P点经极短时间变速后的速率为v2,沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3,在Q点经极短时间变速后进入同步轨道后的速率为v4,下列说法正确的是( )A.v2>v1B.v3>v4C.卫星在轨道2的运行周期大于在轨道3的运行周期D.卫星在轨道2上运行时机械能守恒答案 AD 2.(2020山东临沂蒙阴实验中学月考,9)(多选)发射地球同步卫星时,先将卫星发射到近地圆轨道1,然后点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点,如图所示,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,下列说法中正确的是( )A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度答案 BD 应用二 双星及多星问题1.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为( ), A.T B.TC.T D.T答案 B 2.(2020山东烟台期中,6)天狼星是除太阳外全天最亮的恒星,它是由一颗蓝矮星和一颗白矮星组成的双星系统,它们互相绕转的周期约为50年,间距约为30亿公里,若它们绕转的轨道近似为圆轨道,由这些数据和引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出蓝矮星和白矮星的( )A.质量之比 B.质量之差C.总质量之和 D.总质量之积答案 C 应用三 天体的追及相遇问题的分析方法 (多选)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆,每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上(相距最近),如图所示,该行星与地球的公转半径之比为a,公转周期之比为b,则( )A.a= B.b=C.b= D.a= 答案 BD [教师专用题组]【应用集训】 1.(2020辽宁沈阳模拟)设宇宙中某一小行星自转较快,但仍可近似看成质量分布均匀的球体,半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重力,第一次在极点处,弹簧测力计的读数为F1=F0;第二次在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部,示数为F3;第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中,示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零,则以下判断正确的是( )A.F3=、F4= B.F3=、F4=0C.F3=、F4=0 D.F3=4F0、F4=答案 B 设该行星的质量为M,则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F1==F0。在赤道处,弹簧测力计的读数为F2=,则向心力Fn2=F1-F2=F0=mω2·R。由于该行星的体积为V=πR3,所以该行星距球心以内的部分的质量为M'=·M=M,物体在赤道平面内深度为处受到的万有引力F3'==F1=F0,物体需要的向心力Fn3=mω2·=mω2R=F0,所以在赤道平面内深度为的隧道底部,弹簧测力计的示数为F3=F3'-Fn3=F0-F0=F0。第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时,物体受到的万有引力恰好提供向心力,所以弹簧测力计的示数为0,即F4=0,故B正确。2.(2020浙南名校联考)(多选)2017年9月25日17时开始,微信启动页背景中的地球图片由非洲大陆上空视角,变化成了我们的祖国上空。以前微信开启时显示的地球图片是美国卫星成像图,,而新版影像则是由“风云四号”卫星实际拍摄而成。“风云四号”是一颗静止轨道卫星。如图所示,1是静止在赤道上随地球自转的物体,2是近地卫星,3是“风云四号”卫星。R为地球的半径,r为物体或卫星到地心的距离,T、v、ω、a分别为物体或卫星做匀速圆周运动的周期、线速度、角速度和向心加速度。下列图像可能正确的是( )答案 AC 物体1和卫星3的周期相同,而卫星2和卫星3均绕地球转动,则=,选项A正确;物体1和卫星3的角速度相同,故v=ωr,而对于卫星2和卫星3,则有G=m,即v=,选项B错误;物体1和卫星3的角速度相同,而对于卫星2和卫星3,则有G=mω2r,即ω2=,选项C正确;物体1和卫星3的角速度相同,故a=ω2r,对于卫星2和卫星3,则有G=ma,则a=,选项D错误。3.(2020湖北武汉模拟)2020年6月23日09时43分,第55颗北斗导航卫星成功发射。这是北斗三号全球卫星导航系统第三颗地球同步轨道(GEO)卫星,也是北斗三号全球卫星导航系统最后一颗卫星,历时20余年建设的中国北斗导航系统将正式完成全球组网。北斗导航系统由静止地球同步轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。中圆地球轨道卫星绕行周期为12h,运行轨道平面与赤道共面,绕行方向与地球自转方向相同,同步卫星轨道半径是地球半径的k倍。则( )A.中圆地球轨道卫星与静止地球同步轨道卫星的轨道半径之比为1∶2B.中圆地球轨道卫星与在地球赤道上随地球自转的某物体的线速度之比为2k2∶1C.单位时间内同步卫星扫过的面积是中圆地球轨道卫星的4倍D.中圆地球轨道卫星每24h扫描地球赤道一圈答案 D 由开普勒第三定律=k可知中圆地球轨道卫星与静止地球同步轨道卫星的轨道半径之比为,A错误;对中圆地球轨道卫星与静止地球同步轨道卫星,由=m可知v=,对静止地球同步轨道卫星与在地球赤道上随地球自转的某物体,有v=ωr,联立可知B错误;运动天体与中心天体的连线在单位时间内扫过的面积S0=,由开普勒第三定律=k,可得S0=π,结合选项A的分析可知C错误;设中圆地球轨道卫星扫描地球赤道一圈的时间为Δt,这个过程中,中圆地球轨道卫星比地球自转多一圈,则有-=1,解得Δt=24h,所以D正确。4.(2020北京顺义二模)2019年1月3日10时26分,“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆,标志着我国探月航天工程达到了一个新高度,图示为“嫦娥四号”到达月球背面的巡视器。已知地球和月球的半径之比约为4∶1,其表面重力加速度之比约为6∶1。则地球和月球相比较,下列说法中最接近实际的是( ),A.地球的密度与月球的密度之比为3∶2B.地球的质量与月球的质量之比为64∶1C.地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为8∶1D.苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力之比为60∶1答案 A 由G=mg得M=,则=×=,B选项错误;由M=、V=πR3、ρ=得ρ=,则=×=,A选项正确;由G=m和G=mg得v1=,则==,C选项错误;由F=G得=×=×=,故D选项错误。5.(2020重庆一中期末)贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜。通过FAST测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角),如图所示。若最大视角的正弦值为k,地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动,则水星的公转周期为( )A.年 B.年C.年 D.年答案 C 本题应先理解最大视角的定义,如图所示,连接太阳、水星和观察者,构成虚线三角形,由正弦定理得=,当sinα=1,即α=90°时θ最大,此时观察者与水星的连线与水星轨道相切,由三角函数可得,此时sinθ==k,由万有引力提供向心力得G=mr,解得T=2π,故==(也可以直接由开普勒第三定律得到),得T水=T地·,而T地=1年,故T水=年,故选C。6.(2020天津和平耀华中学月考)在X星球表面,宇航员做了一个实验:如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,受到的弹力为F,速度大小为v,其F-v2图像如图乙所示。已知X星球的半径为R0,引力常量为G,不考虑星球自转。则下列说法正确的是( )A.X星球的第一宇宙速度v1=B.X星球的密度ρ=C.X星球的质量M=D.环绕X星球运行的离星球表面高度为R0的卫星的周期T=4π答案 D 小球在最高点时有mg0-F=m,可得F=mg0-,当F=0时,有mg0=m,可得g0=,则X星球的第一宇宙速度为v1==,故A错误;根据G=mg0,可得X星球的质量为M==,X星球的密度为ρ===,当v2=0时,有mg0=a,则小球的质量m==,故B、C错误;根据,G=m,解得T=2π,则环绕X星球运行的离星球表面高度为R0的卫星的周期为T=2π=4π,故D正确。7.(2020湖北八校一联)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的试验“火星-500”。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时,经历如图所示的变轨过程,则下列说法不正确的是 ( )A.飞船在轨道Ⅱ上运动时,在P点的速度大于在Q点的速度B.飞船在轨道Ⅰ上运动时,在P点的速度大于在轨道Ⅱ上运动时在P点的速度C.飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度D.若轨道Ⅰ贴近火星表面,测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期,就可以推知火星的密度答案 B 在轨道Ⅱ上,由Q点到P点,万有引力做正功,根据动能定理知,速度增大,则在P点的速度大于在Q点的速度,故A正确;飞船在轨道Ⅰ上的P点进入轨道Ⅱ,要做离心运动,需加速,可知在轨道Ⅱ上时在P点的速度大于在轨道Ⅰ上时在P点的速度,故B错误;在不同轨道上的P点,由于所受的万有引力相等,根据牛顿第二定律知,加速度大小相等,故C正确;设火星的半径为R,根据G=mR得火星的质量M=,则火星的密度ρ===,故D正确。8.(2019湖南常德一模)(多选)2018年12月8日发射成功的“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行,到达月球附近,成功实施近月制动,顺利完成“太空刹车”,被月球捕获并顺利进入环月轨道。现将整个奔月过程简化如下:“嫦娥四号”探测器从地球表面发射后,进入地月转移轨道,经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ,在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ,之后将择机在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是( )A.“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时,在P点的加速度大于在Q点的加速度B.“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C.“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度小于月球的第一宇宙速度D.“嫦娥四号”在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道Ⅰ上M点的速度答案 CD 根据万有引力提供向心力有=ma,可得a=,可知“嫦娥四号”探测器沿轨道Ⅱ运行时,在P点的加速度小于在Q点的加速度,故A错误;“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上运动轨道的半长轴小于在轨道Ⅰ上运动的轨道半径,根据开普勒第三定律可知“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上运行周期小于在轨道Ⅰ上运行的周期,故B错误;月球的第一宇宙速度是物体贴近月球表面做匀速圆周运动的速度,“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的轨道半径大于月球半径,根据=,可得线速度v=,可知“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小,故C正确;“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过M点时若要进入轨道Ⅰ,需减速做向心运动,所以在地月转移轨道上经过M点的速度比在轨道Ⅰ上经过M点时的速度大,故D正确。9.(2020湘赣皖第二次联考)(多选)在天体运动中,把两颗相距很近的恒星称为双星。已知组成某双星系统的两颗恒星A、B的质量分别为m1和m2,相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点,在同一平面内做,匀速圆周运动,运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G。恒星A的动能为Ek,则恒星B的动能为( )A.G-Ek B.G-EkC.Ek D.Ek答案 BC 对双星,都是万有引力提供向心力,故G=m1ω2R1=m2ω2R2,其中L=R1+R2,联立解得R1=,R2=,根据v=rω,则==,则===,即Ek2=Ek,C正确,D错误;G=m2=,即Ek2=·,同理Ek=·,则Ek+Ek2=·=,则Ek2=G-Ek,B正确,A错误。【技巧点拨】解决双星、多星问题,要抓住四点(1)双星或多星的特点、规律,确定系统的中心以及运动的轨道半径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识,寻找两者之间的关系,正确计算万有引力。10.(2020贵州贵阳一模)(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,则( )A.直线三星系统运动的线速度大小为v=B.直线三星系统的运动周期为T=4πRC.三角形三星系统中星体间的距离为L=RD.三角形三星系统的线速度大小为v'=答案 BC 对直线三星系统中的其中一颗环绕星,有G+G=M,解得v=,A错误;根据T=,可知B正确;对三角形三星系统中的任意一颗星体,有2Gcos30°=M()·()2,三角形三星系统的周期等于直线三星系统的周期,T=4πR·,联立解得L=R,C正确;根据T=,若按照r=R计算,就会得到v'=,但r=≠R,故D错误。
