高斯定理是静电学中的一个重要定理,反映了静电场的基本性质,即静电场是有源场,通过本节的学习,将会更深刻地理解什么是有源场.为理解高斯定理,应先理解什么是“通量”.通量最早是在流体力学中引入的,其实通量是矢量场的共性,并且它总是和一个假想的面联系在一起的.\n一、任意矢量场的通量通量是矢量场的共性,并且它总是和一个假想的面联系在一起.任意矢量场闭合曲面S,将它分成许多无限小面元dS,dS很小,以致每个面元上的场矢量可视为常量.中有定义面元矢量\n矢量通过面元的通量定义为对整个闭合面的通量对有限开曲面Sαα\n二、电场强度通量S（a）均匀场中垂直于的平面SS⊥θθ（b）均匀场中与成任意角的平面SdSθ（c）非均匀场中的任意曲面\n（1）穿过电场中任一面元的电场线条数等于通过该面元的电场强度通量.通量（2）通量是标量,但它不是点函数,只能说某面元或某曲面的而不能说某点的通量.（3）通量是代数量（即可正可负）.在场强一定时,其正负取决于面元法向的选取.对闭合曲面来说,通常规定由内向外的方向为面元法线的正方向.对非闭合曲面,应根据情况事先规定好法线方向.说明\n三、高斯定理1．定义及数学表达式在任意的静电场中,穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷的代数和除以真空电容率.由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性.或闭合曲面称为高斯面,穿过任意高斯面的电场强度通量只与高斯面所包围的电荷系有关,而与高斯面的形状无关,也与电荷系的电荷分布情况无关.\n2．证明（1）包围点电荷q的闭合曲面为球面+球面上任一点的电场强度：通过该闭合球面的电场强度通量为\n即通过闭合球面的电场强度通量等于球面所包围的电荷q除以真空电容率,而和所取球面的半径r无关.即取不同r值的任一球面都能得出上述结果.（2）通过包围点电荷q的任意闭合曲面S′的电通量都等于.\nqSr穿过球面S的电场线一定穿过曲面S′,因此通过任意闭合曲面S′的电场强度通量等于通过球面S的电场强度通量,即在任意闭合曲面S′内作球面S,由电场线的性质知道：\n以q为球心,任一r1为半径作一球面S1,以q为顶点和,作任一小锥体,分别在S1和S上截出面元其电通量分别为\n现在又以q为中心,r2为半径作球面S2,与锥体截出,如图.面元为由立体几何知都非常小,故认为有因为面元\n有相等的通量,而S面及S1面可用许多锥体分成这样一对对面元,故S面的电通量等于S1面的电通量,而S1面是球面,故有\n即包围点电荷q的曲面为任意曲面时,仍能得（1-22）式的结果（既高斯定理仍然成立）.q是负电荷的情况同理可以证明,只需将q换为-q即可.\n（3）点电荷q在任意闭合曲面S之外电场线穿进时对闭合曲面S的通量贡献为负,穿出时对闭合曲面S的通量贡献为正,正负抵消,因此,通过闭合曲面S的通量为零,即\n任意闭合曲面S,在S面上选一闭合曲线L,把S分成S1和S3两部分（非闭合）.再以L为边线作非闭合曲面S2,使S2分别与S1和S3组成闭合曲向并包围了q,这时S1qS2S3LS=S1+S3（利用步骤（2）的结果）\n（正负电荷都有此结果）\n（4）推广①闭合曲面S内有q1、q2、……qn个点电荷,且它们可正可负,有即多个点电荷的通量等于它们单独存在时的代数和.通量\n②闭合曲面S外有多个点电荷③电荷为连续分布的任意带电体把带电体分为点电荷的集合,再利用叠加原理,（1-25）式仍成立,只是这时面内总净电荷量改成积分,即\n3．对高斯定理的说明（1）高斯定理是静电场的基本定理之一,揭示了场和场源的内在联系,它说明静电场是有源场.（2）高斯定理和库仑定律的等价性与区别.（3）高斯定理给出了场强的通量与电荷之间的关系,要区分场强和的通量是不同的.（4）通量中的场强,是闭合曲面内外所有电荷共同激发的,即是说,闭合面S上任一点的场强,是S内外所有电荷在该点产生的场强的矢量和,而高斯定理数学表达式右端的电荷量,只是闭合面内的净电荷量.\n总通量与闭合面内电荷的分布无关.总通量与闭合面S的形状、大小无关.总通量与S面外的电荷无关.（5）总电场强度通量的三个无关\n四、高斯定理的应用1．解题步骤（1）分析电场的对称性（2）根据电场不同的对称性,选取相应的适当的高斯面（高斯面是闭合曲面并过场点）（3）分别计算通过高斯面的电通量和高斯面内的净电荷量,根据高斯定理列出方程,求出场强的大小（4）讨论\n求均匀带正电的无限长细棒的电场分布,该棒上线电荷密度为.解：对称性分析细棒无限长,其上任一点都可视为中点,图中取O点为中点,在O点上下的对称位置,取任一对等量的电荷元由叠加原理,P点的总场强必然垂直于棒而离开棒.lrdq2dq1rP高斯面O2．举例（补充）\n根据场强具有轴对称性的特点,选取与细棒同轴的半径为r的封闭圆柱面为高斯面,设柱面高l,通过高斯面的电通量为场强具有轴对称性\n高斯面内的净电荷量为根据高斯定理列方程得无限长细棒外任一点P的总场强其方向垂直于棒而离开棒.\n【例2（书P20例1）】电荷以面密度均匀分布于一个无限大平面上,求其激发的场强.解：用反证法证明无限大带电平面外的场强方向垂直于平面.高斯面取圆柱面、正方体或长方体的表面根据高斯定理得S2S1PPσσ\n写成矢量形式为背离带电平面的单位矢.\n（2）无限大均匀带电平面的电场中,各点的场强与场点的位置无关,带电平面的两边各形成一个均匀电场.（3）利用上述结果,得到讨论（1）场强方向若,与方向相同,场强背离带电面；若,与方向相反,场强指向带电面.\n①两个带等量同号电荷的无限大平行平面的场强分布两无限大平行平面之间的场强两无限大平行平面之外的场强②两个带等量异号电荷的无限大平行平面的场强分布两无限大平行平面之间的场强两无限大平行平面之外的场强\n无限大带电平面的电场叠加问题\n例3(补充)：求无限长均匀带电圆柱面的电场.柱面半径R,电荷面密度.RlSPr解：电场分布具有轴对称性过P点作与圆柱面同轴的高为l,半径为r的封闭圆柱面为高斯面.由高斯定理得令表示圆柱面每单位长度上的电荷,则（和例1无限长带电直线的结果一样）带电圆柱面内部各点场强等于零.\n例4：求均匀带电球面内外的电场.P22例2SS′RrrPO+++++++++++++Q+q解：从电荷分布的球对称性可得球面所产生的电场为球对称分布,这意味着场强的方向过球心沿矢径指向外面,其到球心距离r相等处,场强的大小处处相等.这时可以作一个通过场点P的同心球面为高斯面,如图所示.\nP点场强为写成矢量形式上述对称性分析对球面内的电场也是适用的.如果P点在球面外,即r≥R,由高斯定理得这表明,均匀带电球面外一点的场强,与把球面上电荷全部集中在球心时产生的场强一样.\nSS′RrrPO+++++++++++++Q+q即,球面外电场方向沿半径方向背离球面.\n【例5】电荷q均匀分布于半径为R的球体上,求球体内外的电场分布.P22例3解：球体所产生的电场为球对称分布,这意味着场强的方向过球心沿矢径指向外面,其到球心距离r相等处,场强的大小处处相等.这时可以作一个通过场点P的同心球面为高斯面,如图所示.SS′RrrPO+++++++++++++Q+q\nP点场强为写成矢量形式上述对称性分析对球体内的电场也是适用的.如果P点在球体外,即r＞R,由高斯定理得这表明,均匀带电球面外一点的场强,与把球面上电荷全部集中在球心时产生的场强一样.\n球内任意点场强为写成矢量形式SS′RrrPO+++++++++++++Q+q\n（1）用高斯定理求场强的关键,在于分析电场的对称性.（2）应选取适当的封闭几何面作为高斯面.高斯面必须通过带求场强的场点,同时必须是规则的便于计算通量的几何面.（3）对于非对称电场,虽然不能用高斯定理求出场强,但定理仍然是成立的.结论习题：1.4.5；1.4.8；1.4.9；1.4.10\n一半径为R的无限长圆柱体内均匀带电,电荷体密度为ρ,求柱内外电场强度的分布.在半径分别为R1和R2的两层同心球面中间,均匀分布电荷体密度为ρ的正电荷,求电场强度分布.\n四、电场线定义：在任意电场中,电场线是电场中的一系列假想曲线,曲线上任一点的切线方向和该点的场强方向相同,这些曲线叫做电场线.规定（大小）：通过场中任一面元的电场线条数正比于该面元的通量,即:通过任一面元的场线条数=\n设穿过它的电场线的条数为在电场中任一点取一个与电场线垂直的面元,,则穿过与电场线垂ABCPdS⊥直的单位面元的电场线条数定义为电场线密度,即在此基础上可以用电场线的疏密来表示电场的强弱：按规定故k为比例常数\n即场中任一点的电场线密度与该点场强大小成正比；电场线密的地方,场强大,电场线疏的地方,场强小.常把比例常数k的值取为1,这时：通过任一面元的电场线的条数等于该面元的通量,场中某处的电场线密度等于该处的场强.引入电场线后,对电场有了直观的描述：电场线上某点切线的方向为场强的方向,场中某处场强的大小等于该处的电场线密度.\n下面画出几种电场的电场线正电荷负电荷\n两个等量正电荷两个等量异号电荷\n两个不等量异号电荷带等量异号电荷平行板–q+2q\n电场线性质：（1）静电场线起自正电荷（或无限远）,终止于负电荷（或无限远）,在没有电荷的地方不中断（场强为零的奇异点除外）.（2）静电场线不能构成闭合曲线.任何两条电场线不会相交.可以在蓖麻油中放入细小的头发屑,头发屑在电场力的作用下重新排布,从而可模拟各种静电场中的电场线的分布.沿电场线方向电势不断减小.\n性质1是高斯定理的必然结果；性质2是环路定理的必然推论.性质1：电场线发自正电荷（或无限远）,终于负电荷（或无限远）,在无电荷处不中断.SS由高斯定理证明设空间某点有电场线发出,则穿过面S的通量说明S内有净余正电荷,电场线就从这些正电荷发出.有正电荷有负电荷习题：1.5.2
