初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题4.10第4章图形的相似单元测试（培优卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•海曙区期末）若a5=b8，则b-aa等于（ ）A．35B．53C．85D．58【分析】直接利用已知得出a=58b，进而代入原式求出答案．【解析】∵a5=b8，∴a=58b，则b-aa=b-58b58b=35．故选：A．2．（2019秋•禅城区期末）已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）A．2：3B．4：9C．16：81D．9：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解析】因为两个相似三角形的相似比为4：9，所以则这两个三角形的对应高的比为4：9．故选：B．3．（2020•拱墅区校级一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（ ）第24页/共24页
A．7.2B．6.4C．3.6D．2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解析】∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC，即DE4.8=34，解得，DE＝3.6，故选：C．4．（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（ ）A．35B．23C．45D．32【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．【解析】∵DE∥AB，∴CEAE=CDBD=32，∴CECA的值为35，故选：A．5．（2018秋•象山县期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）第24页/共24页
A．4：1B．3：1C．2：1D．3：2【分析】由相似多边形的性质知AB：DE＝2：1，据此设AE＝x，DE＝a，则DC＝AB＝2a，根据面积比得出2a(x+a)2a2=41，整理可得答案．【解析】∵矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，∴AB：DE＝2：1，∴设AE＝x，DE＝a，∴DC＝AB＝2a，则2a(x+a)2a2=41，整理，得：x＝3a，则xa=3，即AE：ED＝3：1，故选：B．6．（2019秋•花都区期末）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（ ）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA1＝1：3，可得位似比为：1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解析】∵点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，OA：OA1＝1：3，∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似比为：1：3，∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是：1：9．第24页/共24页
故选：D．7．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（ ）条．A．3B．4C．5D．6【分析】△AOB是直角三角形，且OAOB=34，要使△COD与△AOB相似，则OCOD=34或43，这样可以得到D点的坐标有四个，然后确定直线的条数．【解析】若△AOB∽△COD，则OAOB=OCOD=34，∴OD=83，则D（83，0）或（-83，0）．若△AOB∽△DOC，则OAOB=ODOC=34，∴OD=32，则D（32，0）或（-32，0）．所以可以作出四条直线．故选：B．8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解析】A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；故选：D．第24页/共24页
9．（2020春•工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（ ）A．3mB．3.2mC．3.4mD．3.6m【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例，进而得出答案．【解析】连接AC，过点M作MF⊥PF，∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，∴21.5=PF1.8，解得：PF＝2.4，∴PQ＝PF+FQ＝PF+MN＝2.4+0.8＝3.2（m），故选：B．10．（2018秋•福田区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③MNEF=22；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（ ）第24页/共24页
A．4B．3C．2D．1【分析】①正确，只要证明△NBA≌△NBC，∠ABE+∠ANE＝180°即可解决问题；②正确．只要证明△AFH≌△AFE即可；③正确．如图2中，首先证明△AMN∽△AFE，可得NMEF=ANAE=22，即可解决问题；④错误．相似三角形不止4对相似三角形．【解析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH．∵四边形ABCD是中正方形，∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△BNA和△BNC中，BN=BN∠NBA=∠NBCBA=BC，∴△NBA≌△NBC（SAS），∴AN＝CN，∠BAN＝∠BCN，∵EN＝CN，∴AN＝EN，∠NEC＝∠NCE＝∠BAN，∵∠NEC+∠BEN＝180°，∴∠BAN+∠BEN＝180°，∴∠ABC+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°，∴AN＝NE，AN⊥NE，故①正确，∴∠3＝∠AEN＝45°，∵∠3＝45°，∠1＝∠4，∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°，∴∠3＝∠FAH＝45°，∵AF＝AF，AE＝AH，∴△AFE≌△AFH（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE，∠AFH＝∠AFE，故②正确，∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，∴∠AMN＝∠AFD，∴∠AMN＝∠AFE，∵∠MAN＝∠EAF，第24页/共24页
∴△AMN∽△AFE，∴NMEF=ANAE=22，故③正确，图中相似三角形有△ANE∽△BAD～△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故④错误，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•闵行区一模）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为 40 cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解析】设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴x100-x=23，解得，x＝40，故答案为：40．12．（2019秋•长春期末）如图，△ADE～△ABC，AD＝3，AE＝4，BE＝5，CA的长为 12 ．第24页/共24页
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案．【解析】∵△ADE∽△ABC，∴AEAC=ADAB，∵AD＝3，AE＝4，BE＝5，∴4AC=39，解得：AC＝12．故答案为：12．13．（2020•淮安区一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 3.6 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．【解析】∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC，即DE4.8=34，∴DE＝3.6，故答案为：3.6．14．（2019秋•昭平县期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若△PAB与△PCD是相似三角形，则BP的长为 1或2 ．第24页/共24页
【分析】根据平行线的性质得到∠C＝∠B＝90°，求得CP＝BC﹣BP，①当ABCD=PBPC，②当ABPC=PBCD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∵CP＝BC﹣BP，①当ABCD=PBPC，即12=PB3-PB时，△ABP∽△DCP，解得：PB＝1，②当ABPC=PBCD，即13-PB=PB2时，△ABP∽△PCD，解得：x1＝1，x2＝2，∴BP＝1或BP＝2，故答案为：1或2．15．（2019秋•镇海区校级期中）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是 3 ．【分析】根据相似三角形对应边成比例可得DFBD=EFAB，BFBD=EFCD，然后代入数据两式相加其解即可．【解析】∵两根电线杆AB、CD都竖直，EF垂直于地面，∴△ABD∽△EFD，△BCD∽△BEF，∴DFBD=EFAB，BFBD=EFCD，∴DFBD+BFBD=EFCD+EFAB，即EF12+EF4=1，解得EF＝3．故答案为：3．16．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝ 74或258 ．第24页/共24页
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时．【解析】∵∠ACB＝90°，AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，∴∠OMC+∠B＝180°，∴∠MOB+∠BCM＝180°，∴∠MOB＝90°，∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOM∽△ACB，∴AMAB=OAAC，∴AM10=58，∴AM=254，∴CM＝AC﹣AM＝8-254=74．第24页/共24页
②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，∵∠BOC＝∠OMN，∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，∴∠MOC＝∠A，∵∠MCO＝∠ACO，∴△OCM∽△ACO，∴OC2＝CM•CA，∴25＝CM•8，∴CM=258，故答案为74或258．17．（2019秋•南岸区期末）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是 （﹣3，0）或（113，43） ．【分析】连接HD并延长交x轴于点P，根据正方形的性质求出点D的坐标为（3，2），证明△PCD∽△PGH，根据相似三角形的性质求出OP，另一种情况，连接CE、DF交于点P，根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式，求出两直线交点，得到答案．【解析】连接HD并延长交x轴于点P，则点P为位似中心，第24页/共24页
∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，2），∴点D的坐标为（3，2），∵DC∥HG，∴△PCD∽△PGH，∴PCPG=CDHG，即OP+3OP+9=24，解得，OP＝3，∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（﹣3，0），连接CE、DF交于点P，由题意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F（5，0），求出直线DF解析式为：y＝﹣x+5，直线CE解析式为：y＝2x﹣6，y=-x+5y=2x-6，解得，x=113y=43，直线DF，CE的交点P为（113，43），所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（113，43），故答案为：（﹣3，0）或（113，43）．第24页/共24页
18．（2018•桓台县一模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是 4 ．【分析】连接CE，根据∠DCE＝90°，F是DE的中点，可得CF=12DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值．【解析】如图，连接CE，∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD＝∠AEG，又∵∠AGE＝∠DGC，∴△AGE∽△DGC，∴AGDG=EGCG，又∵∠AGD＝∠EGC，∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG＝∠ECG，又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，∵F是DE的中点，∴CF=12DE，∵△ABC∽△ADE，∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，第24页/共24页
当AD⊥BC时，AD=AB×ACBC=4.8，∵ADDE=ABBC，即4.8DE=610，∴DE＝8，∴CF=12×8＝4．故答案为：4．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2017秋•锡山区校级月考）（1）已知ba=34，求a-2ba+2b的值．（2）已知x2=y3=z4，求x-2y+3zx+y+z的值．【分析】（1）依据比例的性质可得到2b＝1.5a，然后代入计算即可；（2）设x2=y3=z4=k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k，然后代入计算即可．【解析】（1）∵ba=34，∴2b＝1.5a，∴a-2ba+2b=a-1.5aa+1.5a=-15；（2）设x2=y3=z4=k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴x-2y+3zx+y+z=2k-6k+12k2k+3k+4k=89．20．（2018•洪雅县模拟）如图是9×16的边长为1的方格，在方格中有△ABC．（1）以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1，使作出的边长A1B1＝2AB，并保留作图痕迹；（2）将△ABC绕点A顺时针方向旋转45°，在旋转的过程中，△ABC形状保持不变，面积逐渐增大，旋转到45°时止，此时得到△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的8倍，请你计算AC′、C′B′的长，并作出旋转后的图形．第24页/共24页
【分析】（1）以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1，使作出的边长A1B1＝2AB，据此进行作图即可；（2）根据△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的8倍，△ABC绕点A顺时针方向旋转45°，据此进行作图即可得到△AC′B′，以及AC′、C′B′的长．【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△AB'C即为所求；计算：假设AC'＝xA'C，则C'B'＝xCB，则有12AC'×C'B'=12x2AC×CB＝8×12AC×CB，∴x＝22，∴AC'＝22，C'B'＝42．21．（2019秋•大观区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，求AF：CF的值．【分析】作DH∥BF交AC于H，易证FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理，由此即可解决问题．【解析】作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵DH∥BF，∴FH＝HC，∵AE：AD＝1：4，第24页/共24页
∴AE：ED＝1：3，∵DH∥BF，AFFH=AEED=13，∴AF：FC＝1：6．22．（2019•惠城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC边上取点D，使AB＝BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，交BC于点H．（1）求证：EF＝DH；（2）若AB＝6，DH＝2DF，求AC的长．【分析】（1）利用AAS证明△AFE≌△EHD，再由全等三角形的性质可得结论；（2）DH＝2DF，EF＝DH及正方形的边长为6，求得DF和EF的长；再判定△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质得比例式，求得DC的长，从而可得BC的长；最后在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长．【解析】（1）证明：在正方形ABDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠EDH＝90°∴∠DHE+∠GEF＝90°∵EG⊥AC∴∠GEF+∠GFE＝90°∴∠GFE＝∠DHE在△AFE和△EHD中∠AFE=∠EHD∠AEF=∠EDHAE=ED=90°∴△AFE≌△EHD（AAS）第24页/共24页
∴EF＝DH；（2）∵DH＝2DF，EF＝DH∴设DF＝x，则EF＝DH＝2x∵AB＝6∴AE＝DE＝6∴x+2x＝6∴x＝2∴DF＝2，EF＝4∵在正方形ABDE中，AE∥BD∴△AEF∽△CDF∴DCAE=DFEF∴DC6=24∴DC＝3∴BC＝BD+DC＝6+3＝9∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=62+92=313∴AC的长为313．23．（2019•城步县模拟）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．【解析】设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），第24页/共24页
当△APQ∽△ABC时，APAB=AQAC，即2t8=16-3t16，解得：t=167；当△APQ∽△ACB时，APAC=AQAB，即2t16=16-3t8，解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：167s或4s．24．（2020•宝安区二模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，BE＝2OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC、PE．（1）若AO＝3，求AC的长度；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE＝k•PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）通过证明△ACB∽△AEC，可得ACAE=ABAC，即可求解；（2）连接OC，设OB＝OC＝3k，用k表示OC，CD，DO的长，由勾股定理逆定理可证∠OCD＝90°，可证CD是⊙O的切线；（3）通过证明△EOP∽△POD，可得PEPD=OPOD=13，即可求解．【解析】（1）∵AO＝BO＝3，BE＝2OE，∴OE＝1，BE＝2，AB＝6，∴AE＝4，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，第24页/共24页
∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△AEC，∴ACAE=ABAC，∴AC4=6AC∴AC＝26；（2）如图，连接OC，∵设OB＝OC＝3k，∵BE＝2OE，∴OE＝k，BE＝2k，∴CE=OC2-OE2=22k，∵DE＝BD+BE＝AB+BE＝8k，∴CD=CE2+DE2=62k，∵OC2+DC2＝9k2+72k2，OD2＝81k2，∴OC2+DC2＝OD2，∴∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（3）连接OP，第24页/共24页
设OB＝OC＝OP＝3k，∵BE＝2OE，∴OE＝k，BE＝2k，∵OEOP=OPOD=13，∠EOP＝∠POD，∴△EOP∽△POD，∴PEPD=OPOD=13，∴PE=13PD，∴k=13．25．（2020•武侯区模拟）如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求BPCE的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长．【分析】（1）先求出∠APE＝∠ABC＝90°，∠PAE＝∠PEA＝∠ABC＝45°，即可得出结论；（2）由（1）知，△APE∽△ABC，得出AEAC=APAB，再判断出∠PAB＝∠EAC，进而判断出△PAB∽△EAC，即可得出结论；（3）先画出图形，利用勾股定理求出CP'，再分两种情况，求出CE和CE'，借助（2）的结论，即可得出结论．【解析】（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，由旋转知，PA＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC，∴∠PAE＝∠PEA＝45°＝∠BAC，第24页/共24页
∴△APE∽△ABC；（2）在Rt△ABC中，AB＝CB，∴AC=2AB，由（1）知，△APE∽△ABC，∴AEAC=APAB，∵∠BAC＝∠PAE＝45°，∴∠PAB＝∠EAC，∴△PAB∽△EAC，∴BPCE=ABAC=AB2AB=22，∵△PAB∽△EAC，∴∠ABP＝∠ACE，∴∠BCE+∠CBM＝∠BCE+∠ABP+∠ABC＝∠BCE+∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝45°+90°＝135°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCE+∠CBM）＝45°；（3）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∴AC＝32，∵点P，C，E在同一条线上，且∠APE＝90°，∴CP=AC2-AP2=17，∴CE＝CP﹣PE=17-1或CE'＝CP'+P'E=17+1，由（2）知，BPCE=22，∴BP=22CE=22（17-1）=34-22或BP'=22CE'=34+22；即：BP的长为34+22或34-22．第24页/共24页
26．（2020•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出ADAC=ACAB，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段BFBC=BEBF，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD．（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段EDEG=EFDE，则DE=2EF，可求出DG，则答案可求出．【解析】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB，∴AC2＝AD•AB．第24页/共24页
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BFBC=BEBF，∴BF2＝BE•BC，∴BC=BF2BE=423=163，∴AD=163．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC=12∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF=12∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG=EFDE，第24页/共24页
∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE=2EF，又∵DGDF=DEEF，∴DG=2DF=52，∴DC＝DG﹣CG＝52-2．第24页/共24页
