初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题4.3相似多边形姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•红桥区期末）下列各组图形中，是相似图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．2．（2019秋•嘉兴期末）下列说法正确的是（ ）A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可．【解析】∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴所有正方形都是相似多边形，故选：C．3．（2018秋•福田区校级期末）下列说法正确的是（ ）第12页/共12页
A．菱形都是相似图形B．矩形都是相似图形C．等边三角形都是相似圈形D．各边对应成比例的多边形是相似多边形【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，故选：C．4．（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（ ）A．∠D＝81°B．∠F＝83°C．∠G＝78°D．∠H＝91°【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．【解析】∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝83°，∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣83°＝81°．故选：A．5．（2020•邗江区一模）下列图形中一定是相似形的是（ ）A．两个等边三角形B．两个菱形C．两个矩形D．两个直角三角形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解析】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，第12页/共12页
故选：A．6．（2019秋•南昌期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）A．任意两个圆B．任意两个等腰三角形C．任意两个菱形D．任意两个矩形【分析】根据我们把形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．【解析】A、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；B、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；C、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；D、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；故选：A．7．（2019•桥西区校级一模）如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（ ）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AB，得到四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．【解析】作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，∴BE＝4，由勾股定理得，AB=AE2+BE2=5，∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选：D．第12页/共12页
8．（2020春•广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）A．2：1B．4：1C．2：1D．1：2【分析】设原矩形ABCD的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．【解析】设原矩形ABCD的长为x，宽为y，∴小矩形的长为y，宽为x4，∵小矩形与原矩形相似，∴x4y=yx∴x：y＝2：1故选：A．9．（2019秋•吴兴区期末）如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD＝AE．则AB：AD的值是（ ）A．2：1B．3：1C．5+12D．5-12【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．【解析】∵矩形ABCD∽矩形BCFE，∴FCAD=ADAB，即AB-ADAD=ADAB，整理得，AB2﹣AD•AB﹣AD2＝0，AB=1±52AD，第12页/共12页
∴AB：AD=5+12，故选：C．10．（2020春•文登区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积为（ ）A．1B．22C．2D．22【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】设AE＝x，则AD＝2AE＝2x，∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，∴AEAB=ABAD，即x1=12x，解得，x=22，∴AD＝2x=2，∴矩形ABCD的面积为AB•AD＝1×2=2，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•徐汇区一模）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 1.6 ．【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．【解析】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′＝BC：B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，∴C′D′＝1.6，故答案为：1.6．12．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为 100° ．第12页/共12页
【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．【解析】∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为：100°．13．（2016•建湖县一模）下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 ③④ （只填序号）【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．【解析】①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；③两个等边三角形一定相似；④两个正方形一定相似；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误，故答案为：③④．14．（2017秋•杨浦区校级月考）利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为 563 ．【分析】根据相似三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．【解析】因为原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，所以放大前后的两个三角形的周长比为6：8＝14：8×146，故答案为：56315．（2019秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 87° ．第12页/共12页
【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠α的度数．【解析】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝138°，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝87°．故答案为：87°．16．（2019秋•枣庄期中）如图，已知矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝BE，那么BCAB= 1+52 ．【分析】根据相似多边形对应边的比相等，列出关系式BCCD=ABEC，设BC＝x，AB＝y，则xy=yx-y，整理得出x2﹣xy﹣y2＝0，将y看作常数，运用公式法求出x=1±52y，即可求解．【解析】设BC＝x，AB＝y，则AD＝BC＝x，BE＝AB＝y，EC＝BC﹣BE＝x﹣y．∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴BCCD=ABEC，即xy=yx-y，∴x2﹣xy﹣y2＝0，∴x=1±52y，∵x＞0，y＞0，∴xy=1+52，∴BCAB=1+52．故答案为1+52．17．（2019秋•金凤区校级期中）如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 1.5 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？第12页/共12页
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解析】当20-220=30-2x30时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，解得，x＝1.5，故答案为：1.5．18．（2019秋•息县期末）如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为53，则AEBE（AE＜BE）的值为 12 ．【分析】由正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为53，不妨假设EF=5k，AB＝3k，证明△HAE≌△EBF（AAS），推出AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，在Rt△EFB中，根据EF2＝BE2+BF2，构建方程即可解决问题．【解析】∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为53，∴不妨假设EF=5k，AB＝3k，∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，∴∠AEH＝∠EFB，∵EH＝EF，∴△HAE≌△EBF（AAS），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，∴（5k）2＝（3k﹣x）2+x2，第12页/共12页
整理得x2﹣3kx+2k2＝0，解得x＝k或2k（舍弃），∴AE＝k，BE＝2k，∴AEBE=12，故答案为12．三．解答题（共6小题）19．（2018秋•恩阳区期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．【解析】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴x8=y11=96，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．∴x＝12，y=332，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．20．如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x、y的长度和角α、β的大小．【分析】根据四边形内角和定理以及相似多边形的性质即可解决问题．【解析】在四边形ABCD中，∠D＝∠D'＝β＝55°，∠A＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°，∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴9x=128=y10，第12页/共12页
∴x＝6，y＝15．21．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．【分析】如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值；如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案．【解析】如图1中，∵△ABC∽△A′B′C′，∴x18=m2m，α＝40°，∴x＝9；如图2中，∵∠D＝180°﹣65°﹣70°＝45°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴α＝∠D＝45°．22．（2020•余干县模拟）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．【分析】内外矩形的对应角相等，所以当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可．【解析】当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．解得x＝1.2答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．23．（2019秋•孟津县期中）一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D相似吗？为什么？第12页/共12页
【分析】先求出外框的长与宽，再求出对应边的比的值即可判断．【解析】不相似；内边缘的矩形ABCD长AD＝300cm，宽AB＝150cm，外边缘的矩形长A'D'＝315cm，宽A'B'＝165cm，∵ADA'D'=300315，ABA'B'=150165=300330，ADA'D'≠ABA'B'，所以内外边缘所成的两个矩形不相似．24．（2018秋•无棣县期末）（1）直线y＝2x+3与抛物线y＝ax2交于A、B两点，已知点A的横坐标为3．求A、B两点的坐标及抛物线的解析式；（2）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．【分析】（1）首先根据点A的横坐标求得其纵坐标，然后代入抛物线求得其解析式，然后联立组成方程组后求交点坐标即可；（2）利用相似多边形的性质得到ABDE=AEDC=12，而根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，从而利用比例性质得到DE＝8，AE＝2，然后计算AE+DE即可．【解析】（1）∵点A的横坐标为3，∴y＝2×3+3＝9，∴点A的坐标是（3，9）把A（3，9）代入y＝ax2中，得：a＝1，∴抛物线的解析式是：y＝x2；根据题意，得：y=x2y=2x+3解得：x=3y=9或x=-1y=1第12页/共12页
∴点B的坐标是（﹣1，1）；（2）解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴ABDE=AEDC=12，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴4DE=AE4=12，∴DE＝8，AE＝2，∴AD＝AE+DE＝2+8＝10．第12页/共12页
