专题13 旋转变换（录入：王云峰）阅读与思考在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．例题与求解【例1】如图，边长为1的正△A1B1C1的中心为O，将正△A1B1C1绕中心O旋转到△A2B2C2，使得A2B2丄B1C1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为＿＿．（“新知杯”上海市竞赛试题）解题思路：S六边形ABCDEF＝，解题的关键是寻找CB1，CB2，CD，C1D之间的关系．【例2】如图，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分别为AB，CB，CD，AD的中点．求证：四边形NMQP为正方形．解题思路：连结BD，AC，并延长AC交于点E，则△OAC可以看作是由△OBD绕点O逆时针旋转90°得到的，且∠AED＝90°，这是证明本例的关键．\n【例3】如图，巳知在△ABC中，AB＝AC，P为形内一点，且∠APB＜∠APC．求证：PB＞PC．（北京市竞赛试题）解题思路：以A为中心，将△APB旋转一个∠BAC，使AB边与AC边重合，这时△APB到了△AP'C的位置．【例4】点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝＿＿＿＿；（2）如图3，若∠BAC＝，则∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；（3）将图3中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A，B重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿．请你任选其中一个结论证明．（武汉市中考试题）图1图2图3图4图5解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC∽△EDC，△BCD∽△ACE，这是解本例的关键．\n【例5】如图，已知凸五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．（北京市竞赛试题）解题思路：将△ABE以B为旋转中心顺时针旋转∠ABC，使得AB与BC重合，落在△CBE'位置，则△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．（广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA，EB，EC连结起来．能力训练A级1．如图，巳知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为＿＿＿＿．（上海市中考试题）第1题第2题第3题2．如图，P是正△ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与点P'之间的距离为＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．（青岛市中考试题）3．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．将CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，则△ADE的面积是＿＿＿＿．\n4．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转（0＜＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么＝＿＿＿＿．（上海市中考试题）第4题第5题第6题5．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60°至AB'C'D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．（全国初中数学联赛试题）6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜边BC上距离点B6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．（黄冈市竞赛试题）7．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为（，），则点A的坐标为（ ）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）（河南省中考试题）第7题第8题第9题8．如图，已知P是等边△ABC内部一点，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）A．2︰3︰4B．3︰4︰5C．4︰5︰6D．不能确定（全国初中数学通讯赛试题）9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC内一点，则（ ）A．PA＋PB＋PC＜AB＋ACB．PA＋PB＋PC＞AB＋ACC．PA＋PB＋PC＝AB＋ACD．PA＋RB＋PC与AB＋AC的大小关系不确定（武汉市竞赛试题）\n10．已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD．连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转角得到△F′OE′（如图2）．图1图2（1）探究A'E与BF′的数量关系，并给予证明；（2）当＝30°时，求证：△AOE'为直角三角形．（南通市中考试题）11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝，点M，N分别是BE，CF的中点．（1）若点A与点D重合，点E，F分别在AB，AC上（如图1），则AM与AN的数量关系是＿＿＿＿，∠MAN与的数量关系是＿＿＿＿；（2）将图1中的△DEF绕点A（D）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1图2\nB级1．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝60°，则△AMN的周长＝＿＿＿＿．（重庆市竞赛试题）第1题第2题第3题2．如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN＝45°，记AM＝，MN＝，BN＝，则以线段，，为边长的三角形的形状是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随，，的变化而变化（安徽省竞赛试题）3．如图，直线＝与轴，轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B′的坐标是（ ）A．（3，4）B．（4，5）C．（7，4）D．（7，3）（丽水市中考试题）4．如图，正方形ABCD中，已知AB＝，点分别在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积．（“希望杯”邀请赛试题）第4题图①图②第5题5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．求证：BC＋DC＝AC；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝120°，求证：PA＋PD＋PC≥BD．（江苏省竞赛试题）\n6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，点D在边BC上，已知BD︰DC＝2︰3，当△ABC的面积是50cm2时，求△ADE的面积．（日本数学奥林匹克试题）第6题第7题7．如图，已知O是锐角三角形ABC内一点，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内任一点．求证：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC．（杭州市竞赛试题）8．（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B，C，G在同一条直线上，M为线段AE的中点．探究：线段MD，MF的关系；（2）如图2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，M为AE的中点．试问：第（1）问中探究的结论是否成立？（大连市竞赛试题）图1图2图3\n9．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°．按图1的位置，使点F在BC上，取DF的中点G，连结EG，CG．（1）探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；（2）将图中△BEF绕点B顺时针旋转45°，再连结DF，取DF中点G（如图2），第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；（3）将图1中△BEF绕点B转动任意角度（在0°～90°之间），再连结DF，取DF的中点G（如图3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明．图3图2图110．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4）．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为，∠ABO为．（1）如图1，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（2）如图2，当旋转后满足BC∥轴时，求与之间的数量关系；（3）当旋转后满足∠AOD＝时，求直线CD的解析式．（天津市中考试题）图1图2第10题第11题11．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AD，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）\n专题13旋转变换例1如图，连接OB1，OB2，B1B2，则OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1.又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2.同理，B2D＝DC1.设CB1＝x，则CB2＝x，CD＝x，DC1＝DB2＝2x，于是x＋x＋2x＝1，故＝＝.例2∵N，M分别为线段AB，CB的中点，∴MN＝AC.同理MQ＝BD，PQ＝AC，PN＝BD.∵AC＝BD，∴MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四边形NMQP为菱形.∵MN∥AC，MQ∥BD，∴AC⊥BD，∴∠NMQ＝90°，∴菱形NMQP为正方形.例3，，，.连接，由得，而，即，∴，于是，即.例4（1）60°45°（2）90°－（3）∠AFB＝90°－∠AFB＝90°＋对∠AFB＝90°－证明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝.例5∵，∴.连接.∵，，，∴，得，∴为正三角形，＝60°，又BC＝CD＝CE’，则＝30°.∴\n.例6将△ABE绕B点逆时针旋转60°，得△FBG，连接GE，FC，则△BEG为等边三角形，GE＝BE，∴FC≤FG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC为定长，∴当E点落在FC上时，FC＝EA＋EB＋EC为最小值.∵∠FBC＝150°，FB＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，即E在正方形ABCD的对角线BD上.作FH⊥BC交CB延长线于H，设BC＝x，则FB＝x，FH＝，HB＝，在Rt△FHC中，由，得x＝2或x＝－2（舍去），即正方形的边长为2.例6题图A级1.1或52.6150°3.14.80或1205.2-提示:如图,过B'作MN//AD，分别AB,CD于M,N,点B’C’交CD于K，则B’M=AB’sin60°=,B’N=1-,AM=,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=∠KAD=15°,∠ADB’=75°,△ADK∽△DNB’,
,DK=2-,重叠部分面积=2S△AKD=
6.过P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可证明四边形PMGN为正方形,PM=,S重叠=S正方形PMGN=.7.D8.A9.B提示:将△CPA绕点A逆时针旋转60°到△C’AP’,连结PP’,△APP’为等边三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.10.(1)AE’=BF’.(2)证法较多，如取OE’中点G,连结AG.11.(1)AM=AN,∠MAN=a.(2)第(1)问的结论仍成立，理由如下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,进一步可以证明△ABM≌△CAN.B级1.2提示:MN=BM+CN2.B提示:△ACM≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°\n,又CN=CN,则△MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m2+n2=x2.3.D4.提示:将△ADF'绕点A顺时针方向旋转90°,到△ABG.的位置,则△AEF≌△AEG.∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=,EF=EG=2(),S△AEF=S△ABG=EG·AB=.5.(1)提示:延长BC至E,使CE=CD连结DE,证明△ACD≌△BED.(2)将△ABD绕点A旋转60°到△ACB’,连结B’D,B’P,则四边形AB’DP符合(1)的条件,于是B’P=PA+PD连结AC,则△ABD≌△ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,从而BD≤PA+PD+PC.6.直接解题有困难,△ABC绕点A逆时针旋转120°,240°拼成正△MBC(如图),则正△ADE变为正△AD1E1和正△AD2E2易知,六边形DED1E1D2E2是正六边形,△DD1D2是正三角形,其面积是△ADE面积的3倍..因此,设法由正△MBC面积为150求出△DD1D2的面积,问题就解决了.注意到BD:DC=CD1:D1M=MD2:D2B=2:3,连结DM,则S△ADE=S△ABD=36cm2,而=36cm2.同理,可得=150-3×36=42cm2,故S△ADE==14cm2.7.如图,将BP,BO,BC绕点B沿顺时针方向旋转60°，变为BP'，BO’,BC’连结OO’,PP’,则△BOO’,△BPP’都是正三角形.因此OO’=OB,PP’=PB,显然△BO’C’≌△BOC,△BP’C≌△BPC,由于∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’四点共线.故AP+PP’+P’C≥AC’=AO+OO’+O’C,即PA+PB+PC≥OA+OB+OC.\n8.(1)提示:延长DM交EF于N,由△ADM≌△ENM,得DM=MN,MF=DN,FD=FN,故MD丄MF.(2)延长DM交CE于N,连结DF,FN先证明△ADM≌△ENM,再证明△CDF≌△ENF.第(1)问中的结论仍成立.(3)第(1)问中的结论仍成立,延长DM至N,使MN=DM,连结DF,FN,证法同上.(9)提示:EG=CG,EG丄CG,B,E,D在一条直线上,(2)仍然成立，延长EG交CD于H点△FEG≌△DHG,△ECH,△ECG为等腰直角三角形.(3)仍然成立.10.(1)(2)a＝2b(3)如图1,△OAE≌△DAE,△ABO≌△ABD,B,D,C,三点共线.设D(a,b),则解得,∴,可得直线CD的解析式为.如图2,同理可得,.11.提示:易证∠ACB=90°,如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°,得到△AQO,点D为AB的中点，连结PQ,得到△APQ为等边三角形.过点Q作QE丄AP,垂足为E,则∠AQE=30°,QE=,AE=PE连结DE,则DE=BP=，于是DE2=()2=QE2+QD2,从而∠DQE=90°,∠AQD=∠AQE+∠EQD=120°=∠APC.过点C作CF丄AP交AP的延长线于点F，得到∠CPF=60°,∵PC=2,∴PF=1,CF=,于是AC2=AF2+CF2=,∴S△ABC=2S△ACD=\n
