第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(26)一、单选题1．将一张长方形纸片（如图1）进行折叠操作，第一次折叠后如图2），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；第二次折叠后（如图3），使得，再沿着将纸片剪开，取部分继续折叠；……按此操作，若将纸片沿着剪开，此时小于20°，则n的最小值是（）A．2B．3C．4D．52．如图，在中，，分别以，，为边，在的同侧作正方形，，．若图中两块阴影部分的面积分别记为，，则对，的大小判断正确的是（）A．B．C．D．无法确定3．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）A．梯形B．正方形C．菱形D．矩形4．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=3，BC=4，则△BOC的周长为（）,A．6B．8C．9D．105．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若，，，则四边形ABCD的面积为（）A．48B．24C．20D．156．如图，点，在菱形的对角线上，，，与的延长线交于点．则对于以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由8．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．9B．100C．110D．121,二、解答题8．已知，在菱形中，，垂足为，与相交于点．（1）求证：；（2）9．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求点E的坐标；（2）求点D的坐标．10．问题：如图1，在中，，，D为BC边上一点（不与点B．C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC．（1）求证：；（2）探索：如图2，在与中，，，，将绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段、、之间满足的数量关,系，并证明你的结论；（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，，若，，求AD的长．11．如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，①则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案．12．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证MN⊥DE．（2）若∠A=70°，求∠DME的度数．13．如图，已知，点P射线上的一个动点，过点P作，交于点C，点D在内，且满足．（1）当时，连接，求的长；,（2）若点M在射线上，请写出一个的值，使得在点P的运动过程中，总有，并证明．14．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．求证：四边形CDOF是矩形．15．如图①，正方形中，，点、分别在边、上，且，此时显然，成立．（1）如图②，当绕点逆时针旋转时，那么和还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③绕点逆时针旋转，延长交于点；当，时，则线段的长为_______．16．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，∠B＝60°，AD＝8cm，AB＝16cm，BC＝10cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为ts，解答下列问题：（1）设的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值．（2）当t为何值时，为等边三角形？（3）当t为何值时，∠PQB＝30°？,17．如图，将矩形纸片中，，，沿折叠，使点落在边上点处，点落在点处，与相交于点．（1）如图，当点为边的中点时，求的长．（2）如图，当，求、的长．（3）如图，在（2）条件下，求四边形的面积．18．如图1长方形纸条ABCD，其中，，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到．如图2所示：（1）若，______；（2）改变折痕MN位置，始终是______三角形，请说明理由；（3）当的面积最小值时，的大小可以为______；,（4）当MK为多少时，的面积最大？并求出这个最大值．19．在四边形ABCD中，AD//BC．∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm．BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ＝CD，需要经过的时间是多少？20．如图，在△ABC中，点O为边AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠GCA的角平分线CF于点F，交∠BCA的角平分线CE于E．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（不需证明）三、填空题21．如图，以正方形ABCD的DC为边向外作正三角形DCE，连接AC、AE，则∠CAE的度数是______．22．如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是上一动点．将沿直线折叠，点落在点处，在上任取一点，连接，，，则的周长的最小值为________．,23．如图，在矩形中，，．过点作于，则等于________．24．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2．点E为CD的中点．将△BCE沿BE折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接DF，则DF的长为__________________．25．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，点D是BC上的一个动点，D点关于AB，AC的对称点分别是E和F，四边形AEGF是平行四边形，则四边形AEGF的面积的最小值是__．26．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为___．27．某直角三角形的周长为24，斜边上的中线长为5，则该三角形的面积等于______．28．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线．若添加一个条件即可判定该四边形是矩形，则这个条件可以是___．29．如图，矩形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，若，，则的长为_________．,30．如图，在▱ABCD中，分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是_____．,,【答案与解析】1．C【解析】根据图形的变化分别求解第一次折后，，第二次折后，从而可得第次折后的角为：，由＜20°，经验算可得答案．解：∵第一次折叠后（如图2），补原图形，使得，由矩形∴，即．同理：第二次折叠后，补图如图3，由，,每一次折叠后形成的角都为原角的，第次折后的角为：，所以有：＜20°，经验算可得：n的最小值为4．故选：C．本题考查了图形的变化类，考查了矩形的性质，轴对称的性质，解决本题的关键是观察图形的变化发现规律并总结出规律．2．B【解析】连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，根据已知条件易证△BHK≌△ABC，继而由全等三角形的性质得S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，再由全等三角形的判定可得△BCJ≌△HKL，进而可得S1＝S△BHK＝S△ABC，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC≌△AIG，继而可得S△ABC＝S△AIG＝S2，等量代换即可求解．解：连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，由题意可知：四边形BCED是正方形，四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∠ACB＝90°∴∠CEH＝∠ECK＝90°,CE＝BC∵∠BKH＝90°,∴四边形CEHK是矩形，∴CE＝HK又∠HBK＋∠ABC＝90°,∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠HBK＝∠BAC∴△BHK≌△ABC（AAS）∴S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，∵∠ABC＋∠CBJ＝90°，∠BHK＋∠KHL＝90°∴∠CBJ＝∠KHL,∴△BCJ≌△HKL（ASA）∴S△BCJ＝S△HKL，∴S1＝S△BHK＝S△ABC，∵四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∴AB＝AI，AC＝AG，∠G＝∠ACB＝90°∴△ABC≌△AIG（SAS）∴S△ABC＝S△AIG＝S2，即S1＝S2故选：B本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．3．D【解析】根据三角形的中位线性质可以得到四边形的两对对边分别平行，根据菱形的对角线互相垂直可以得到这个四边形是矩形，所以连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形．证明：∵E，H是中点，∴EH∥BD，同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，∴EH∥FG，EF∥GH，,则四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，EH∥BD，∴AC⊥EH，∵EF∥AC，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：D．本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．4．C【解析】由矩形的性质可得AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC=90°，由勾股定理可求AC=5，即可求△BOC的周长．∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC=90°∵AB=3，BC=4，∴AC=，∴CO+BO=AC=，∴△AOB的周长=BC+CO+BO=4+5=9．故选：C．本题考查了矩形的性质，勾股定理，求出CO=BO的长是本题的关键．5．B【解析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．解：∵AB=AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，,∴AD=CD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB=5，BO=BD=4，∴AO=3，∴AC=2AO=6，∴四边形ABCD的面积=×6×8=24，故选：B．本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．6．D【解析】先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性质得∠BFE＝80°，则∠EBF＝50°，然后证△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，进而得出①正确；由SAS证△ADE≌△ABE，得②正确；证出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质得OD＝CD＝BC，OC＝OD，则OC＝BC，进而得出④正确即可．解：∵四边形ABD是菱形，∠ADC＝120°，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝30°，∵∠BFE＝∠BCE＋∠CBF＝30°＋50°＝80°，∴∠EBF＝180°−∠BEC−∠BFE＝180°−50°−880°＝50°，在△CDE和△CBE中，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴∠DEC＝∠BEC＝50°，∴∠BEM＝∠DEC＋∠BEC＝100°，∴∠BME＝180°−∠BEM−∠EBF＝180°−100°−50°＝30°，故①正确；,在△ADE和△ABE中，∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；∵∠EBC＝∠EBF＋∠CBF＝100°，∴∠BEM＝∠EBC，在△BEM和△EBC中，∴△BEM≌△EBC（AAS），∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确；连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AC⊥BD，∵∠DCO＝30°，∴OD＝CD＝BC，OC＝OD，∴OC＝BC，∴AC＝2OC＝BC，∵BM＝EC，EM＝BC，∴AE＋BM＝AE＋EC＝AC＝BC＝EM，故④正确，正确结论的个数是4个，故选：D．本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．,7．C【解析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长和宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可．如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则OALP为矩形，，，又在中，，，在与中，，，同理可得：，则，，即矩形OALP为正方形，，，，，故选：C．本题考查了勾股定理的证明及正方形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，通过做辅助线证明三角形全等得出正方形是解题关键．8．（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）利用菱形的对边平行且相等，即可得出，由，得出（2）构建相似三角形，利用相似三角形的线段成比例，推出所证结果．,（1）证明：∵，∴，又∵，∴．（2）如图，联结交于点由菱形可知，，，∵，，∴∴，即∵，∴即．本题考查了利用菱形的性质，构建成比例线段，以及构建相似三角形，进行证明线段之间的关系．9．（1）；（2）【解析】（1）由折叠的性质得，利用勾股定理求出BE长，得到CE的长，就可以得到点E的坐标；（2）设，，由折叠的性质得，再在中利用勾股定理列式求出x的值，就可以得到点D的坐标．解：（1）∵折叠，∴，,在中，，∴，∴；（2）设，则，∵折叠，∴，在中，，即，解得，∴．本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解．10．（1）证明见详解；（2），理由见详解；（3）4；【解析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可；（3）如图5，做辅助线，构建全等三角形证明△BAD≌△CAG，得到BD=CG=6，证明△CDG是直角三角形，根据勾股定理计算即可；（1）在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）结论：，理由如下：如图4中，连接EC，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△ACE中，,∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴，∴，在Rt△ADE中，，∴；（3）如图5，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG=45°，∵∠ADC=45°，∴∠GDC=90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴BD=CG=6，在Rt△CGD中，∵CD=2，∴DG====，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD=AG=4．本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．,11．（1）AE＝5；（2）①t值为3或4或；②当t为6或秒时，△PAE为直角三角形；【解析】（1）由长方体ABCD中，CD=9，CE=6，可以求出DE的长，又由AD=4，在△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的长；（2）①根据若△PAE为等腰三角形，分三种情况讨论：当EP=EA时，当AP=AE时，当PE=PA时；②需要分情况讨论：AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形，从而分别去计算t的值；（1）在长方形ABCD中，∠D＝90°，CD＝AB＝9，在Rt△ADE中，DE＝9－6＝3，AD＝4，∴AE＝5，（2）①若△PAE为等腰三角形，则有三种可能．当EP＝EA时，AP＝6，∴t＝BP＝3，当AP＝AE时，则9－t＝5，∴t＝4，当PE＝PA时，则，∴t＝，综上所述，符合要求的t值为3或4或．②若∠EPA=90°，t=6，若∠PEA=90°时，由（1）可知AE＝5，如图所示，做PF⊥CD交CD于点F，∴，∴，可得：，解得t=，综上所述，符合要求的t值为或6．,本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，结合勾股定理，直角三角形的性质等知识点，要注意分类讨论，以防遗漏．12．（1）见解析；（2）40°【解析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DM=ME，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=BC，ME=BC，∴DM=ME又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，由（1）中可知DM=ME=BM=MC，∴∠BMD=∠MDC+∠MCD=180°-2∠ABC，∠CME=∠MBE+∠MEB=180°-2∠ACB，∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），=360°-2（∠ABC+∠ACB），=360°-2（180°-∠A），=2∠A=140°，∴∠DME=180°-140°=40°本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角和与内角和，掌握基本性质是解题的关键．,13．（1）CD=6；（2）OM=4，总有MC=MD【解析】（1）由题意易得∠OPC=∠APD=60°，则有∠CPD=60°，进而问题可求解；（2）延长CP至点Q，使得PQ=PD，连接MQ，过点M作ME⊥CP于点E，过点M作MN⊥OB于点N，由（1）可得∠OPC=∠APD=∠CPD=60°，则有∠MPD=∠MPQ=120°，进而可得△MPQ≌△MPD，然后可得MQ=QD=MC，由∠MNC=∠NCE=∠MEC=90°可得四边形MNCE是矩形，则有CE=MN=2，最后根据含30°角的直角三角形的性质可求解．解：（1）如图所示：∵PC⊥OB，∠AOB=30°，∴∠OPC=60°，∵∠OPC=∠APD=60°，∴∠CPD==60°，∵PC=PD，∴△CPD是等边三角形，∴PC=CD，∵PC+PD=4，∴PC=CD=2；（2）延长CP至点Q，使得PQ=PD，连接MQ，过点M作ME⊥CP于点E，过点M作MN⊥OB于点N，如图所示：,由（1）可得∠OPC=∠APD=∠CPD=60°，∴∠MPD=∠MPQ=120°，∵MP=MP，∴△MPQ≌△MPD（SAS），∴MQ=MD，∵MC=MD，∴MQ=MC，∴EQ=EC，∵PC+PD=4，CQ=PC+PQ，∴CQ=4，∴CE=2，∵∠MNC=∠NCE=∠MEC=90°，∴四边形MNCE是矩形，∴CE=MN，在Rt△OMN中，∠AOB=30°，∴OM=2MN=4，∴当OM=4时，总有MC=MD．本题主要考查含30°角的直角三角形及矩形的判定与性质，熟练掌握含30°角的直角三角形及矩形的判定与性质是解题的关键．14．见解析．【解析】利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形．证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°，∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°；∵OA=OC，OD平分∠AOC，,∴OD⊥AC，AD=DC，∴∠CDO=90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°∴四边形CDOF是矩形本题考查了矩形的判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．15．（1），还成立，证明见解析；（2）【解析】（1）延长DB交AF于点O，交FC于点G，根据正方形的性质得到AD＝AF，∠DAF＝90°，根据全等三角形的性质得到BD＝CF，由∠ADB＝∠AFC可得结论；（2）如图③，连接BF，BC交AF于点O，由勾股定理求出BC，再根据等腰直角三角形的性质得到OA＝OB＝OC＝，OF＝，在中，根据勾股定理得，由等面积法求出BH，在中根据勾股定理即可得到结论．（1），还成立，理由如下：如图，延长交于点，交于点，∵四边形是正方形，∴，．∵中，，，∴．∴．∴，．∵，,∴．∴．（2）如图，连接、交于点O，∵，，，∴由勾股定理得．∴．∵绕点逆时针旋转，∴．∴，．∴．∵，，∴．在中，根据勾股定理得：．∴．由（1）得，，∴．∴．在中，由勾股定理得：．故答案为：．,此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．16．（1）24cm2；（2）4s；（3）【解析】（1）先求出BQ的值，有三角形面积公式即可求解；（2）由等边三角形的性质求解即可；（3）由直角三角形的性质求解即可；解：（1）∵AB＝16cm，BC＝10cm．点P，点Q的速度均为2cm/s，∴t＝s，AQ＝BC＝10cm，∴BQ＝6cm，∴S＝S△PBQ＝6×8＝24cm2，（2）当BQ＝BP时，△PQB为等边三角形，∵∠B＝60°，BQ＝BP，∴△PQB为等边三角形，∴2t＝16﹣2t，∴t＝4，∴当t为4s时，△PQB为等边三角形；（3）∵∠PQB＝30°，∠B＝60°，∴∠QPB＝90°，且∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴16﹣2t＝2×2t，∴t＝，∴当t为时，∠PQB＝30°．本题主要考查了四边形综合，准确分析计算是解题的关键．17．（1）；（2），；（3）．【解析】（1）由题意可知PC=3，由翻折的性质可知BE=PE，设EC=x，则PE=9-x，在Rt△PEC中，依据勾股定理列方程求解即可；（2）依据含30°直角三角形的性质可知：EC=PE，设EC=x，则EB=9-x，由翻折的性质可知,EP=BE=9-x，列出关于x的方程可求得EC的长，然后利用特殊锐角三角函数值，可求得PC、PD、DH的长，然后设AF=y，由翻折的性质可知AF=QF=y，最后依据FQ=FH列方程求解即可；（3）连结EH，先求得FH和PH、PE的长，最后依据四边形FEPH的面积=△FHE的面积+△HPE的面积求解即可．解：（1）设，∵为中点，∴，在中，，∴，，∴．（2）设，，∵，∴，∴，，∴，∴，，，∴，∵，，∴，∴即．（3）．本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、特殊锐角三角函数值、翻折的性质，解答本题的关键是利用特殊锐角三角函数值求得相关线段的长，同时连结HE将四边形的面积转为两个三角形的面积之和求解是解题的关键．18．（1）；（2）等腰，理由见解析；（3）或；（4），【解析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；（3）分B、C的对应点在CD的上方和B、C的对应点在AB的下方两种情况求解即可；（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，,∴AM//DN，∴∠KNM=∠1．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，∴∠MKN=40°．故答案为：40；（2）等腰，理由：如图1，∵AB//CD，∴∠1=∠MND，∵将纸片沿MN折叠，∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，∴KM=KN；故答案为：等腰；（3）如图2，∵KN边上的高不变，等于AD的值，∴当KN最小时，的面积最小值，∵KM=KN，∴当KM⊥CD时，KN最小．∵，，∴．,同理可求．（4）①如图3，当B、D重合，K、D重合时，设，则，∴，∴，∴，②如图4，当M、A重合，C、N重合时，∵∠BAM=∠CAK，∠BAM=∠DCA，∴∠CAK=∠DCA，∴MK=CK，设，则，，∵，∴．综合以上可得，当MK=2.6时，△MNK的面积最大值为1.3．本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度．19．8s或s,【解析】设运动时间为t秒，则有AP＝t，CQ＝2t，分PQ//CD和PQ与CD不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解．解：（1）当PQ//CD时，∵AD//BC，∴四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，而AP＝t，CQ＝2t，PD＝AD－AP＝24－t，即：2t＝24－t解得：t＝8．（2）当PQ与CD不平行时，而AD//BC，PQ＝CD，∴四边形PDCQ是等腰梯形，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则四边形ABND、PMND均是矩形，∴AD＝BN＝24，CN＝BC－BN＝2，QM＝CN＝2，PD＝MN，而CQ＝QM＋MN＋NC，∴2t＝24－t＋2＋2，解得：t＝．此题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的判定与性质，属于动点型问题，关键是分类讨论点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值．20．（1）证明见解析；（2）当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．证明见解析；（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形【解析】（1）结合题意，得∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF；结合MN//BC，根据平行线的性质，得∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF；从而得到OE＝OC，OF＝OC，即可完成证明；（2）当O为AC的中点时，AO＝CO；结合EO＝FO，可推得四边形AECF是平行四边形；再结合（1）的结论，计算得∠ECF＝90°，即可得平行四边形AECF是矩形；,（3）结合（2）的结论，当∠OCE＝∠OCF时，四边形AECF是正方形；根据∠ECF＝∠OCE+∠OCF＝90°，得∠ACB=∠OCE+∠BCE=90°，即可得到答案．（1）∵MN交∠GCA的角平分线CF于点F，交∠BCA的角平分线CE于E∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF∵MN//BC∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF∴OE＝OC，OF＝OC∴OE＝OF；（2）当O为AC的中点时，AO＝CO又∵EO＝FO∴四边形AECF是平行四边形∵∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠GCF＝180°∴∠ECF＝∠OCE+∠OCF＝90°∴平行四边形AECF是矩形∴当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形（3）结合（2）的结论，当∠OCE＝∠OCF时，四边形AECF是正方形又∵∠ECF＝∠OCE+∠OCF＝90°∴∠OCE＝∠OCF＝45°∵∠OCE＝∠BCE∴∠ACB=∠OCE+∠BCE=90°∴当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．本题考查了角平分线、平行线、等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线、等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形的性质，从而完成求解．21．30°【解析】先利用正方形的性质得到DA=DC，∠CAD=45°，∠ADC=90°，利用等边三角形的性质得到DE=DC，∠CDE=60°，则DA=DE，∠ADE=150°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠DAE=15°，然后计算∠CAD与∠DAE的差即可．解：∵四边形ABCD为正方形，,∴DA=DC，∠CAD=45°，∠ADC=90°，∵△CDE为等边三角形，∴DE=DC，∠CDE=60°，∴DA=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∴∠DAE=∠DEA，∴∠DAE=（180°-150°）=15°，∴∠CAE=45°-15°=30°．故答案为：30°本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了等边三角形的性质．22．【解析】如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接，此时△的周长最小，最小值=，当最小时，△的周长最小，求出的最小值即可解决问题；如图所示，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接，此时△的周长最小，最小值=，∵四边形ABCD矩形，∴∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，∴AC===5，所以△的周长的最小值=5+，当最小时，△的周长最小，∵AE=DE==，∴CE==，∵≥EC-，,∴≥-，∴△的周长的最小值为5+-=，故答案为：．本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题题型．23．【解析】由题可知AB和AD的长度，根据勾股定理可得BD的长度，再由得到AG的长度，在△ABG中利用勾股定理即可求解；∵四边形为矩形，∴∠BAD=90°，∵，，∴在中，，∴，∵，∴，则，,∴，在中：，∴．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，利用面积法求得AG的长是解决问题的关键．24．【解析】如图，连接CF交BE于点G，根据勾股定理可求出BE，根据三角形的面积公式可求出CG，进而可得CF，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠DFC＝90°，再根据勾股定理即可求出答案．解：如图，连接CF交BE于点G，由折叠得：BF＝BC＝2，EF＝EC＝CD＝AB＝，∴BE是CF的中垂线，∴BE⊥CF，FG＝CG，∵BE＝，∴S△CBE＝×2×＝×CG，∴CG＝，∴CF＝2CG＝，∵DE＝EF＝CE＝，∴∠EDF=∠EFD，∠ECF=∠EFC，∵∠EDF+∠EFD+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠DFC＝∠DFE+∠CFE=90°，由勾股定理得：DF＝＝＝，,故答案为：．本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．25．【解析】由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，当AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，求出AD的长，即可得出四边形AEGF的面积的最小值．由对称的性质得：AE=AD=AF，∵四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形，∴∠EAF=2∠BAC=120°，当AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，∵∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=，∴四边形AEGF的面积的最小值=．故答案为：．本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．26．【解析】连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH=1，AF=，由ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP=RQ，则点R与点M重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：则四边形ABEH是矩形，∴HE=AB=1，AH=BE=BC+CE=2+4=6，∵四边形CEFG是矩形，,∴FG//CE，EF=CG=2，∴∠RFP=∠RCQ，∠RPF=∠RQC，FH=EF-HE=2-1=1，在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF=，在△RFP和△RCQ中，，∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP=RQ，∴点R与点M重合，∵点N是AC的中点，∴MN是△CAF的中位线，∴MN=，故答案为：．本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．27．【解析】由直角三角形斜边中线的性质，求出斜边；根据周长，求出直角边的和；根据勾股定理得出直角边平方和；根据完全平方公式推出两直角边乘积，即可求出答案．解：如图，∵∠ACB＝90°，,CD是斜边上的中线，∴AB＝2CD＝10．∵AB＋AC＋BC＝24，∴AC＋BC＝14，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2＝100，∴（AC＋BC）2﹣2AC•BC＝100，∴AC•BC＝48，∴S＝AC•BC＝24．故答案为：24．题考查了对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据三角形斜边中线的性质、勾股定理、完全平方公式求出AC•BC的值是解答此题的关键．28．(答案不唯一)．【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可得答案．解：在▱ABCD中，如果添加一个条件，就可推出▱ABCD是矩形，那么添加的条件可以AC=BD，故答案是：AC=BD(答案不唯一)．此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理．29．2【解析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．是的中点，．沿折叠后得到，，，．在矩形中，，．在和中，，，．设，则，，,在中，，，即，解得．即．故答案为：2．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．30．【解析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．解：过G点作GM⊥AF于点M，由折叠知AG＝AD＝4，∵∠GAF＝45°，∴∠AGM＝45°，∴AM＝GM＝＝4，∵DE＝BF，∴设DE＝BF＝x，则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，∵GH＝5.5∴EF＝2x+5.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠AED＝∠AEG，∴∠FAE＝∠FEA，∴AF＝EF＝2x+5.5，∴AB＝AF+BF＝3x+5.5，MF＝AF﹣AM＝2x+1.5，由勾股定理得，FG2﹣FM2＝MG2，即（x+5.5）2﹣（2x+1.5）2＝42，解得，x＝3，或x＝﹣（舍），,∴AB＝3x+5.5＝14.5，故答案为：14.5．本题考查勾股定理，平行四边形性质，方程思想的运用，属于综合提高题．
