第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(31)一、单选题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相垂直D．两组对角分别相等2．如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，，若，则的长度是（）A．6B．8C．10D．123．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（ ）A．3B．4C．5D．4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（）A．12B．16C．20D．24二、解答题5．如图，在中，，，垂直于于点，是的中点．,（1）求证：；（2）若，求的长．6．如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．7．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接．若，求证：四边形是菱形．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为 ．,9．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF//CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．10．如图，长方形OBCD的OB边在轴上，OD边在轴上，OB=15，OD=9，在BC上取一点E，使△CDE沿DE折叠后，点C落在轴上，记作点F．（1）求点F的坐标；（2）求点E的坐标．11．如图，在中，，点是的中点，将沿翻折得到，联结．（1）求证：；（2）求的长．12．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，、为折痕，求的度数；（2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，、为折痕，若，求的度数；,（3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，、为折痕，若，求的度数（用含的式子表示）13．如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF．（1）求证：△FAC≌△BAE；（2）图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC，请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数．14．已知中，点E在延长线上，连接，（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点C作垂线，交于于点F，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线，交于G，交于H，连接，若，，，求的长．15．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．,16．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．17．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．（1）求证：AE=EF；（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．将△ACD沿对角线AC翻折得到△ACD′，CD′交AB于点F．（1）判断△ACF的形状，并证明；（2）直接写出线段AF的长．三、填空题,19．如图，在矩形中，AB=3，BC=4，点分别是边的中点，连接，得到一个新的四边形则四边形的面积为_____________．20．在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则顶点的坐标为________．21．如图，两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．22．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数是_______．23．如图，已知正方形的边长为3，点是边上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转90°到，连接，，则的最小值______．24．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AC、BC的中点，如果EF＝5，那么菱形ABCD的周长,_____．25．在△ABC中，点G是重心，∠BGC=90°，BC=8，那么AG的长为____．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为_____．27．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是_______．28．如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝_____．29．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_____cm．30．如图所示，在矩形中，，，两条对角线相交于点，、,为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，以为、邻边作第2个平行四边形，对角线相交于；再以、为邻边作第3个平行四边形……此类推，第2020个平行四边形的面积__________．,【答案与解析】1．B【解析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．A、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B．此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．2．D【解析】先证得DE是△ABC的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据证得AC=2EF求出答案．∵、分别是、的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=8，∵，∴DF=2，EF=6，∵，AE=CE，∴AC=2EF=12，故选：D．此题考查三角形中位线的判定及性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握各定理并运用解决问题是解题的关键．3．D【解析】根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出：BD=DC=AD=5，利用三角形面积公式解答即可．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，,∴，∵D是AB的中点，∴BD=DC=AD=5，，连接DE，∵E是BC的中点，∴，∵∴故选：D．本题主要考查的是勾股定理，直角三角形斜边上的中线，关键是根据勾股定理解出AB，进而利用直角三角形的性质解答．4．B【解析】延长CD，作的延长线于点F，构造出全等三角形，，即可得到四边形ABCD的面积就等于正方形AECF的面积．解：如图，延长CD，作的延长线于点F，∵，∴，∵，,∴，∵，∴四边形AECF是矩形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴四边形AECF是正方形，∵，∴．故选：B．本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．5．（1）见解析；（2）１．【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD，得到，继而得到再根据等腰三角形的判定推出AC=CD，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE的长，即可解题．（1）证明：在中，，D是AB的中点，,CE垂直AB于点E；（2）．本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．6．（1）见解析；（2）△ABC， △ADE ，△ADF ，△AFE【解析】（1）根据得到再根据已知条件求证再根据题意得∠ABD=∠ACE=45°，进而得到△DCE为直角三角形，再由点F是DE的中点得到CF=AF；（2）根据等腰直角三角形的性质和定义结合第一问即可得到结果．（1）证明：∵∴即∵，∴，∴∵，∴∵∴，,∴∴∴∵点F是DE的中点，∴，∴（2）图中所有的等腰直角三角形是：，，，；此题属于三角形旋转类综合性问题，涉及知识点为三角形全等，直角三角形斜边上的中线为斜边的一半．7．见解析【解析】根据平行四边形的性质，可以得到AD=CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE=∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED=∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到DE=BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE=DE，即可得到四边形EBFD为菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥CB，∴∠DAE=∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），,∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE=DE，∴四边形EBFD为菱形．本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．（1）见解析；（2）【解析】（1）先证四边形ABDE为平行四边形，再证得AE＝CD，得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AD＝CD，即可得出结论；（2）先由菱形的性质得AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，再证OD是△ABC的中位线，得AB＝2OD＝2，则AO＝AB＝2，然后由勾股定理求出AD的长即可解决问题．解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，,∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识；证得四边形ADCE为菱形是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2），证明见解析【解析】（1）先根据垂直平分线和直角证得DF//BC，再结合BF//CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据有一组临边相等的平行四边形是菱形，所以需添加的条件能证明有一组临边相等据此作答．解：（1）证明：∵DF垂直平分AC，，∴DF//BC，又∵BF//CE，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）当时，四边形BCEF是菱形，理由是：∵DF垂直平分AC，，，∴EA=EC，，∴，即，∴∆BCE是等边三角形，∴BC=EC，由（1）得四边形BCEF是平行四边形，∴四边形BCEF是菱形．,本题考查菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握判定定理，并能结合题意选择合适的定理证明是解题关键．10．（1）点F(12，0)；（2）点E(15，4)．【解析】（1）由四边形OBCD是长方形可得CD=OB=15、BC=OD=9、∠DOB=∠OBC=900，由折叠的性质可得DF=CD=15，然后运用勾股定理求得OF，即可确定F点的坐标；（2）运用线段的和差可得BF=OB-OF=3，再由折叠的性质可得CE=EF,设BE=x，则CE==9-x，然后运用勾股定理求得x即可解答．解：（1）∵四边形OBCD是长方形∴CD=OB=15，BC=OD=9，∠DOB=∠OBC=900由折叠△CDE得△FDE可知：DF=CD=15∴∴点F（12，0）；（2）由（1）得OF=12∴BF=OB-OF=15-12=3由折叠可知：CE=EF设BE=x，则CE=EF=BC-BE=9-x∴，解得x=4∴点E（15，4）．本题主要考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理的应用，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（1）见解析；（2）【解析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再由折叠的性质得，，再由外角和定理得，则，即可证明结论；（2）利用勾股定理求出BC的长，由（1）得，设，则，在和中，利用勾股定理列式求出x的值，再根据中位线定理得到即可．解：（1）∵，D是BC中点，,∴，∵折叠，∴，，∵，∴，∵，∴，即，∴；（2）∵，，，∴，由（1）知，设，则，∵折叠，∴AD是BE的垂直平分线，在和中，，，∴，即，解得，∵D、F分别是BC和BE的中点，∴．本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．12．（1）90°；（2）50°；（3）【解析】（1）由折叠的性质知，，即可得到；（2）由计算出，根据，，即可求出答案；（3）由求出，根据，计算得出，再计算,得出答案．（1）由折叠的性质知，，∴，，∴．（2）∵∴，∵，，∴，∴．（3）∵∴∵，∴∴．此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，角度的和差计算，掌握图形中各角度之间的位置及和差关系是解题的关键．13．（1）见解析；（2）以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC．【解析】（1）由题意利用正方形的性质得出∠FAC=∠BAE，AF=AB，AC=AE，即可得出△FAC≌△BAE；（2）由题意根据旋转前后图形的关系得出旋转中心和旋转角的度数即可．证明：（1）∵四边形ABGF和四边形ACDE是正方形，∴AF＝AB，AC＝AE，∵∠BAF＝∠CAE＝90°，∴∠BAF+∠BAC＝∠CAE+∠BAC即∠FAC＝∠BAE，∵在△FAC和△BAE中，，∴△FAC≌△BAE（SAS），（2）以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△FAC．本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和正方形的性质等知识，根据已知得出,∠FAC=∠BAE是解题的关键．14．（1）证明见解析；（2）证明见解析（3）14【解析】（1）由平行四边形性质可得∠A＋∠DCE=180°，结合已知可得∠DCE=∠E，从而由等角对等边可得CD=DE；（2）过D作DG⊥CE于点G，则由题意可得CE=2CG=2DF，从而得到BE=BC+CE=3DF；（3）由已知可得∠CBG=∠BGC，进一步可得∠HFG=∠FGC，从而可得BC=CG=FC，进而得到BE的值．（1）证明：由题意得：∠A=∠BCD，∠BCD＋∠DCE=180°，∴∠A＋∠DCE=180°，∵∠A＋∠E=180°，∴∠DCE=∠E，∴CD=DE；（2）如图，过D作DG⊥CE于点G，则四边形FDGC为矩形，∴CG=DF，又由（1）可知△DCE是等腰三角形，∴CE=2CG=2DF，∴BE=BC+CE=AF+DF+2DF=AF+3DF；（3）如图，,∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BGC，∵BG平分∠ABC，∴设∠ABG=∠CBG=∠BGC=α，∴BC=CG，∵∠FGH=45°，∴∠FGC=45°+α，∵∠BCF=90°，∴∠BHC=∠FHG=90°-α，∴∠HFG=45°+α=∠FGC，∴CG=FC，∴BC=FC=8，由（2）知CE=2DF=6，∴BE=BC+CE=8+6=14．本题考查平行四边形的综合运用，灵活运用平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质及有关角的性质是解题关键．15．（1）见解析；（2）60°．【解析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；（2）AE＝OF，四边形BFDE是菱形，BE=BF，可证△ABF≌△OBF,∠ABF=∠OBF,∠FBO=∠OBF,∠OBF=30°，即可求解．证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,又EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形;(2)∵四边形EBFD是菱形,∴ED=EB又AE＝OF，∠A=∠BOF∴△ABF≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,,∴∠ABF=∠FBO=∠OBF,∴∠OBF=30°∴∠BDC=60°．本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．16．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据平行四边形的性质得出DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四边形，再加上条件∠DEB=90，即可判定矩形；（2）根据矩形的性质求出∠BFC=90°，根据勾股定理求出BC，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°，RtΔBCF中CF=9，BF=12，∴BC===15，∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DAF，∴AF平分∠DAB．本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．,17．（1）见解析；（2）成立，理由见解析【解析】（1）取AB的中点M，连接ME，利用ASA证明△AME≌△ECF，可得AE=EF；（2）在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边相等得出AM=MN．（1）证明：取AB的中点M，连接EM，∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，∴∠1＋∠AEB=90°，∠2＋∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵BM=BE，∠BME=45°，且∠FCG=45°，∴∠AME=∠ECF=135°，AM=CE，在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF(ASA)，∴AE=EF；（2）解：结论AM=MN还成立．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-60°-（180°-∠B-∠MAE）=∠MAE，∵BE=AB-AE=BC-MC=BM，,∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°，在△AEM与△MCN中，，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．18．（1）等腰三角形，证明见解析；（2）．【解析】（1）由矩形的性质和折叠的性质，得到∠BAC＝∠ACD'，然后得到AF=CF，即可得到结论成立；（2）由题意，设AF=CF=x，则BF=4x，利用勾股定理，即可求出答案．解：（1）△ACF为等腰三角形，证明如下：∵矩形ABCD，∴AB∥CD．∴∠BAC＝∠ACD．又∵△ACD沿对角线AC翻折得到△ACD'，∴∠ACD＝∠ACD'．∴∠BAC＝∠ACD'．∴AF＝CF．∴△ACF为等腰三角形（2）在Rt△BCF中，设AF=CF=x，则BF=4x，由勾股定理，则，∴，,∴．本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．19．【解析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系，即可得出结论．解：如图所示，过A作AK∥DE，交CH的延长线于K，过B作BR∥AF，交DE的延长线于R，过C作CS∥BG，交AF的延长线于S，过D作DT∥CH，交BG的延长线于T，∵H是AD的中点，∴AH=DH，∵AK∥DP，∴∠K=∠DPH，又∵∠AHK=∠DHP，∴△AKH≌△DPH（AAS），∴S△AKH=S△DPH，同理可得，S△BRE=S△AQE，S△CSF=S△BMF，S△DTG=S△CNG，∵AH∥CF，AH=CF，∴四边形AFCH是平行四边形，同理可得，四边形BGDE是平行四边形，∴QM∥PN，QP∥MN，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵AK∥QP，AQ∥KP，∴四边形AQPK是平行四边形，,又∵E是AB的中点，EQ∥BM，∴Q是AM的中点，∴AQ=MQ，∴S四边形AQPK=S四边形MNPQ，同理可得，S四边形BMQR=S四边形MNPQ，S四边形MNCS=S四边形MNPQ，S四边形DTNP=S四边形MNPQ，∴S四边形BMQR=S四边形MNCS=S四边形DTNP=S四边形AQPK=S四边形MNPQ，∴S四边形MNPQ=S四边形ABCD=×3×4=故答案为：本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系．20．（，1）或（，-1）【解析】画出符合要求的图形，过A作AD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E，证明△AOD≌△OCE，得到OE=AD=，CE=OD=1，可得点C坐标，同理可得结果．解：如图，过A作AD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（，1），同理可得：点C1的坐标为（，-1），,综上：点C的坐标为：故答案为：（，1）或（，-1）．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出所有符合条件的正方形，作出辅助线证明全等．21．．【解析】由两个长宽分别为、的矩形如图叠放在一起，可证得阴影部分是菱形，然后设，则，，利用勾股定理可得方程：，则可求得的长，继而求得答案．解：如图：根据题意得：，，四边形是平行四边形，两个矩形等高，即，，，四边形是菱形，，,设，则，，在中，，，解得：，，．故答案为：．本题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握方程思想的应用是解此题的关键．22．45°【解析】延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS），可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF，可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=即可解题．解：如图，延长EB到点G，使得BG=DF，连接AG，在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=，AB=AD，∴∠ABG=∠ADF=，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，∴在△AEG和△AEF中，,，∴△AEG≌△AEF(SSS)，∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=，∴∠BAG+∠EAF+∠BAE=，∴∠EAG+∠EAF=，∴∠EAF=．故答案为：．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键．23．【解析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，易知△AED≌△GFE（AAS），F在BF的射线上，作点C关于BF的对称点C′，由全等三角形的性质可得∠CBF＝45°，继而求得点C′在AB的延长线上，进而分析可知当D、F、C′三点共线时，DF＋CF＝DC′最小，在Rt△ADC′中，由勾股定理即可求解．连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将绕点E顺时针旋转90°到，∴EF⊥DE，EF＝DE，∴∠DEA＋∠GEF＝∠DEA+∠ADE＝90°∴∠GEF＝∠ADE又∠A＝∠EGF＝90°∴△AED≌△GFE（AAS）∴FG＝EA∵F在BF的射线上，作点C关于BF的对称点C′∵EG＝DA，FG＝AE∴AE＝BG∴BG＝FG,∴∠FBG＝45°∴∠CBF＝45°∴点C′在AB的延长线上，当D、F、C′三点共线时，DF＋CF＝DC′最小，在Rt△ADC′中，AD＝3，AC′＝6，∴DC′＝∴DF＋CF的最小值为故答案为：．．本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及其性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是将线段的和通过轴对称旋转转化为共线线段即可．24．40【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．解：∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AB＝2EF＝2×5＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．故答案为：40．本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．25．8【解析】延长AG交BC于D，根据重心的定义，点D为BC的中点，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DG的长，再由重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2,倍进行求解即可．解：延长AG交BC于D，∵点G是重心，∴点D为BC的中点，且AG=2DG，∵∠BGC=90°，BC=8，∴DG=BC=4，∴AG=2DG=8，故答案为：8．本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握三角形的重心定义和性质是解答的关键．26．2.5【解析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝2.5．故答案为：2.5．本题考查菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，菱形的对角线互相垂直且平分；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键．,27．【解析】由正方形ABCD的边长为1，求出，，分别算出第二个、第三个正方形的面积，即可推导得出答案；∵正方形ABCD的边长为1，∴，，∴，，∴，，,，∴．故答案是：本题主要考查了正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．28．【解析】根据轴对称和矩形性质，得；结合∠EFB＝60°，经计算即可得到答案．∵矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处∴∵∠EFB＝60°∴故答案为：．本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成求解．,29．2【解析】连接BP，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝，S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可．解：连接BP，∵四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2∴AB＝BC＝×12＝3（cm），∵AC是菱形ABCD的对角线，∴S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝＝3（cm2），∴S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE＝3（cm2），∴×3×PE＋×3×PF＝3，∴PE＋PF＝3×＝2（cm），故答案为：2．此题考查菱形的性质，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．30．【解析】结合题意，根据矩形性质，得平行四边形为菱形，从而依次计算前4个平行四边形的面积，并通过归纳计算规律，即可得到第2020个平行四边形的面积．∵矩形中，，，两条对角线相交于点∴∵、为邻边作第1个平行四边形,∴∴平行四边形为菱形∵平行四边形，对角线相交于点，∴，，∵∴∴第1个平行四边形面积∴第2个平行四边形面积同理，得第3个平行四边形面积第4个平行四边形面积以此类推，第2020个平行四边形面积为：故答案为：．本题考查了数字及图形规律、三角形中位线、幂的乘方、平行四边形、矩形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握数字及图形规律、幂的乘方、平行四边形、矩形的性质，从而完成求解．
