期中达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．化简等于( )A．1－B.－1C.－1D.＋12．如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝am，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于( )A．asin40°mB．acos40°mC．atan40°mD.m(第2题) (第5题) (第6题) (第7题) (第8题)3．已知α为锐角，sin(α－20°)＝，则α的度数为( )A．20°B．40°C．60°D．80°4．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的顶点坐标为( )A．(－3，－3) B．(－2，－2) C．(－1，－3) D．(0，－6)5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系不正确的是( )A．a＜0B．abc＞0C．a＋b＋c＞0D．b2－4ac＞06．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直下滑，下滑的距离s(m)与时间t(s)之间的表达式为s＝10t＋t2，若滑到坡底的时间为2s，则此人下滑的高度为( )A．24m B．6m C．12m D．12m7．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限9
8．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα－cosα的值为( )A.B．－C.D．－9．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达站观测得知A，R间的距离是6km，仰角∠ARL＝30°，又经过1s后火箭到达点B，此时测得仰角∠BRL＝45°，则这枚火箭从A到B的平均速度为( )A．(3－3)km/sB．3km/sC．(3＋3)km/sD．3km/s10．二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是( )A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．－1＜t＜1二、填空题(每题3分，共24分)11．已知y＝(a＋1)x2＋ax是二次函数，那么a的取值范围是__________．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝2，AB＝2.设∠BCD＝α，那么cosα的值是________．(第12题) (第14题) (第18题)13．抛物线y＝2x2－12x＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是______________．14．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴的一个交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______________．15．已知二次函数y＝3x2＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________．16．将一条长为20cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________.9
17．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝________．18．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，AB＝2，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为__________________．三、解答题(19题6分，20题8分，21，22题每题9分，23，24题每题11分，25题12分，共66分)19．计算：6tan230°－cos30°·tan60°－2sin45°＋cos60°.20.如图，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝6，AD＝BC，cos∠ADC＝，求CD的长．21．如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就到达警戒线CD，这时水面宽度为10m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的函数表达式；(2)若洪水到来时，水位以每时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多长时间才能到达拱桥顶？9
22．某校九年级数学兴趣小组为了测量该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面点E测得地下停车场入口斜坡AE的俯角为30°，斜坡AE的长为16m，地面上一点B(与点E在同一水平线上)距停车场顶部点C(点A，C，B在同一条直线上且与水平线垂直)1.2m．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD.(结果精确到0.1m)23．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.求：(1)此抛物线的函数表达式；9
(2)此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．24．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？25．已知：函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)．(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；(2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交于点C，且x2－x1＝2.①求抛物线的表达式；②作点A关于y轴的对称点D，连接BC，DC，求sin∠DCB的值．9
答案一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D7．C 8.D 9.A10．B 点拨：∵二次函数图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)，∴a＜0，－＞0，∴b＞0.∵抛物线过点(－1，0)，∴a－b＋1＝0，即a＝b－1.∴b－1＜0，即b＜1.又t＝b－1＋b＋1＝2b，∴0＜t＜2.二、11.a≠－1 12.13．y＝－2x2＋12x－20 14.－1＜x＜315. 点拨：将y＝4x代入y＝3x2＋c，得4x＝3x2＋c，即3x2－4x＋c＝0.∵两函数图象只有一个交点，∴方程3x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根．∴(－4)2－4×3c＝0，解得c＝.16.cm2 点拨：设其中一段铁丝长为xcm，则另一段长为(20－x)cm，设两个正方形的面积之和为ycm2，则y＝2＋＝(x－10)2＋，∴当x＝10时，y有最小值.17.或18．(1＋，3)或(2，－3)点拨：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴AB边上的高为3.∴点C的纵坐标为±3.令y＝3，则x2－2x－3＝3，解得x＝1±；令y＝－3，则x2－2x－3＝－3，解得x＝0或x＝2.9
∵点C在该函数y轴右侧的图象上，∴x＝1＋或x＝2.∴点C的坐标为(1＋，3)或(2，－3)．三、19.解：原式＝6×－×－2×＋＝2－－＋＝1－.20．解：在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，∴设CD＝3k(k＞0)，则AD＝5k.∵BC＝AD，∴BC＝5k.又BD＝BC－CD，∴6＝5k－3k，解得k＝3.∴CD＝3×3＝9.21．解：(1)设所求抛物线的函数表达式为y＝ax2.设D(5，b)，则B(10，b－3)，∴解得∴y＝－x2.(2)∵b＝－1，＝5(h)，∴再持续5h才能到达拱桥顶．22．解：易得AB⊥EB，CD⊥AE，∴∠CDA＝∠EBA＝90°.∵∠E＝30°，∴AB＝AE＝8m，∠EAB＝60°.∵BC＝1.2m，∴AC＝AB－BC＝6.8m.∵∠DCA＝90°－∠DAC＝30°，∴CD＝AC·cos∠DCA＝6.8×≈5.9(m)∴该校地下停车场的高度AC为6.8m，限高CD约为5.9m.23．解：(1)由已知得C(0，4)，B(4，4)．9
把B与C的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋4.(2)∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－2)2＋6，∴抛物线顶点D的坐标为(2，6)．∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×4×4＋×4×(6－4)＝8＋4＝12.24．解：(1)由题意知若观光车能全部租出，则0＜x≤100.由50x－1100＞0，解得x＞22.又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元．(2)设每天的净收入为y元．当0＜x≤100时，y＝50x－1100.∴y随x的增大而增大．∴当x＝100时，y有最大值，最大值为3900.当x＞100时，y＝x－1100＝－x2＋70x－1100＝－(x－175)2＋5025.∴当x＝175时，y有最大值，最大值为5025.∵5025＞3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多．25．解：(1)函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)，若a＝0，则y＝－x＋1，图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；当a≠0且图象过原点时，2a＋1＝0，a＝－，有两个交点(0，0)，(1，0)；当a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y＝0，有Δ＝[－(3a＋1)]2－4a(2a＋1)＝0，解得a＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)．综上可得，a＝0或a＝－或a＝－1时，函数图象与坐标轴有两个交点．(2)①∵抛物线与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，9
∴x1，x2为ax2－(3a＋1)x＋2a＋1＝0的两个根．∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵x2－x1＝2，∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4·.解得a＝－(开口向上，a＞0，舍去)或a＝1.∴y＝x2－4x＋3.②∵抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)．∵D为A关于y轴的对称点，∴D(－1，0)．如图，过点D作DE⊥CB于E.∵OC＝3，OB＝3，OC⊥OB，∴△OCB为等腰直角三角形．∴∠CBO＝45°.∴△EDB为等腰直角三角形．∵DB＝4，∴DE＝2.在Rt△COD中，∵DO＝1，CO＝3，∴CD＝＝.∴sin∠DCB＝＝.9
