高三上学期数学期中考试试卷一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．定义运算，若复数满足，则（）A．B．C．D．3．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件，当，（4．已知函数是定义域为的奇函数，当为常数），若，则实数（）A．2B．-2C．D．-5．在中，若，，则面积的取值范围是（）A．B．C．D．6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.假设某种传染病的基本传染数是，那么感染人数由个初始感染者经过轮传染得到感染者（包括初始感染者）的总人数是多少?（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染，…）（）A．363B．364C．365D．3667．已知函数，下面结论错误的是（）A．在区间上单调递减B．是函数图象的一个对称中心C．在上的值域为D．图象上的所有点向右平移个单位后得到函数的图象8．函数，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．二、多选题9．已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．与的夹角为D．10．记为等差数列的前项和，公差为，若，，则以下结论一定正确的是（）A．B．C．D．取得最大值时，11．已知，则下列关于，可能满足的关系有（）\nA．B．C．D．12．已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（）A．-1B．C．1D．2三、填空题13．已知，若，则.14．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则.上无零点，则实数的取值范围是.：2，1，3，4，7，…，称之为卢卡斯数列，且满足，则；记为数列的前项和，已知函数在区间十九世纪法国数学家卢卡斯提出数列，，若，则.四、解答题一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.（1）画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；（2）已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.18．已知等差数列（）中其中的任意两个数均不在下表中的同一列.，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且第一列第二列第三列第一行213第二行845第三行9116（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；（2）记（1）中您选择的数列的前项和为，试判断是否存在正整数，使得，成等比数列？若有，则求出的值；若没有，说明理由.19．某城市公园有一如图所示的绿化带，其形状由一个直径为的半圆和矩形，组成，其中.管理部门规划在圆心处建造一个亭子，为了方便游客到亭子游玩，决定从A地出发修建一条处到达的公路，具体路线是：在半圆上选点(异于，点)，从点沿，再从点经过亭子的直线到达边上的点处.已知从点到点的修路费经过亭子圆弧到点用每千米需要元，从点到点的修路费用每千米需要元，设弧度，从地经点，到地修路所需费用为元.试将表示为的函数，并写出定义域；当取何值时，修路所需费用最少?20．在△中，角，，的对边分别是，.（1）求角大小；，，且满足（2）若是△内部一点，，①请猜想与的关系，并说明理由；②求的值.21．设数列前项和为，，（1）求出通项公式；，，.（）.（2）若，求数列的前项和.22．已知函数，，其中.\n（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；上，总有（2）若对成立，试求实数的最小值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由题设，.故答案为：C【分析】利用并集的定义直接求解可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】由，则，，则.故答案为：D【分析】根据定义的运算求出，分子分母同乘以(i-1)可化简z，从而求得答案.3．【答案】B【解析】【解答】在中，若，则或，故不充分；在中，若，则，故必要；故答案为：B【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案.4．【答案】A【解析】【解答】由题意可知，函数是定义域为的奇函，所以，所以又当所以，当，，所以.故答案为：A.【分析】由奇函数的定义和对数的运算性质，解方程可求出a的值.5．【答案】D【解析】【解答】由可得，所以，，，所以面积的取值范围是.故答案为：D.【分析】由平面向量数量积的定义可得质，可求解出面积的取值范围.6．【答案】B，再结合三角形面积公式和正切函数的图象与性【解析】【解答】根据意义可知，每轮的传染人数是以1为首项，3为公比的等比数列，所以由1个初始感染者经过5轮传染得到感染者（包括初始感染者）的总人数是人.故答案为：B．【分析】根据题意分析可知每轮传染人数成等比数列，按照等比数列求和公式，即可求出答案.7．【答案】D\n【解析】【解答】A.，则，所以在区间上单调递减，故正确；B.因为，所以是函数图象的一个对称中心，故正确；C.，则，则，所以在上的值域为，故正确；D.图象上的所有点向右平移个单位后得到函数，故错误；故答案为：D【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用，逐项进行判断，可得答案.8．【答案】C【解析】【解答】当当，则，则，则，，则，∴，∴时，故答案为：C递减且值域为；时，递增且值域为；只有C符合要求.【分析】根据解析式化简，由指数、对数函数的单调性判断出此函数的单调区间，逐项进行判断，可得答案.9．【答案】B,C【解析】【解答】由题设，，，A：显然，故不成立，错误；B：显然，故成立，正确；C：由，又，则与的夹角为，正确；D：，则，错误.故答案为：BC【分析】根据题意，求出向量，的坐标，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B【解析】【解答】因为数列是等差数列所以.对于A：因为，所以，A对.对于B：，B对.对于C：，因此，C不符合题意对于D：，当时取到最大值，因为，所以，D不符合题意.故答案为：AB【分析】由可得，即，结合，即可判断选项A；，即可判断选项B；利用等差数列的通项公式与等差数列的单利用调性即可判断选项C，D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由，则，所以，故不正确，所以C不正确.由，可得\n所以，A符合题意.由，即，由均值不等式可得即，B符合题意.由，则，D符合题意.故答案为：ABD【分析】先把指数式化为对数式，求出a，b的值，再结合对数的运算性质和基本不等式，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】C,D【解析】【解答】由，则，解得，，因为对恒成立，则对恒成立，所以对恒成立，故对恒成立，可得对恒成立，又，当且仅当时取等号，所以．故答案为：CD故答案为：2.【分析】利用函数的奇偶性构造方程组求出g(x)与h(x)的解析式，代入不等式整理，利用基本不等式求解出实数的可能取值.13．【答案】【解析】【解答】因为所以，，解得，所以，所以，因为，所以故答案为：【分析】由已知利用余弦二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解出答案.14．【答案】2【解析】【解答】，又图象的相邻两条对称轴之间的距离为故，，即周期，函数，，\n【分析】，结合函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可求得值，然后可求得的值.15．【答案】（-∞，e）【解析】【解答】由，得，故在上单调递增，且，当时，函数无零点成立，当时，调递减，在恒成立，在上单调递增，且，，所以令，，故函数在是哪个单上单调递增，又且函数在无零点，故，解得，即，综上所述，，故答案为：（-∞，e）.【分析】根据导数判断函数单调性与最值，从而判断函数零点情况，即可求出实数的取值范围.16．【答案】199；t-1【解析】【解答】由，，，得，，，，，，，，，，故.故答案为：199，t-1【分析】根据递推公式可以直接求出L12的值，再利用递推公式与前n项和公式求出S2021的值.17．【答案】（1）解：因为对应的点在第四象限，所以对应的向量如图所示.易得，，，所以.所以（2）解：因为，所以.又，，所以.所以.所以，，【解析】【分析】(1)求出模及辐角，即可将复数的代数形式化为三角形式求解，即可得z三角形式；(2)利用复数的运算及三角恒等变换即可求解出.18．【答案】（1）解：依题意，可知，满足条件的组合有两种：①，，，此时等差数列的，，所以，其通项公式为.②，，，此时等差数列的，，所以，其通项公式为（2）解：若选择①，则得，所以.\n若，，成等比数列，则，即，整理得，，因为，所以若选择②，则得若，，，此时，存在正整数，满足，，成等比数列.，所以.成等比数列，则，即，整理得，，解得，显然，此时不存在正整数，满足，，成等比数列【解析】【分析】(1)根据表中数据分析可得前三项，即可求出数列的通项公式；(2)求出Sn，根据等比中项的性质建立关系求解，即可求出结论.19．【答案】（1）解：由弧度，则.如图，过作交于点，则，，∴，则，且定义域（2）解：由（1）知，，，∴，由，得且，∴当时，；当时，，∴在单调递减，在单调递增.∴当时，有，此时修路所需要费用最少.【解析】【分析】(1)求出EF的长度，即可得出f(θ)的解析式及定义域；(2)利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值，及cosθ的值即可.20．【答案】（1）解：由已知及正弦定理得：，即.由余弦定理得：，又，∴（2）解：①.由（1）知：，在△中，，则，∴.②在△中，，，由正弦定理，得，∴.在△中，，，由正弦定理，得，∴.从而，整理得：，∴.【解析】【分析】(1)由正弦定理进行角化边之后结合余弦定理可求得角大小；(2)①由三角形内角和结合条件可得；②分别在两个三角形中由正弦定理求得OB，建立等量关系，化简可得，整理得：，可求得的值.21．【答案】（1）解：由，得，\n即，所以.因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即.所以当时，，又当时，满足上式，故（2）解：当为奇数时，有，设数列的前项中奇数项的和为，所以当为偶数时，有，设数列的前项中的偶数项的和为，所以，所以，上述两式相减，得所以.故数列的前和【解析】【分析】(1)直接利用数列的递推关系式和关系式的恒等变换求出数列通项公式；(2)利用分组法和裂项相消法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用，求出数列的前项和.22．【答案】（1）解：依题意知，，，所以，.设切线，的斜率分别为，，其切点分别为，，则有解得；同理，有解得.所以，即所求切线，的斜率之积为（2）解：由于对上，总有成立，即对，有恒成立.令（），则.令（），则有（），所以函数在区间上为单调递增函数.因为，所以，，所以，所以在区间上，存在唯一的实数，使得，即.①所以当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，所以函数在处取得极小值，即最小值，即.②又由①得，，所以，所以.则由②得，.\n令，所以（所以函数又由于在区间，所以上为单调递减函数.，因此.所以.，即所求实数的最小值为.），【解析】【分析】(1)代入a的值，求出函数的导数，求出切线，的斜率，作积即可得，的斜率之积；(2)问题转化为对，有恒成立，令的单调性，结合函数的单调性求出a的范围，即可求得实数的最小（，求导，得出值.
