高三上学期数学期中考试试卷一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．2．若向量，则（）B．C．是真命题D．的否定是，4．函数的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数，则（）A．B．C．D．6．函数图象的对称中心的坐标为（）A．B．C．D．7．在三棱锥中，平面，则二面角的正切值为（）A．2B．C．3D．8．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）年12月11日B．2022年11月11日年10月11日D．2022年9月11日A．C．且且B．D．且且卡（假设当天他这张银行卡A．20223．已知函数，命题：，，则（）C．2022A．为幂函数二、多选题9．已知角的终边经过点，则（）A．B．C．D．若为钝角，则10．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，将该正方体挖去两个大小完全相同的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则（平面该几何体的上底面的周长为）C．该几何体的的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为11．已知，则（）A．的最小值为9\nB．“”是“”的必要不充分条件C．的最小值为9D．“”是“”的充分不必要条件12．已知（）A．三、填空题，函数的零点为b，的极小值点为c，则B．C．D．13．若各项均不为零的等差数列满足，则.14．定义：、两个向量的又乘的模.在正中，若，则.15．雾灵ft，位于河北承德市兴隆县内，雾灵ft历史上曾称伏凌ft、孟广硎ft、五龙ft，明代始称雾灵ft.雾灵ft主峰的海拔超过米，为了测量主峰的海拔，甲和乙分别在海拔都为米的、两点观测主峰的最高点（与海拔米所在平面垂直，为垂足，且、都在的正东方向），从点和点观测到点的仰角分别为、，且米，则雾灵ft主峰的海拔约为米.（结果精确到整数，取，，）若对恒成立，则a的取值范围是.四、解答题已知定义在R上的偶函数的图象经过点，且的最小值为负数.写出的一个解析式（无需写出过程）；若是周期为4的函数，求的值.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.（1）求的面积；（2）若，求的周长.19．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论零点的个数.20．如图，在四棱锥，是（1）证明：中，，，，的中点，..（2）当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值.21．在数列中，.（1）求的通项公式.（2）设的前n项和为，证明：.22．已知函数.（1）讨论的单调性.（2）若，且正数满足，证明：.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为，，所以.故答案为：B.【分析】化简集合M，再根据交集的定义进行运算，可得答案。2．【答案】B【解析】【解答】因为，所以不平行，因为，所以，又，故答案为：B.\n【分析】根据向量平行的坐标运算以及平面向量数量积的运算，可得答案。3．【答案】C【解析】【解答】对于A：因为不满足幂函数的形式，所以不是幂函数，A不正确；对于B：，B不正确；对于C：当时，，所以是真命题，C符合题意；对于D：的否定是，，D不正确；故答案为：C.【分析】根据幂函数的定义，即可判断选项A的正误；把2x代入进行化简可判断选项B的正误；根据命题的真假进行判断可判断选项C的正误；根据特称命题的否定是全称命题可判断选项D的正误。4．【答案】D【解析】【解答】∵，∴为奇函数，的图象关于原点对称，排除A，B.当时，，排除C，故答案为：D.【分析】函数为奇函数，根据奇函数的性质排除A，B；把，排除C，可得答案。代入的解析式，得出5．【答案】C【解析】【解答】因为，所以，解得，则.故答案为：C【分析】对求导，再把x=1代入化简求值，即可求出答案。6．【答案】D【解析】【解答】，令，得，故的对称中心为.故答案为：D【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的对称性，即可求出答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：如图，取所以，则因为，的中点，连接.因为，为二面角的平面角.，，所以，.又平面.所以故在中，.故答案为：A【分析】取的中点，连接，由已知可得的平面角，由线面垂直的性质定理可得，则为二面，利用正切函数的定义，即可求出答案。角8．【答案】C【解析】【解答】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故答案为：C\n【分析】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式得，再根据指数函数单调性，即可求出答案。9．【答案】B,C,D【解析】【解答】因为角的终边经过点，所以，则A不符合题意；，B符合题意；，C符合题意；若为钝角，则由故答案为：BCD.，得，D符合题意.【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，再根据正弦的二倍角公式、诱导公式及正切的二倍角公式，逐项进行分析，可得答案。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】因为平面平面平面，所以平面，即平面，A符合题意；依题意可知，弧与弧均为圆弧，且这两段圆弧的长度为，所以该几何体的上底面的周长为，B符合题意；依题意可知，若立方体、圆锥体积分别为，该几何体体积为，C不符合题意；设分別为下地面､上底面的中心，则三棱锥的外接球的球心，则，解得，从而球的表面积为在上.设，D符合题意.故答案为：ABD【分析】由正方体的结构特征及线面平行的判定定理、圆锥的体积公式，球的表面积公式，逐项进行分析，可得答案。11．【答案】B,C【解析】【解答】，当且仅当，即时，等号成立，但，则，所以A不符合题意.，得，所以若，则由，则.反之，由不能推出，B符合题意.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，C符合题意.当时，且，但；当时，且，但，所以“”是“故答案为：BC.”的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意.【分析】利用基本不等式及充分条件、必要条件的定义，逐项进行分析，可得答案。12．【答案】A,D【解析】【解答】因为，所以，又函数在单调递增，所以，因为，所以.，令，得，\n则在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以，故.故答案为：AD【分析】由，利用零点判定定理可得，对求导，根据导数符号可得在和上单调性，求出c的值，进而得出答案。13．【答案】【解析】【解答】解：由题意得.故答案为：【分析】利用等差数列的通项公式进行计算，可得答案。14．【答案】【解析】【解答】设等边三角形的边长为，，，因此，.故答案为：.【分析】根据新定义，空间向量的叉乘运算及利用向量数量积计算模，求出答案。15．【答案】2117【解析】【解答】如图，设米，则，，所以，，故雾灵ft主峰的海拔约为米.故答案为：2117.【分析】设米，则，，则代入数值即可求出雾灵ft主峰的海拔。16．【答案】【解析】【解答】设函数，则，从而在R上单调递增.由，得，即，则，即.设函数，则.当时，；当时，.故，则.故答案为：【分析】设函数，则递增，可得，即，设函数，进而求出a的取值范围。17．【答案】（1）解：.本题答案不唯一（例如，从而在R上单调，求导，根据导数符号可得的单调性，求出），只要同时满足定义域为R.，\n，且的最小值小于0即可.（2）解：因为是周期为4的函数.所以.又因为是偶函数，且，所以故..【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质写出的一个解析式；（2）利用函数的周期性求出的值，由是偶函数，求得的值，进而求出当或时，的值.当时，18．【答案】（1）解：由，得，即.因为，所以，整理得，解得或，故的面积或4.（2）解：为，所以.由余弦定理得，即解得，故的周长为，.【解析】【分析】(1)利用正弦定理求出ac，根据求出sinB，可得△ABC的面积；(2)由，得，利用余弦定理求出a+c，可得△ABC的周长.19．【答案】（1）解：当时，则，则，，，，，所以，所以，，.又，故曲线在点处的切线方程为，即（2）解：令，得或2.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.从而的极小值为，极大值为.只有一个零点，即零点的个数为1；当或时，有两个零点，即零点的个数为2；有三个零点，即零点的个数为3.【解析】【分析】(1)求出切点的坐标，利用导数额几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可得到切线的方程；(2)令，得或2，当时，当时，分别判断导数的符号，进而得出在，上单调性，进而求出极值，可得零点的个数.20．【答案】（1）证明：设为的中点，连接，，因为，所以，所以，即，因为，为的中点，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以（2）解：因为，，，所以，则.平面，所以以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量为，\n则，即，【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式可判断出数列是首项为，公比为的等比数令，得.列，进而得出的通项公式；所以，（2），利用错位相减法，即可证得.所以与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）设为的中点，连接，，用已知条件可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，推出；，利用线面垂直的判定定理可得平面（2）由，，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可求出所成角的正弦值。与平面21．【答案】（1）解：∵，∴，又，∴数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则（2）证明：∵，∴.设，则，两式相减得，从而，故.22．【答案】（1）解：.当时，，则在上单调递减，在上单调递增.当时，令，得（舍去），则在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由，且，得，整理得.令，设函数，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.所以，解得【解析】【分析】（1）对求导，分，两种情况讨论导数的符号，可得的单调性；（2）由已知条件得，整理得，令，设函数，求导可得在，上单调性，进而证得.
