上海南汇中学2022学年第二学期期末考试高一数学一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）1．若，则与角具有相同终边的最小正角为2．一个扇形的半径是2cm，弧长是4cm，则圆心角的弧度数为23．已知，则4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③按照上面的规律，第100个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6025．已知的三边长成公比为的等比数列，则的最大内角的大小为_______（用反三角函数表示）6．已知等比数列为递增数列，且，，则数列的通项公式7．设数列()是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前项的和___2022__8．已知的三个内角依次成等差数列，则的值为________9．给出问题：已知满足，试判定的形状．某学生的解答如下：解：（i）由余弦定理可得，故是直角三角形.（ii）设外接圆半径为.由正弦定理可得，原式等价于故是等腰三角形.由（i）（ii）得，是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果： 等腰或直角三角形 6\n10．已知函数的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则的最小值为11．在共有2022项的等比数列中，有等式成立；类比上述性质，在共有2022项的等差数列中，相应的有等式成立12．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”，则函数的“下确界”为0二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）13．设、、是三个实数，则“”是“依次成等比数列”的（B）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．下列命题中正确的是（ D ）A．函数与互为反函数B．函数与都是增函数C．函数与都是周期函数D．函数与都是奇函数15．设函数，则函数的最小值是（ B ）A．B．0C．D．16．数列的通项公式，其前项和为，则等于（ C ）A．0B．503C．1006D．2022三、解答题（8+10+10+12+12=52分）17．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题：（1）计算：（直接写答案，别忘记把计算器设置成“角度”！）（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）解：（1）（3分）（2）猜想：其中（5分）6\n证明：又，所左边=（8分）18．如图，某观测站在城的南偏西方向上，从城出发有一条公路，走向是南偏东在处测得距离为千米的公路上的处有一辆车正沿着公路向城驶去．该车行驶了千米后到达处停下，此时测得、两处距离为千米（1）求的值；（2）此车在处停下时距城多少千米？解：（1）在中，由余弦定理得（4分）(2)；（5分）；（7分）在中，由正弦定理得：(9分)答：此车在处停下时距城处千米。(10分)19．已知数列的前项和为（其中为常数）（1）求证：数列为等差数列；（2）试讨论数列的单调性（递增数列或递减数列或常数列）解：（1）由已知，得，又所以，数列为公差为的等差数列．…………………………………………5分（2）由得当时，数列为递增数列；6\n当时，数列为常数列；当时，数列为递减数列．…………………………………………10分20．已知函数（其中）（1）求函数的最大值；（2）若函数的最小正周期为，试确定的值，并求函数的单调增区间；（3）在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）=sin+cos+sin-cos-(cos+1)=2(sin-cos)-1=2sin(-)-1Þ函数的最大值为1————4分（2）的周期为，又由，得，即得．于是有，再由，解得．所以的单调增区间为．—————8分（3），，且，又，，即-2≤2sin(2x-)-1≤1∴-1＜m＜0，即的取值范围是(-1,0)．————12分6\n21．已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期．例如：数列，，，，…①可看作周期为1的数列；数列，，，，…②可看作周期为2的数列；数列，，，，，，…③可看作周期为3的数列；……（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是，试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前项和；（3）在数列③中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、、、均为实数，，，，求该数列的一个通项公式．解：（1）或等．（3分）（2）当时，；（5分）当时，；（6分）当时，（）．（7分）（3）由题意，，应有，得，于是，把，，代入上式得（10分）6\n由(1)(2)可得，再代入(1)的展开式，可得，与(3)联立得，，于是，因为，所以，于是可求得．故（）或写成（,）．（12分）6
