2022-2022学年上海市普陀区高二（下）期末数学试卷 I卷：一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．设集合A={﹣1，1}，B={a}，若A∪B={﹣1，0，1}，则实数a=________．2．直线y=x+1与直线x=1的夹角大小为________．3．函数y=的定义域是________．4．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________．5．设函数f（x）=的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（2）=1，则实数m=________．6．在△ABC中，若AB=5，B=60°，BC=8，则AC=________．7．设复数z=（a2﹣1）+（a﹣1）i（i是虚数单位，a∈R），若z是纯虚数，则实数a=________．8．从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为________（结果用数值表示）9．无穷等比数列{an}的公比为，各项和为3，则数列{an}的首项为________．10．复数z2=4+3i（i为虚数单位），则复数z的模为________．11．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则抛物线焦点坐标为________．12．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e为自然对数的底数，k、b为实常数），若该食品在0℃的保鲜时间为120小时，在22℃的保鲜时间是30小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时． 二、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）13．顶点在直角坐标系xOy的原点，始边与x轴的正半轴重合，且大小为2022弧度的角属于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．底面的半径为1且母线长为的圆锥的体积为（ ）A．B．C．πD．π15．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞016．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）17．已知椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（ ）A．2B．3C．4D．920/2118．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n﹣1=2n2﹣n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k（k≥1，k∈N*）时原等式成立，则当n=k+1时需要证明的等式为（ ）A．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2k2﹣k+2（k+1）2﹣（k+1）B．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）2﹣（k+1）C．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2k2﹣k+2（k+1）2﹣（k+1）D．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）2﹣（k+1）20．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ）A．B．2C．6D．421．对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣222．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）A．2B．4C．6D．223．设{an}是公比为q的等比数列，令bn=an+1（n∈N*），若数列{bn}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，则q等于（ ）A．﹣4B．2C．﹣4或﹣D．﹣2或﹣24．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（ ）A．||=1B．⊥C．•=1D．（4+）⊥ 三、解答题（共5小题，满分48分）25．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，AA1=1，E为CD中点，求异面直线BC1和D1E所成角的大小．26．设椭圆C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），直线l：y=x+1与椭圆C交于P，Q两点（1）设坐标原点为O，当OP⊥OQ时，求m+n的值；20/21（2）对（1）中的m和n，当|PQ|=时，求椭圆C的方程．27．如图，在直角坐标平面xOy内已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，使得•=0，延长MP到点N，使得||=||（1）当||=1时，求•；（2）求点N的轨迹方程．28．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx的周期为，其中ω＞0（1）求ω的值，并写出函数f（x）的解析式（2）设△ABC的三边a、b、c依次成等比数列，且函数f（x）的定义域等于b边所对的角B的取值集合，求此时函数f（x）的值域．29．设等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14（1）试寻找一个等差数列{bn}和一个非负常数p，使得等式（n+p）•bn=Sn对于任意的正整数n恒成立，并说明你的理由；（2）对于（1）中的等差数列{bn}和非负常数p，试求f（n）=（n∈N*）的最大值． II卷四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）30．“a=b”是“方程ax2+by2=1表示的曲线为圆”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件31．已知坐标平面内两个定点F1（﹣4，0），F2（4，0），且动点M满足|MF1|+|MF2|=8，则点M的轨迹是（ ）A．两个点B．一个椭圆C．一条线段D．两条直线32．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2） 五、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）33．已知直线l：Ax+By+C=0（A、B不全为零）与圆x2+y2=1交于M、N两点，且|MN|=，若O为坐标原点，则•的值为________．20/2134．已知，||=，||=t，若点P是△ABC所在平面内一点，且=+，则的最大值等于________．35．设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是________． 六、解答题（共1小题，满分12分）36．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1、F2且|F1F2|=2，以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为班级的圆相交于椭圆C上的点K（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q①求的值；②令=t，求△ABQ的面积f（t）的最大值． 20/212022-2022学年上海市普陀区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析 I卷：一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．设集合A={﹣1，1}，B={a}，若A∪B={﹣1，0，1}，则实数a=0．【分析】由A，B，以及两集合的并集，确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，1}，B={a}，且A∪B={﹣1，0，1}，∴a=0，故答案为：0【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．直线y=x+1与直线x=1的夹角大小为．【分析】分别求得直线y=x+1和直线x=1的倾斜角，从而求得它们的夹角．【解答】解：直线y=x+1的斜率为1，倾斜角为，而直线x=1的倾斜角为，故直线y=x+1与直线x=1的夹角大小为，故答案为：．【点评】本题主要考查直线的倾斜角，两条直线的夹角问题，属于基础题． 3．函数y=的定义域是（1，+∞）．【分析】根据函数的解析式，应满足分母不为0，且二次根式的被开方数大于或等于0即可．【解答】解：∵函数y=，∴＞0，即x﹣1＞0，解得x＞1；∴函数y的定义域是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应使函数的解析式有意义，列出不等式（组），求出自变量的取值范围，是容易题． 4．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为4．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M33，则答案可求．20/21【解答】解：三阶行列式中，元素4的代数余子式为M33=，其值为1×0﹣（﹣2）×2=4．故答案为：4．【点评】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是基础题． 5．设函数f（x）=的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（2）=1，则实数m=3．【分析】方法一：根据反函数的性质，可得f（1）=2，解得即可．方法二：先求出f﹣1（x）=，再代值计算即可．【解答】解：方法一：∵f﹣1（2）=1，∴f（1）=2，∴=2，解得m=3，方法二：∵y=，则x=，∴f﹣1（x）=，∵f﹣1（2）=1，∴=1，解得m=3，故答案为：3．【点评】本小题主要考查反函数、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题． 6．在△ABC中，若AB=5，B=60°，BC=8，则AC=7．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：AC2=52+82﹣2×5×8cos60°=49，解得AC=7．故答案为：7．【点评】本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．设复数z=（a2﹣1）+（a﹣1）i（i是虚数单位，a∈R），若z是纯虚数，则实数a=﹣1．【分析】利用复数的实部为0，虚部不为0，求解a即可．【解答】解：复数z=（a2﹣1）+（a﹣1）i（i是虚数单位，a∈R），若z是纯虚数，可得a2﹣1=0，a﹣1≠0，解得a=﹣1．20/21故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力． 8．从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为10（结果用数值表示）【分析】直接利用组合知识求解结论．【解答】解：从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为C52=10．故答案为：10．【点评】本题考查组合知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础． 9．无穷等比数列{an}的公比为，各项和为3，则数列{an}的首项为2．【分析】由题意可得：=3，解得a1即可得出．【解答】解：由题意可得：=3，解得a1=2．∴数列{an}的首项为2．故答案为：2．【点评】本题考查了无穷等比数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．复数z2=4+3i（i为虚数单位），则复数z的模为．【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．【解答】解：z2=|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=，故答案为：．【点评】本题考查复数的模以及复数的定义，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 11．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则抛物线焦点坐标为（1，0）．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础． 20/2112．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e为自然对数的底数，k、b为实常数），若该食品在0℃的保鲜时间为120小时，在22℃的保鲜时间是30小时，则该食品在33℃的保鲜时间是15小时．【分析】由已知条件列出方程组，求出e11k=，由此能求出结果．【解答】解：由题意得：，解得e11k=，∴该食品在33℃的保鲜时间是：y=e33k+b=（e11k）3×eb=（）3×120=15．故答案为：15．【点评】本题考查保鲜时间的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 二、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）13．顶点在直角坐标系xOy的原点，始边与x轴的正半轴重合，且大小为2022弧度的角属于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用终边相同角的表示方法化简求解即可．【解答】解：2022的终边与2022﹣640π的终边相同，而2022﹣640π∈（，2π）．所以大小为2022弧度的角属于第四象限角．故选：D．【点评】本题考查终边相同的角的表示，考查计算能力． 14．底面的半径为1且母线长为的圆锥的体积为（ ）A．B．C．πD．π【分析】求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积．【解答】解：底面半径为1，母线长为的圆锥的高为：1．底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为：=．故选：B．【点评】本题考查几何体的体积的求法，是基础题． 15．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；20/21{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 16．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒． 17．已知椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（ ）A．2B．3C．4D．9【分析】利用椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 18．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可退出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：20/21∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确． 19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n﹣1=2n2﹣n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k（k≥1，k∈N*）时原等式成立，则当n=k+1时需要证明的等式为（ ）A．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2k2﹣k+2（k+1）2﹣（k+1）B．1+2+3+…+（2k﹣1）+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）2﹣（k+1）C．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2k2﹣k+2（k+1）2﹣（k+1）D．1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）2﹣（k+1）【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k﹣1=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k﹣1+2k+2k+1从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n﹣1=2n2﹣n时，假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k﹣1=2k2﹣k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k﹣1+2k+2k+1，∴从“k→k+1”需增添的项是2k+2k+1，∴1+2+3+…+（2k﹣1）+2k+[2（k+1）﹣1]=2（k+1）2﹣（k+1）故选：D．【点评】本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题． 20/2120．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ）A．B．2C．6D．4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得yA=2，yB=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用． 21．对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题． 22．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）A．2B．4C．6D．2【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+m﹣1=0，∴m=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，20/21∴切线的长|AB|==6．故选C．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题． 23．设{an}是公比为q的等比数列，令bn=an+1（n∈N*），若数列{bn}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，则q等于（ ）A．﹣4B．2C．﹣4或﹣D．﹣2或﹣【分析】bn=an+1（n∈N*），数列{bn}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，可得等比数列{an}的连续四项在集合{﹣16，﹣4，8，17，32}中，则等比数列{an}的连续四项为：﹣4，8，﹣16，32或：32，﹣16，8，﹣4．即可得出．【解答】解：∵bn=an+1（n∈N*），数列{bn}的连续四项在集合{﹣15，﹣3，9，18，33}中，∴等比数列{an}的连续四项在集合{﹣16，﹣4，8，17，32}中，则等比数列{an}的连续四项为：﹣4，8，﹣16，32或：32，﹣16，8，﹣4．则q等于﹣2或﹣．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（ ）A．||=1B．⊥C．•=1D．（4+）⊥【分析】由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系． 三、解答题（共5小题，满分48分）25．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，AA1=1，E为CD中点，求异面直线BC1和D1E所成角的大小．20/21【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），B（3，2，0），C1（0，2，1），E（0，1，0），D1（0，0，1）．∴=（﹣3，0，1），=（0，1，﹣1）．∴cos===．∴异面直线BC1和D1E所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了通过求向量的夹角公式求异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．设椭圆C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），直线l：y=x+1与椭圆C交于P，Q两点（1）设坐标原点为O，当OP⊥OQ时，求m+n的值；（2）对（1）中的m和n，当|PQ|=时，求椭圆C的方程．【分析】（1）设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为（m+n）x2+2nx+n﹣1=0．由OP⊥OQ，可得=x1x2+y1y2=0，即2x1x2+（x1+x2）+1=0，把根与系数的关系代入即可得出．（2）|PQ|===，把m+n=2代入整理为4n2﹣8n+3=0，解出即可得出．【解答】解：（1）依题意，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，化为（m+n）x2+2nx+n﹣1=0，∴x1+x2=，x1x2=．20/21由OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，即2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴﹣+1=0，化为m+n=2．（2）|PQ|==，把m+n=2代入整理为4n2﹣8n+3=0，解得，m=，或m=，n=．∴椭圆C的标准方程为：=1，或=1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 27．如图，在直角坐标平面xOy内已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，使得•=0，延长MP到点N，使得||=||（1）当||=1时，求•；（2）求点N的轨迹方程．【分析】（1）由题意，M（﹣1，0），N（1，2），利用数量积公式求•；（2）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，根据•=0，利用数量积公式求得x和y的关系式，即N的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意，M（﹣1，0），N（1，2），∴•=（﹣2，0）•（0，2）=0；（2）设动点N（x，y），则M（﹣x，0），P（0，）（x＞0）．∵•=0，∴（﹣x，﹣）•（1，﹣）=0，∴y2=4x（x＞0）即为所求．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 28．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx的周期为，其中ω＞0（1）求ω的值，并写出函数f（x）的解析式20/21（2）设△ABC的三边a、b、c依次成等比数列，且函数f（x）的定义域等于b边所对的角B的取值集合，求此时函数f（x）的值域．【分析】（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=求ω的值，进而写出函数f（x）的解析式；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cosB的范围，再根据B为三角形的内角求出B的范围，得出f（x）的定义域，从而求出f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣=sin（2ωx﹣）﹣；由T==，解得ω=2，所以函数f（x）的解析式为f（x）=sin（4x﹣）﹣；（2）因为b2=ac，所以cosB==﹣≥﹣=，当且仅当a=c时取“=”；又B为三角形内角，所以0＜B≤，即0＜x≤，所以﹣＜4x﹣≤，所以﹣≤sin（4x﹣）≤1，所以﹣1≤sin（4x﹣）﹣≤，即函数f（x）的值域是[﹣1，]．【点评】本题考查了三角变换及解三角形的应用问题，解题的关键是化成正弦型函数的标准形式，把求角的范围转化成先求角余弦值的范围，是综合性题目． 29．设等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14（1）试寻找一个等差数列{bn}和一个非负常数p，使得等式（n+p）•bn=Sn对于任意的正整数n恒成立，并说明你的理由；（2）对于（1）中的等差数列{bn}和非负常数p，试求f（n）=（n∈N*）的最大值．20/21【分析】（1）由a2•a3=45，a1+a4=14，可得，d＞0，解得d，a1．可得an，Sn．由（n+p）•bn=Sn对于任意的正整数n恒成立，可得（n+p）bn=2n2﹣n．分别令n=1，2，3，及其p≥0，即可解得p．（2）由（1）可得：p=0，b1=1，b2=3，公差=2．可得bn=2n﹣1．于是f（n）==．令g（x）=x+1+，（x≥1），利用导数研究其单调性最值即可得出．【解答】解：（1）∵a2•a3=45，a1+a4=14，∴，d＞0，解得d=4，a1=1．∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3．Sn==2n2﹣n．∵（n+p）•bn=Sn对于任意的正整数n恒成立，∴（n+p）bn=2n2﹣n．分别令n=1，2，3，则（1+p）b1=1，（2+p）b2=6，（3+p）b3=15．可得b1=，b2=，b3=．∵数列{bn}是等差数列，∴=+．化为：2p2+p=0，解得p=0或﹣．∵p≥0，∴p=0．（2）由（1）可得：p=0，b1=1，b2=3，公差=3﹣1=2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴f（n）===．令g（x）=x+1+，（x≥1），g′（x）=1﹣==，可得：x∈时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x∈时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．又g（1）=3，g（2）=3+．20/21因此当x∈N*时，n=1时，g（n）取得最小值3，故n=1时，f（n）取得最大值，f（1）=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、递推关系、数列的单调性、利用导数研究函数的单调性最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． II卷四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）30．“a=b”是“方程ax2+by2=1表示的曲线为圆”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据圆的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：若方程ax2+by2=1表示的曲线为圆，则a=b＞0，故“a=b”是“方程ax2+by2=1表示的曲线为圆”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查圆的定义，是一道基础题． 31．已知坐标平面内两个定点F1（﹣4，0），F2（4，0），且动点M满足|MF1|+|MF2|=8，则点M的轨迹是（ ）A．两个点B．一个椭圆C．一条线段D．两条直线【分析】首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上，从而得到结论．【解答】解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，∵|F1F2|=8，动点M满足|MF1|+|MF2|=8，∴点M在线段F1F2上．故选：C．【点评】本题考查轨迹的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 32．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，20/21若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键． 五、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）33．已知直线l：Ax+By+C=0（A、B不全为零）与圆x2+y2=1交于M、N两点，且|MN|=，若O为坐标原点，则•的值为﹣．【分析】根据弦长关系求出∠MON的大小，利用数量积公式即可求出•．【解答】解：取MN的中点A，则OA⊥MN，∵|MN|=，∴AM=，∵圆的半径R=OM=1，∴sin∠AOM=，20/21则∠AOM=60°，可得∠MON=120°．故•=1×1×cos120°=﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查数量积的公式，考查直线与圆相交的性质，求出MON的大小是解决本题的关键． 34．已知，||=，||=t，若点P是△ABC所在平面内一点，且=+，则的最大值等于13．【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化为17﹣（+4t），再利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵=+，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t）≤17﹣2=13，当且仅当=4t，即t=时，取等号，∴的最大值为13，故答案为：13．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题． 35．设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是2＜r＜4．【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．20/21【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2＜y0＜2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故答案为：2＜r＜4．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 六、解答题（共1小题，满分12分）36．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1、F2且|F1F2|=2，以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为班级的圆相交于椭圆C上的点K（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q①求的值；②令=t，求△ABQ的面积f（t）的最大值．【分析】（1）运用圆与圆的位置关系，|F1F2|=2和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（2）求得椭圆E的方程，①设P（x0，y0），=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；20/21②设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．【解答】解：（1）由题意可知，|PF1|+|PF2|=2a=4，可得a=2，又|F1F2|=2，∴c=，∵a2﹣c2=b2，∴b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（2）由（1）知椭圆E的方程为=1，①设P（x0，y0），=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，代入化简可得（+y02）=1，所以λ=2，即=2；②设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，③则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△′≥0可得m2≤1+4k2，④由③④可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S≤2，即m2=1+4k2，取得最大值2，由①知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题． 20/21
