数学样卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列抛物线经过原点的是（A）；（B）；（C）；（D）．2．在Rt△中，，已知，下列结论正确的是（A）；（B）；（C）；（D）．3．如图1，已知////，它们依次交直线和于点、、和点、、，如果，那么下列结论中错误的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．如图2，已知点、、、在同一条直线上，//，，//，如果，，那么的长等于（A）1；（B）；（C）2；（D）3．ADEBl1l2FC图1ADEBFC图25．已知与是非零向量，且，那么下列说法中正确的是10（A）；（B）；（C）//；（D）．6．已知在△中，，，，如果△与△相似，且△两条边的长分别为4和，那么△第三条边的长为（A）2；（B）；（C）；（D）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，那么▲．8．已知反比例函数，如果在这个函数图像所在的每一个象限内，的值随着的值增大而增大，那么的取值范围是▲．9．已知函数，如果，那么▲．10．已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，那么这条抛物线的表达式可以是▲．（只要写出一个表达式）11．已知是单位向量，与方向相反，且长度为6，那么▲．（用向量表示）12．已知二次函数的图像上有两点、，那么的值等于▲．13．如图3，在△中，平分，如果，，那么的度数等于▲．14．如图4，在四边形中，//，对角线、相交于点，如果，，那么▲．（用含有字母的代数式表示）ABCD图3图5abABCDO图415．某芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，腰部就成为整个身形的黄金分割点，给观众带来美感．如图5，如果她踮起脚尖起舞时，那么她的腰部以下高度与身形之间的比值等于▲．16．如图6，在△中，，斜边的垂直平分线分别交、交于点、，如果，，那么的长等于▲．1017．如图7，已知点、分别在线段和上，点是与的交点，，如果，，，那么的长等于▲．图8ADCBABCDE图7F图6ABCED18．如图8，在△ABC中，，，是边BC上的高，将△绕点旋转，点落在线段上的点处，点落在点处，那么▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：．20.（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）如图9，已知//，、相交于点，过作//交于点，．（1）求的值；（2）设，，那么▲，▲（用向量、表示）．C图9FEABD21.（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数10的图像相交于横坐标为1的点．（1）求这个反比例函数的解析式；yBADOCx图10（2）如图10，已知是正比例函数图像在第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，与反比例函数图像交于点．如果，求点的坐标．22．（本题满分10分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分8分）图11（1）为钓鱼竿安置于湖边的示意图，钓鱼竿有两部分组成，一部分为支架，另一部分为钓竿．图11（2）是钓鱼竿装置的平面图，//，，支架中的厘米，厘米，，AB可以伸缩，长度调节范围为cm≤≤cm．钓竿放在支架的支点、上，并使钓竿的一个端点恰好碰到水面．（1）当的长度越_____（填“长”或“短”）时，钓竿的端点与点之间的距离越远；（2）冬季的鱼喜欢远离岸边活动，为了提高钓鱼的成功率，可适当调节AB的长度，使钓竿的端点与点之间的距离最远．请直接写出你选择的AB的长度，并求出此时钓竿的端点与点之间的距离．（参考数据：，，）CABEFMNCABMN图11（1）（2）23．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）已知：如图12，在△中，点、分别在边、上，，．10（1）求证：；（2）延长、交于点，求证：．DAEBC图1224．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图13，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于点、，与轴交于点，联结．（1）求、的值和抛物线的表达式；（2）点在抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标．图13yxOABC（3）将△平移，平移后点仍在抛物线上，记作点，此时点恰好落在直线上，求点的坐标．O1125．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图14，在△中，边上的高，．直线平行于，分别交线段、、于点E、、，直线与直线之间的距离为．10（1）当时，求的值；（2）将△沿着翻折，点落在两平行直线与之间的点处，延长交线段于点．①当点恰好为△的重心时，求此时的长．②联结，在的条件下，如果△与△相似，试用的代数式表示线段的长．CADEB图14FG2021学年第一学期普陀区九年级期末测评数学样卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(A)；2．(B)；3．(C)；4．(B)；5．(D)；6．(C)．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．；8．；9．1；10．答案不唯一，如：；11．；12．；13．；14．；15．；1016．；17．2；18．．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式．20．解：（1）∵//，∴．∵，∴．∴．∵//，∴．∴．（2），．21．解：（1）∵正比例函数的图像经过点，∴把代入，可得．∴点的坐标为．由反比例函数的图像经过点，可得．所以这个反比例函数的解析式是．（2）过点作⊥，垂足为点．∵，∴．可得点的纵坐标为4．10∵点在正比例函数的图像上，可得点的横坐标为2．∵点在反比例函数的图像上，点与点的横坐标相同，可得点的纵坐标为．∴点的坐标为．22．解：（1）长．（2）的长度调节为cm．过点作⊥，垂足为点，交于点．根据题意，可知cm，，cm，cm，．在Rt△中，∵，∴(cm)．同理可得(cm)．∴(cm)．由，得(cm)．∵//，∴．∴，得(cm)．所以(cm)．答：钓竿的端点与点之间的最远距离是厘米．23．证明：（1）∵，∴.∵，∴.∴△∽△.∴.（2）∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∵为公共角，∴△∽△.∴．10∴．24．解：（1）由直线经过点、，分别得，，解得，．由抛物线经过点、，得解得，．所以，抛物线的表达式是．（2）由抛物线的对称轴是直线，可设点的坐标为．过点作，为垂足．易证，则．可得，解得．所以，点的坐标为．（3）由点在抛物线上，可设点的坐标为．根据题意，得点落在直线上的点的坐标为．∵点落在直线上，∴．解得．所以，点的坐标为或．25．解：（1）由是边上的高，，，得．由题意得，．∵直线平行，∴△∽△．根据题意，得是△的高，∴．得，解得．10即的值为．（2）①由△沿着翻折，点落在两平行直线与之间的点处，得点落在上．∵点为△的重心，∴为△的中线，．可得，．由△沿着翻折，可得．直线平行，可得，．所以，得//．∴．得，解得．（2）②∵，，∴△与△相似有两种可能性．由△与△相似，得△与△相似．由，得，，，，．i．当时，由，得．化简得．ii．当时，作△边上的高，得．由,得．化简得．10
