浦东新区2022学年度第二学期期末质量抽测高二数学试卷答案及评分细则一、填空题（本大题共12道题目，满分36分.只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分）1．若圆心为且过点，则该圆的方程是____________【答案】2.在复数集中，方程的解是______．【答案】3．若直线与直线垂直，则____【答案】.4．双曲线过点，其渐近线方程是，此双曲线的方程是_________【答案】5．已知点，F为抛物线的焦点.若点P在抛物线上运动，则的最小值是【答案】76．若复数满足（是虚数单位），则的最大值=【答案】107．已知两条直线、，当两直线夹角在变动时，则a的取值范围为【答案】8.直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，则=_____.【答案】09.已知分别为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，交双曲线与两点，若是等边三角形，则此双曲线的渐近线方程是_______.【答案】10．右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.【答案】.11．若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是．【答案】12．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为_______【答案】二、选择题（本大题共4道题目，每题3分，满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13．若过、两点的直线的斜率为1，则的值是（A）5\nA．1B．4C．1或3D．1或414.如果复数是关于的实系数方程的一个复数根，则（D）A．B．C．D．15．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（B）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.过定点作两直线与圆相切，则k的取值范围是（D）A．B．C．或D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分8分）动直线与圆相交于两点，求弦的中点的轨迹方程.【解答】动直线经过定点，而点在圆上，设为点A，即.设弦的中点坐标为，则点B的坐标为，……………………………2分把B点代入圆方程：……………………………………………………4分化简，得………………………………………………………………………6分所以弦的中点的轨迹方程为（圆内部分。注明或去掉点均可）.…………………………………………………………………………8分18．（本题满分10分）已知复数，,且是虚部为负数的纯虚数，求复数.解：设,则，得.…………………………2分于是,………………………………………………………4分设，则，即………………………………………………………6分∴，解得或…………………………………9分∴或【或写成：】……………………10分19.（本题满分10分）已知方程的两根为，若，求实数的值.解答：（1）当，即或时，…………………………………1分，……………………………………………………2分5\n……………………………………3分由，得或.………………………………………………5分（2）当，即时，………………………………………………6分，……………………………………………………7分…………………………………8分由，得或综上所述，或.………………………………………………………10分20.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）已知一条曲线在轴右边，上任意一点到点的距离减去它到轴距离的差都是2.（1）求曲线C的方程；（2）若双曲线:的一个焦点为，另一个焦点为，过的直线与相交于、两点，直线的法向量为，且，求的值.【解答】（1）设是曲线上任意一点，……………………………………………1分那么点满足………………………………………3分化简，得，即为曲线C的方程.……………………………………………4分（2）双曲线一个焦点坐标为，所以，即………………………5分所以双曲线的方程为:。……………………………………………………6分直线的方程为，由得…………………………7分所以………………………………………………………………8分由得…………………………………………………9分5\n即代入化简，并解得（舍去负值），所以…………………………10分21.（本题满分14分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题7分）已知椭圆：，为椭圆的左焦点，右焦点为，其短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点,点.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆的一条过点且斜率为1的弦，求的面积S；（3）问是否存在直线，使与椭圆交于、两点，且.若存在，求的取值范围。若不存在，请说明理由.解答：（1）由，所以…………………………………………2分所以椭圆的方程为.…………………………………………………………3分（2）可设的方程为，…………………………………………………………4分代入椭圆的方程，消去，化简，得∴…………………………………………………6分∴…………………………………………………7分（3），由可知以、为邻边的平行四边形对角线相互垂直。………………………………………………………………………………………………8分①根据椭圆关于轴的对称性，可知当轴，即时，显然满足题意。……9分②当时，设、，的中点为，由，即5\n由韦达定理，得，所以所以点H坐标为………………………………………………………10分又点，所以结合，得化简，得……………………………………………………………………11分对于方程，由，得………………………………………………12分所以，得，∴且………………………………………………………………………13分∴所以，综上由①②得……………………………………………………………14分5
