浦东新区2022年高考预测数学试卷（理科）注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知复数满足（其中i为虚数单位），则=.2．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是.3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生.4．函数与的图像关于直线对称，则.5．把三阶行列式中第1行第3列元素的代数余子式记为，则关于的不等式的解集为.6．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是.7．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是.8．记直线：（）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，则.9．在中，角A、B、C所对的边分别为、、，若，则.10．若等式对一切都成立，其中，，，…，为实常数，则＝.11．方程在区间上解的个数为.12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为，则随机变量的数学期望为.13．如果是函数图像上的点，是函数图像上的点，且11两点之间的距离能取到最小值，那么将称为函数与之间的距离.按这个定义，函数和之间的距离是.14．数列满足（）．①存在可以生成的数列是常数数列；②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件；③若为单调递增数列，则的取值范围是；④只要，其中，则一定存在；其中正确命题的序号为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件16．已知则与的夹角为（）17．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）．18．从集合中任取3个元素组成一个集合，记中所有元素之和被3除余数为的概率为，则的大小关系为（）11三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.如图，已知正四棱柱的底面边长是，体积是，分别是棱、的中点．（1）求直线与平面所成的角（结果用反三角函数表示）；（2）求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.已知向量向量与向量的夹角为，且。（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中、为的内角，且、、依次成等差数列，求的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.设函数（1）当，画出函数的图像，并求出函数的零点；11（2）设，且对任意，恒成立，求实数的取值范围.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直角的三边长，满足（1）在之间插入2022个数，使这2022个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.（1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.xyo3（2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；（3）由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，，且11（），试用表示；并求的取值范围.浦东新区2022年高考预测数学试卷答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．；2．1；3．20；4．4；5．；6．；7．；8．；9．4；10．11．4；12．13．14．①④。二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．；16．；17．18．。三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．19．解：（1）连结，，直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.连结,连结，是直线与平面所成的角.……………………………2分中，，…………………………………………4分.直线与平面所成的角等于.……………………6分（2）正四棱柱的底面边长是，体积是，.………………………………………………………………………8分11；，……………………11分多面体的体积为.……………………………………12分（文）（1）连结,，就是异面直线与所成角.…………………………………2分在，………………………………4分，.所以异面直线与所成角为.…………………………6分20．解：（1）设.由，得①………………………2分又向量与向量的夹角为，得②……………………………4分由①、②解得或，或.………………5分（2）向量与共线知；……………………………………………6分由知.………………………7分，……………………………8分…………………………9分.………11分11，…………12分得，即，…………………………13分.…………………………………………………………14分21．解：（1），………………………………………2分画图正确.…………………………………………………………………………4分当时，由，得，此时无实根；当时，由，得，得.所以函数的零点为.………………………………………………………6分（2）由＜0得，.当时，取任意实数，不等式恒成立.…………………………………8分当时，.令，则在上单调递增，∴；……………………………………………………10分当时，，令，则在上单调递减，所以在上单调递减.∴.…………………………………………………12分综合.……………………………………………………………………14分（文）（2）当时，取任意实数，不等式恒成立；………………………8分当时，，令，则在上单调递增，∴；……………………………………………………10分11当时，，令，则在上单调递减，单调递增；∴.……………………………………………12分综合.……………………………………………………………………14分22．解：（1）是等差数列，∴，即.………2分所以，的最小值为；……………………………4分（2）设的公差为，则……5分设三角形的三边长为，面积，，.………………………………7分由得，当时，，经检验当时，，当时，.………9分综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4.……………10分（3）证明：因为成等比数列，.由于为直角三角形的三边长，知，，………11分又，得，于是.…………12分，则有.11故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14分因为，，……………………………………………………15分由，同理可得，故对于任意的都有是正整数.………………………………………16分（文）（2）设的公差为，则，.…5分设三角形的三边长为，面积，，………………………………7分当为偶数时，;当为奇数时，;……9分综上，.……………………………………………………10分（3）证明：因为成等比数列，.………………………………………11分由于为直角三角形的三边长，知，，………12分又,得.……13分于是.……………14分,则有.……………………15分故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………16分23．解：（1）由的周长为得，椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以，11即，，椭圆的方程；…………………4分（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，.………5分当时，，，即；…………………………7分当时，，，即；…………………………9分所以为定值；…………………………………………………………10分（3）显然“盾圆”由两部分合成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由“盾圆”的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）：xyo当时，，此时，；……………………11分当时，在椭圆弧上，由题设知代入得，，整理得，解得或（舍去）.…12分当时在抛物线弧上，由方程或定义均可得到，于是，综上，（）或（）；相应地，，…………………………………………14分当时在抛物线弧上，在椭圆弧上，；……………………15分当时在椭圆弧上，在抛物线弧上，；……………………16分当时、在椭圆弧上，11；…………………………17分综上的取值范围是.…………………………………………………18分（文）（3）因为“盾圆”关于轴对称，设于是，所以面积，………………………………………………………11分按点位置分2种情况：①当在抛物线弧（）上时，设所在的直线方程（），联立，得，同理，面积，所以；………………14分②当在椭圆弧上时，于是联立，得；即，由，当且仅当等号成立，所以，…………………………………17分综上等腰面积的最大值为.…………………………………………18分11
