北京市海淀区2022届高三数学上学期期中试题文本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，集合,则（A）（B）（C）（D）（2）命题“”的否定是（A）（B）（C）（D）（3）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（4）已知数列满足，则（A）（B）（C）（D）（5）在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上.在△中，若，则点的横坐标为（A）（B）（C）（D）（6）已知向量是两个单位向量，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为16\n（A）（B）（C）（D）（8）若函数的值域为，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知等差数列满足，则公差=_____.（10）已知向量，，若与平行，则的值为______.（11）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时,，则.（12）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.（13）能够说明“设是实数.若，则”是假命题的一个实数的值为______.（14）已知非空集合满足以下两个条件：16\n（ⅰ）；（ⅱ）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.那么用列举法表示集合为.16\n三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间.（16）（本小题13分）已知等比数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）设，求数列的前项和.（17）（本小题13分）如图，△为正三角形，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求，的长.16\n16\n（18）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.（19）（本小题14分）已知数列满足，，（N*）.（Ⅰ）写出的值；[]（Ⅱ）设，求的通项公式；（Ⅲ）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.(20)（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求证：1是函数的极值点;（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：.16\n海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案2022.11数学（文科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678选项CD CDACBD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9.10.11.12.；13.14.或（答对一个给3分）三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（本题13分）解：（I）…………1分……3分（、值各1分）…………4分（II）…………8分（一个公式2分）[].…………10分令…………12分得所以函数的单调递增区间为.…………13分说明：①如果没有代入的过程或没有和16\n的函数值，但最后结果正确扣1分；如果第（I）问先化简的，按照第（II）问相应的评分标准给分。②（II）问中解析式化简可以写成，参照上面步骤给分。③求单调区间时，正确，但没有写成区间形式、无，只要居其一扣一分，不累扣。16．（本题13分）解：（Ⅰ）设等比数列的公比为.因为，且所以，得，…………2分又因为，所以，得，.…………4分所以（N+），…………5分所以…………6分…………7分（Ⅱ）因为，所以，…………9分所以.…………11分所以数列的前项和…………12分.…………13分16\n17．（本题13分）解：（Ⅰ）因为△为正三角形，，所以在△中，，所以.所以…………1分=…………3分（一个公式2分）因为在△中，，…………4分所以.…………5分所以.…………6分（Ⅱ）方法1：在△中，，由正弦定理得：，……8分所以…………9分又在正△中，，，所以在△中，，…………10分由余弦定理得：…………12分16\n所以的长为.…………13分方法2：在△中，由正弦定理得：，…………8分所以,…………9分…………10分所以.…………11分在△中，由余弦定理得…………12分[].所以的长为.…………13分18.（本题13分）解：（Ⅰ）由，得,…………1分所以，又…………3分所以曲线在点处的切线方程为：，16\n即：.…………4分（Ⅱ）令，得.…………5分与在区间的情况如下：-0+极小值…………7分因为…………8分所以函数在区间上的最大值为6.…………9分（Ⅲ）证明：设=，则，…………10分令，得.与随x的变化情况如下：100极大值极小值则的增区间为，，减区间为.…………11分又，，所以函数在没有零点，……12分又，所以函数在上有唯一零点.…………13分综上，在上存在唯一的，使得.16\n19.（本题14分）解：（Ⅰ）；…………2分（Ⅱ）设，则，…………4分所以是以1为首项，2为公差的等差数列，…………5分所以.…………6分（Ⅲ）解法1：，，所以是以1为首项，为公差的等差数列，…………7分所以数列的前n个奇数项之和为…………8分由（Ⅱ）可知，，所以数列的前n个偶数项之和为…………10分所以，…………11分所以.因为，且所以数列是以为首项，为公差的等差数列.…………12分由可得，…………13分所以当或时，数列的前项和的最小值为.…………14分解法二：由得16\n①，…………7分②，…………8分把①②两个等式相加可得，，所以.…………10分所以数列的前项和，…………11分（或：由得…………7分…………10分…………11分）所以.因为，且所以数列是以为首项，为公差的等差数列.…………12分由可得，…………13分所以当或时，数列的前项和的最小值为.…………14分20．（本题14分）（Ⅰ）证明：证法1：的定义域为……………1分由得，……………2分.………………3分当时，，，故在上单调递增；16\n………………4分当时，，，故在上单调递减；……………5分(此处为推理说明，若用列表说明则扣1分)所以1是函数的极值点.………………6分证法2：（根据极值的定义直接证明）的定义域为……………1分，……………3分当时，，即；………………4分当时，，即；……………5分根据极值的定义，1是的极值点.………………6分（Ⅱ）由题意可知，证法1：，令，，故在上单调递增.………………7分又，又在上连续，使得，即，………………8分.（*）………………9分随x的变化情况如下：↘极小值↗16\n………………10分.………………11分由（*）式得，代入上式得.………………12分令，，故在上单调递减.………………13分，又，.即.………………14分证法2：，令，………………7分，令得.………………8分随x的变化情况如下：↘极小值↗，即，当且仅当时取到等号.………………10分，令得.………………11分随x的变化情况如下：↘极小值↗………………12分16\n，即，当且仅当时取到等号.………………13分.即.………………14分16
