北京市海淀区2022届高三数学上学期期中试题理本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，，则（）（A）（B）（C）（D）（4）已知数列满足，则（）（A）（B）（C）（D）（5）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）（A）（B）（C）（D）（6）设，则“是第一象限角”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件12\n（7）设（），则下列说法不正确的是（）（A）为上偶函数（B）为的一个周期（C）为的一个极小值点（D）在区间上单调递减（8）已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为（）（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）定积分的值等于．（10）设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPa．（11）能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为．（12）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则①；②若，则．（13）已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则，．（14）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．12\n①；②若的值域是，则的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．（16）（本小题13分）已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．（17）（本小题13分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最小值．（其中是自然对数的底数）（18）（本小题13分）如图，在四边形中，，且为正三角形.12\n（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求和的长.12\n（19）（本小题14分）已知函数（），（）（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在，，满足，求的取值范围.（只需写出结论）（20）（本小题14分）若数列：，，…，（）中（）且对任意的恒成立，则称数列为“数列”．（Ⅰ）若数列，，，为“数列”，写出所有可能的，；（Ⅱ）若“数列”：，，…，中，，，求的最大值；（Ⅲ）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，…，，记，其中表示，，…，这个数中最大的数，求的最小值．12\n海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案2022.11数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678选项CADDBCDA二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9．010．8111．212．（1）（2）13．，14．（1）（2）三、解答题:本大题共6小题，共80分.15．（本题13分）解：（Ⅰ）因为……………………1分……………………2分……………………3分（Ⅱ）……………………4分……………………8分（一个公式2分）12\n……………………10分因为，所以……………………11分所以故当即时，有最大值当即时，有最小值……………………13分（函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分）16．（本题13分）解：（Ⅰ）设数列的公比为，则……………………2分解得，……………………3分所以，……………………5分令，则……………………7分……………………9分（Ⅱ）…………………13分（分组求和，每组求对给2分）17．（本题13分）解：（Ⅰ）当时，，，………………1分此时，，，……………………2分12\n故曲线在点处的切线方程为．……………………3分（Ⅱ）的定义域为……………………4分……………………5分令得，或……………………6分①当时，对任意的，，在上单调递增…………7分……………………8分②当时0↘极小↗……………………10分……………………11分②当时，对任意的，，在上单调递减…………12分……………………13分由①、②、③可知，18．（本题13分）解：（Ⅰ）因为，12\n所以……………………2分（没写角取值范围的扣1分）所以……………………4分……………………6分（Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得…………………10分（每个公式给2分）[.代入得解得或（舍）即，……………………13分19．（本题14分）解：（Ⅰ）因为……………………2分[]令，得[]12\n因为，所以……………………3分当变化时，，的变化情况如下：极大值……………………5分故的单调递增区间为，的单调递减区间为……………………6分（Ⅱ）证明：（），……………………7分设，则故在是单调递增函数，……………………8分又，故方程只有唯一实根……………………10分当变化时，，的变化情况如下：1极小值……………………12分故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点.（Ⅲ）……………………14分20．（本题14分）解：（Ⅰ），或……………………3分12\n（Ⅱ）的最大值为，理由如下……………………4分一方面，注意到：对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立．（★）当，时，注意到，得（）此时即，解得：，故………………7分另一方面，取（），则对任意的，，故数列为“数列”，此时，即符合题意．综上，的最大值为65．……………………9分（Ⅲ）的最小值为，证明如下：……………………10分当（，）时，一方面：由（★）式，，．此时有：12\n故…………13分另一方面，当，，…，，，，…，时，取，则，，，且此时．综上，的最小值为．……………………14分12
