吉林省实验中学2022---2022学年度上学期高二年级数学学科（理科）期中考试试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）方程所表示的曲线是(A)一个圆(B)一条直线(C)一个点和一条直线(D)一条直线和一个圆（2）两条直线互相垂直，则的值是(A)(B)(C)或(D)或（3）已知点在圆上运动，则代数式的最大值是(A) (B)－ (C) (D)－（4）圆O1:和圆O2:的位置关系是(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切（5）已知实数满足，则的最大值为(A)(B)0(C)(D)（6）若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为(A)，(B)，(C)，(D)，（7）已知直线l经过点M(2，3)，当圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截l所得弦长最长时，直线l的方程为(A)x－2y＋4＝0(B)3x＋4y－18＝0(C)y＋3＝0(D)x－2＝0（8）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是-8-\n(A)＋y2＝1(B)＋＝1(C)＋＝1((D)＋＝1（9）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上点满足.若点是椭圆上的动点，则的最大值为(A)(B)(C)(D)（10）在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面,点是侧面的中心，若,则直线与平面所成角的大小为(A)(B)(C)(D)（11）椭圆上的点到直线的最大距离是（）(A)(B)(C)(D)（12）已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率(A)(B)(C) (D)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）过点且垂直于直线的直线方程为（14）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________（15）在正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点．那么异面直线和所成角的余弦值为（16）椭圆的左．右焦点分别为，焦距为，若与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于-8-\n三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）已知、为椭圆的左、右焦点，过做椭圆的弦.（Ⅰ）求证：的周长是常数；（Ⅱ）若的周长为16，且、、成等差数列，求椭圆方程．（18）(本小题满分12分)已知点的坐标是，过点的直线与轴交于，过点且与直线垂直的直线交轴与点，设点为的中点，求点的轨迹方程．（19）(本小题满分12分)已知，求（Ⅰ）的取值范围;（Ⅱ）的最小值.（20）(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若二面角的大小是，求的长．（21）(本小题满分12分)已知圆直线(Ⅰ)求证：直线与圆C相交；(Ⅱ)计算直线被圆截得的最短的弦长．-8-\n（22）（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（I）求椭圆的离心率；（II）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．-8-\n吉林省实验中学2022-2022高二上学期期中考试数学学科（理科）答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）D（2）C（3）A（4）B（5）D（6）B（7）D（8）C（9）B（10）A（11）C（12）A二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）（14）（15）（16）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17（本小题满分10分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）、、成等差数列椭圆方程为（18）解：设，，是的中点，，，若用斜率乘积为，需讨论分式的分母是否为，不讨论的扣分（检验求出直线上的不扣分）（19）解：（Ⅰ）三条直线的交点分别是，表示点到两点斜率的取值范围。,的取值范围是（Ⅱ）表示到可行域中的点的距离的平方最小值。到直线的距离的平方为是最小的。（20）（Ⅰ）证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面.又∵平面，∴.-8-\n∵，，是中点，∴.又∵∩，∴平面.（Ⅱ）解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,.设，平面的法向量，则,.且，.于是所以取，则∵三棱柱是直棱柱，∴平面.又∵平面，∴.∵，∴.∵∩，∴平面.∴是平面的法向量，.∵二面角的大小是，∴.解得.∴.（21）（I）证明：圆的标准方程，圆心，分-8-\n直线经过定点分点在圆的内部，则直线和圆相交。（II）当垂直弦时，弦长最短，由垂径定理得最小值为（22）（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是，，，∵在椭圆上，代入椭圆方程得：，，椭圆的方程是，…（6分）（II）方法1：设，则，，∵，∴，在圆中，是切点，∴，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．…………（12分）方法2：设的方程为，由，得设，则，，∴-8-\n，∵与圆相切，∴，即，∴，∵，∵，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．…………（12分）-8-
