四川省宜宾市一中高中数学上学期第十二周周练题

四川省宜宾市一中2022-2022学年高中数学上学期第十二周周练题一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.若曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆，则k的取值范围是(　　)A.k>1B.k<−1C.−1<k<1d.−1<k<0或0<k<1【答案】d【解析】【分析】曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆，可得1−k>01+k>01−k≠1+k，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆，∴1−k>01+k>01−k≠1+k，解得−1<k<1，且k≠0．故选：d．2.设椭圆x24+y2=1的左焦点为f，p为椭圆上一点，其横坐标为3，则|pf|=(>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)9A.12B.33C.22D.24【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题．先根据题意可知c=b，进而求得a和c的关系，离心率可得．【解答】解：依题意可知2c=2b，即b=c，所以a=b2+c2=2c∴椭圆的离心率e=ca=22．故选C．1.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点.若△AF1B的周长为43，则C的方程为(　　)A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF1B的周长为43，求出a=3，根据离心率为33，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为43，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=43，∴a=3，∵离心率为33，∴ca=33，c=1，∴b=a2−c2=2，∴椭圆C的方程为x23+y22=1．故选A．2.椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是(　　)A.x225+y29=1B.y225+x29=1或x225+y29=1C.y225+x29=1D.y225+x216=1或x216+y29=1【答案】B【解析】【分析】由题意求得c=4，a=5，b2=a2−c2=9，分类讨论即可求得椭圆的标准方程.9本题考查椭圆的标准方程，考查分类讨论思想，属于基础题．【解答】解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2−c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x225+y29=1，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y225+x29=1，故椭圆的标准方程为：x225+y29=1或y225+x29=1，故选B．1.已知椭圆：x2k+y22=1，若椭圆的焦距为2，则k为(　　)A.1或3B.1C.3D.6【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的简单性质直接求解.本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．【解答】①若焦点在y轴上，椭圆x2k+y22=1中，a2=2，b2=k，则c=2−k，∴2c=22−k=2，解得k=1．②若焦点在x轴上，椭圆x2k+y22=1中，a2=k，b2=2，则c=k−2，∴2c=2k−2=2，解得k=3．综上所述，k的值是1或3．故选A．2.设P为椭圆x29+y24=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=2：1则△PF1F2的面积为(　　)A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】先由椭圆的方程求出|F1F2|=25，再由|PF1|=2|PF2|，求出|PF1|=4，|PF2|=2，由此能够推导出△PF1F2是直角三角形，其面积=12×|PF1| ×|PF2|.本题考查椭圆的性质，判断出△PF1F2是直角三角形能够简化运算．【解答】解：∵|PF1|：|PF2|=2：1，∴可设|PF1|=2k，|PF2|=k，由题意可知2k+k=6，∴k=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，9∵|F1F2|=25，∴△PF1F2是直角三角形，其面积=12×|PF1| ×|PF2|=12× 4×2=4．故选C．1.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP⋅FP的最大值为(　　)A.2B.3C.6D.8【答案】C【解析】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1−x024)，因为FP=(x0+1,y0)，OP=(x0,y0)，所以OP⋅FP=x0(x0+1)+y02=x024+x0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=−2，因为−2≤x0≤2，所以当x0=2时，OP⋅FP取得最大值224+2+3=6，故选C．先求出左焦点坐标F，设P(x0,y0)，根据P(x0,y0)在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量FP、OP，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．2.已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，若PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则此椭圆的离心率为(　　)A.12B.23C.13D.53【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义的应用，考查勾股定理及椭圆离心率公式的应用，考查计算能力，属于中档题.由题意可知：设|PF1|=2m，|PF2|=m，根据椭圆定义，结合勾股定理计算求解【解答】解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点在x轴上，设|PF1|=2m，|PF2|=m，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a，2m+m=2a，即a=3m2，∵PF1⊥PF2，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=丨F1F2丨 2，4m2+m2=(2c)2，即5m2=4c2，∴c=52m，9∴e=ca=52m32m=53，故选D．1.已知椭圆的方程为x29+y24=1，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为(　　)A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】解：椭圆的方程为x29+y24=1，∴2a=6，2b=4，c=25，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．故选：D．利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．2.设椭圆x216+y212=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1⋅PF2=9，则|PF1|⋅|PF2|的值为(　　)A.8B.10C.12D.15【答案】D【解析】解：∵P是椭圆x216+y212=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，PF1⋅PF2=9，即|PF1|⋅|PF2|cosθ=9，16=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|⋅|PF2|−18=64−2|PF1|⋅|PF2|−18=16，∴|PF1|⋅|PF2|=15，故选：D．根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解，属于中档题．91.已知椭圆C：x24+y2b2=1(0<b<2)，作倾斜角为3π4的直线交椭圆c于a，b两点，线段ab的中点为m，o为坐标原点，若直线om的斜率为12，则b=a.1b.2c.3d.62【答案】b【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质应用，以及直线与椭圆的位置关系，由题意，利用“点差法”，结合直线斜率，得到结果．【解答】解：∵设ax1,y1,bx2,y2，mx0,y0，∴依题意，kab=tan3π4=−1,x0=x1+x22,y0=y1+y22，∵x124+y12b2=1,x224+y22b2=1，∴两式相减，得：x12−x224+y12−y22b2=0，∴x1+x2x1−x24=−y1+y2y1−y2b2，∴2x04=−2y0b2×−1，∴x02=2y0b2，∵直线om的斜率为12，∴y0x0=12，∴b24=12，∵0<b<2，∴b=2．故选b．9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为______．【答案】x218+y22=1或y218+x22=1【解析】解：若椭圆的焦点在x轴，可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，且2c=8，即c=4．又2a=6b，∴a=3b，结合a2=b2+c2，得9b2=b2+16，∴b2=2，则a2=9b2=18．∴椭圆标准方程为x218+y22=1．若椭圆的焦点在y轴，同理可得y218+x22=1．故答案为：x218+y22=1或y218+x22=1．若椭圆的焦点在x轴，可设出椭圆标准方程，并得到c，再由长轴长是短轴长的3倍可得a=3b，结合隐含条件a2=b2+c2求得a，b的值，则椭圆方程可求，若椭圆的焦点在y轴，同理可得椭圆方程．本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单几何性质，考查分类讨论思想，是基础题．2.方程x215−k+y2k−9=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．【答案】(12,15)【解析】解：方程x215−k+y2k−9=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得：k−9>15−k>0，解得k∈(12,15)故答案为：(12,15)．利用椭圆的简单性质列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3.设椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1，F2都在x轴上，P是第一象限内该椭圆上的一点，且sin∠PF1F2+sin∠PF2F1sin∠F1PF2=2，则正数m的值为_________________．【答案】4【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，几何性质、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，由椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1，F2都在x轴上，得m>3，正弦定理得：PF1+PF1F1F2=2a2c=2，由此能求出m．【解答】9解：∵椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1，F2都在x轴上，∴m>3，∵P是第一象限内该椭圆上的一点，且sin⁡∠PF1F2+sin⁡∠PF2F1sin⁡∠F1PF2=2，∴由正弦定理得：PF1+PF1F1F2=2a2c=2，∴e=ca=m−3m=12，解得m=4．故答案为4．1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0左右焦点分别是F1 −1,0 , F21,0，点A是直线x+y−2=0上的动点，若点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率的最大值为         ．解：由题可知x2a2+y2b2=1x+y−2=0，化简得a2+b2x2−4a2x+4a2−a2b2=0，点A在椭圆C上，所以上方程有解，所以∆=−4a22−4a2+b24a2−a2b2≥0，又c=1，b2=a2−1，所以有a2≥52，a≥102，所以e=ca=1a≤1102=105，故答案为105．或者通过对称性和椭圆的定义解决问题，比通解更快、更直观。2.求适合下列条件的椭圆标准方程：(1)与椭圆x22+y2=1有相同的焦点，且经过点(1,32)9(2)经过A(2,−22),B(−2,−32)两点【答案】解：(1)椭圆x22+y2=1的焦点坐标为(±1,0)， ∵椭圆过点(1,32)， ∴2a=(1+1)2+322+(1−1)2+322=4， ∴a=2，b=3， ∴椭圆的标准方程为x24+y23=1； (2)设所求的椭圆方程为x2m+y2n=1，m>0，n>0，m≠n. 把A(2,−22),B(−2,−32)两点代入，得： 4m+12n=12m+34n=1， 解得m=8，n=1， ∴椭圆方程为x28+y2=1．1.(1)【答案】解：设所求点P(x,y)，F1(−1,0)，F2(1,0)，动圆半径为r，由题易得|PF1|=6−r，|PF2|=2+r，∴|PF1|+|PF2|=8>2，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，∴轨迹方程：x216+y215=1．动圆圆心P的轨迹方程x216+y215=1．(2)方程x2+(y−2)2+x2+(y+2)2=10化简的结果是A.x225+y216=1B.x225+y221=1C.x225+y24=1D.y225+x221=1【答案】D【解析】解：∵方程x2+(y−2)2+x2+(y+2)2=10，表示平面内到定点F1(0,−2)、F2(0,2)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹，∴它的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴2a=10，焦距2c=4的椭圆；∴a=5，c=2，b=25−4=21；∴椭圆的方程是y225+x221=1，即为化简的结果．故选：D．根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程．本题考查了椭圆的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．2.已知椭圆C的焦点为F1(−22  , 0)和 F2(22  , 0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求：9(1)椭圆C的标准方程；(2)弦AB的中点坐标及弦长．【答案】解：(1)∵椭圆C的焦点为F1(−22,0)和 F2(22,0)，长轴长为6，∴椭圆的焦点在x轴上，c=22，a=3，∴b=1，∴椭圆C的标准方程x29+y2=1．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB线段的中点为M(x0,y0)，由x2+9y2=9y=x+2，消去y，得10x2+36x+27=0，∴x1+x2=−185，x1x2=2710，∴x0=−95，∵y0=x0+2=2−95=15，∴弦AB的中点坐标为(−95,15)，|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=2(−185)2−4×2710=635．1.在平面xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l 方程为y=12x+m，直线l 与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．【答案】(12分)解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e=32．可得：4a2+1a2−c2=1ca=32，解得a=22，c=6，则b=2，椭圆方程为：x28+y22=1．(2)设直线方程为y=12x+m，A(x1,y1)、B(x2,y2)，联立方程组y=12x+mx28+y22=1整理得：x2+2mx+2m2−4=0，x1+x2=−2m，x1x2=2m2−4，利用弦长公式得：|AB|=5(4−m2)，由点线距离公式得到P到l的距离d=2|m|5．S=12|AB|⋅d=12⋅5(4−m2)⋅2|m|5=m2(4−m2)≤m2+(4−m2)2=2．当且仅当m2=2，即m=±2时取到最大值.最大值为：2．9</b<2)，作倾斜角为3π4的直线交椭圆c于a，b两点，线段ab的中点为m，o为坐标原点，若直线om的斜率为12，则b=a.1b.2c.3d.62【答案】b【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质应用，以及直线与椭圆的位置关系，由题意，利用“点差法”，结合直线斜率，得到结果．【解答】解：∵设ax1,y1,bx2,y2，mx0,y0，∴依题意，kab=tan3π4=−1,x0=x1+x22,y0=y1+y22，∵x124+y12b2=1,x224+y22b2=1，∴两式相减，得：x12−x224+y12−y22b2=0，∴x1+x2x1−x24=−y1+y2y1−y2b2，∴2x04=−2y0b2×−1，∴x02=2y0b2，∵直线om的斜率为12，∴y0x0=12，∴b24=12，∵0<b<2，∴b=2．故选b．9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为______．【答案】x218+y22=1或y218+x22=1【解析】解：若椭圆的焦点在x轴，可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a></k<1，且k≠0．故选：d．2.设椭圆x24+y2=1的左焦点为f，p为椭圆上一点，其横坐标为3，则|pf|=(></k<1d.−1<k<0或0<k<1【答案】d【解析】【分析】曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆，可得1−k>