四川省成都市树德中学2022-2022学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．设a,b∈R,若b-|a|>0,则下列不等式中正确的是A.a-b>0B.a+b>0C.a2-b2>0D.a3+b3<0【答案】B【解析】由b>|a|,可得-b<a<b.由a<b,可得a-b<0,所以选项a错误.由-b<a,可得a+b>0,所以选项B正确.由b>|a|,两边平方得b2>a2,则a2-b2<0,所以选项C错误.由-b<a,可得-b3<a3,则a3+b3>0,所以选项D错误.故选B. 2．已知，，则A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意知,===.选D.【备注】若,，则. 3．已知数列满足， , 则A.1B.2C.D.【答案】C【解析】本题考查递推公式.由题意知, ,,所以 , , , , ,所以该数列是以6为周期的周期数列,所以.选C. 11/124．给出下列关于互不重合的三条直线、、和两个平面、的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，，，则；④若，，，，，则，其中为真命题的是A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③【答案】C【解析】本题考查点线面之间的位置关系.对①,若，，点，则与不共面,①正确；对②,若、是异面直线，，，且，，则,②正确；对③,若，，，则或与相交或与异面,③错；对④，若，，，，，则,④正确.所以真命题有①②④.选C. 5．规定记号“”表示一种运算，定义：为正实数)，若，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查新定义问题.因为,所以可化为,即,所以.选A. 6．棱长为的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是11/12A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查三视图、空间几何体的体积.还原出空间几何体(如图所示);被截去的与剩下的几何体体积相同;所以被截去的几何体的体积.选B. 7．如图,已知,,且,任意点关于点的对称点为,点关于点的对称点为,则A.B.C.D.【答案】A11/12【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为为的中点,所以=;所以====6.选A. 8．已知是内一点，且，，若、、的面积分别为、、，则的最小值是A.18B.16C.9D.4【答案】A【解析】本题考查平面向量的数量积，基本不等式，三角形的面积公式.，可得；而++=,即+=；所以+.即的最小值是18.选A.【备注】;三角形的面积公式：. 9．在中，内角的对边分别为,若的面积为,且,则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查正弦定理和余弦定理,三角形的面积公式.由三角形的面积公式知,,因为,所以；由余弦定理知,所以,整理得,所以,所以,所以,解得.选C. 10．如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误的为A.是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心)B.直线∥平面.11/12C.平面.D.直线与平面所成的角的正弦值为.【答案】B【解析】本题考查线面平行与垂直.两两垂直且相等,所以是正三棱锥,A正确;将正四面体放入正方体中(如图所示),显然,而与平面相交,所以直线与平面相交,B错误,选B. 11．已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为A.B.2C.D.4【答案】D【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为的解集为空集,所以恒成立,即,即;所以===4(当且仅当时等号成立).即的最小值为4.选D. 12．设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围A.B.C.D.【答案】C11/12【解析】本题考查等差数列,和角差角公式.因为为等差数列,所以,即=,;=====1,而,所以;所以=;由题意得对称轴满足,解得.选C.【备注】等差数列中，. 二、填空题：共4题13．已知的顶点坐标分别为,,,则 【答案】【解析】本题考查空间中两点间的距离公式和余弦定理.由题意知,,,,所以,由余弦定理知,.所以. 14．如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的高为 【答案】【解析】本题考查直观图.由题意得;而,所以=,解得.即在直观图中梯形的高为.【备注】. 15．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为 .【答案】【解析】本题考查等比数列和均值不等式.因为为等比数列,所以亦为等比数列,即=,所以;而,所以;所以(当且仅当时等号成立).即的最小值为20.11/12 16．已知是锐角的外接圆圆心，，是边上一点(与不重合)，且，若，则 .【答案】【解析】本题考查平面向量的数量积,诱导公式,和角公式,正弦定理.作,在直角三角形中,;在直角三角形中,;而=;即,即,即,所以,即为的中点,所以三角形为等腰三角形,而,可得;取的中点,;代入等式得,等式两边同乘得,即,即;由正弦定理得======.三、解答题：共6题17．已知关于的不等式的解集为.(1)求实数的值；(2)解关于的不等式：为常数).【答案】(1)由题知为关于的方程的两根，即；∴.(2)不等式等价于，所以：当时解集为；当时解集为；当时解集为.【解析】本题考查一元二次不等式、分式不等式.(1)转化为方程的根,解得.(2)将分式不等式转化为一元二次不等式,即可求得. 18．如图，在三棱柱中，侧棱与底面成角为，．11/12(1)若，求证：；(2)若为的中点，问:上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)因为侧棱与底面成角,即;而在内,所以;而=,,所以;所以.(2)上存在点(为上的中点),即,使得∥平面.因为为的中点，为上的中点,所以为中位线,即;而内,所以∥平面,此时.【解析】本题考查线面平行与垂直.(1),所以,所以,所以.(2),∥平面,为上的中点.11/12 19．已知数列的前项和是，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求适合方程的正整数的值.【答案】(1)时，,时，,，.是以为首项，为公比的等比数列，.(2),...由解得.【解析】本题考查数列的通项与求和.(1)由的关系得.所以是等比数列，所以.(2)裂项相消得. 20．如图，中，,，点为线段上一点，过作垂直于与，作垂直于BC与.(1)若,则,求的长.(2)在(1)的结论下,若点为线段上运动，求面积的最大值.【答案】(1)因为sin∠ABC＝，所以cos∠ABC＝1－2×＝.△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－①11/12在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB＝，cos∠BDC＝.因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，所以有＝－，所以3b2－a2＝－6，②由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.(2)令，则△ABC的面积为×2×3×＝，从而可得.而△DEF的面积为(当且仅当时取等)即面积的最大值为.【解析】本题考查余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式.(1)由同角三角函数的基本关系及余弦定理得BC＝3.(2)由三角形的面积公式及基本不等式得.即面积的最大值为. 21．在直角梯形中，，,(如图1)．把沿翻折，使得二面角的平面角为(如图2),、分别是和中点.(1)若为线段上任意一点，求证：(2)若，求与平面所成角的正弦值.(3)、分别为线段与上一点，使得.令与和所成的角分别为和.求的取值范围.【答案】(1)又⇒.11/12(2)由(1)知，从而为等边三角形，从而易得答案为(3)在BN线段取点R使得.从而易得且，.另一方面，易证，从而.又,,所以,所以；又有PR//AN且RQ//BDA,所以.从而有∴..【解析】本题考查线面垂直与平行,三角恒等变换.(1)线线垂直线面垂直线线垂直.(2)为等边三角形，得答案为；(3)证得∴. 22．数列满足，，令.(1)证明：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和；(3)数列的前项和为．求证：对任意的，．【答案】(1)，，又，数列是首项为，公比为的等比数列．(2)，．.11/12∴Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1.②①－②，得—Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.∴Sn＝(n-1)2n+1+2.(3)当时，则=．，对任意的，．【解析】本题考查等比数列,数列的通项与求和.(1)求得，数列是首项为，公比为的等比数列．(2),错位相减得Sn＝(n-1)2n+1+2.(3)放缩法得． 11/12</a,可得-b3<a3,则a3+b3></a<b.由a<b,可得a-b<0,所以选项a错误.由-b<a,可得a+b>
