资阳市高中2022级第一次诊断性考试数学（理工类）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则=(A){x|－2≤x＜1}(B){x|－2≤x≤1}(C){x|－2＜x≤1}(D){x|x＜－2}2．函数定义域为(A)(B)(C)(D)3．已知是虚数单位，复数=(A)－2(B)2(C)i－2(D)2＋i4．给出以下四个判断，其中正确的判断是(A)若“或”为真命题，则，均为真命题(B)命题“若且，则”的逆否命题为“若，则且”(C)若x≠300°，则cosx≠(D)命题“x0R，”是假命题5．已知，且＋=，则的值为(A)(B)(C)(D)6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=2a3－a1，则该数列的公比为-9-(A)2(B)(C)4(D)7．执行右图所示的程序框图，则输出的(A)1023(B)512(C)511(D)2558．已知x0是函数的一个零点（其中e为自然对数的底数），若，，则(A)(B)(C)(D)9．已知a＞0，b＞0，且，则a＋2b的最小值为(A)5＋(B)(C)5(D)910．设函数（其中a∈R）的值域为S，若，则a的取值范围是(A)(B)(C)(D)11．P是△ABC内一点，△ABC，△ABP，△ACP的面积分别对应记为S，S1，S2，已知，其中，若，则(A)1(B)(C)(D)12．设是定义在R上的增函数，其导函数为，且满足，下面的不等关系正确的是(A)(B)(C)f(x)＞x－1(D)f(x)＜0-9-第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a=(2，–1)，b=(m，3)，若a∥b，则m的值是________.14．已知A为不等式组表示的平面区域，则当a从–1连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为________.15．已知数列{an}满足a1=20，(nN*)，则当数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n的值为________.16．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=2A，则c的取值范围是___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知命题p:实数x满足不等式组命题q:实数x满足不等式().(Ⅰ)解命题p中的不等式组；(Ⅱ)若p是q的充分条件，求a的取值范围．18（本小题满分12分）已知向量，，函数f(x)=a·b.(Ⅰ)求的单调递增区间；(Ⅱ)若将f(x)的图象向左平移个单位，再将各点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到函数的图象．写出的解析式并在给定的坐标系中画出它在区间上的图象．-9-19.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且．(Ⅰ)求证：数列{an＋1}为等比数列；(Ⅱ)令bn=，求数列{bn}的的前n项和Tn.20.（本小题满分12分）某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售．已知该特产的销量（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系：当零售价为80元/件时，销量为7万件；当零售价为50元/件时，销量为10万件．后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销量成反比．当销量为10万件，弹性批发价为1元/件．假设不计其它成本，据此回答下列问题．(Ⅰ)当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？(Ⅱ)当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝lnx－x，g(x)＝ax²－a(x＋1)(其中)，令h(x)＝f(x)－g(x)．(Ⅰ)当a＞0时，求函数y＝h(x)的单调区间；(Ⅱ)当a＜0时，若f(x)＜g(x)在上恒成立，求a的最小整数值．请考生在22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，使得．(Ⅰ)求证：QA为⊙O的切线；(Ⅱ)若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)写出直线l和曲线C的普通方程；(Ⅱ)已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．-9-24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数．(Ⅰ)当时，解不等式；(Ⅱ)若关于x的不等式的解集为，求证：．-9-资阳市高中2022级第一次诊断性考试数学参考答案及评分意见（理工类）一、选择题1.A2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.C9.B10.C11.B12.D二、填空题13．–6；14．；15．10或11；16．．三、解答题17．（Ⅰ）由，得，得0<x<3，2分由，得2<x<4，4分所以不等式组的解集为{x|2<x<3}，6分（ⅱ）因为p是q的充分条件，所以2<x<3使关于x的不等式恒成立，8分令，则有解之得a≤9，故a的取值范围是(－∞，9].12分18．由题：f(x)=ab====sin(2x－)．4分(ⅰ)由，得，其中，故单调递增区间为，其中．6分(ⅱ)由(ⅰ)知f(x)＝sin(2x－)，则g(x)＝2sin(2x＋)．8分列表得x0ππ2π20－20经过描点、连线得12分-9-19．（i）由，可得s1＝2a1－1，即a1＝1，1分又因为，相减得即2分所以，故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列．4分（ⅱ）由（ⅰ）得到an＋1＝，则5分于是bn＝=n()＝n×－n，令un＝n×，6分则wn＝，2wn＝，相减，整理得－wn＝，于是wn＝，10分又数列{n}的前n项和为，所以tn=．12分20．设销量y与销售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价与销量y的反比例函数关系为，由解得于是y=15－0.1x，2分由，得a=10，于是．4分（ⅰ）当销售价为100元>1，所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．4分（Ⅱ）由题知f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立，即h(x)=f(x)－g(x)＜0在x∈(0,－a-9-)上恒成立．由，得，x2=1，(1)当，即a=－1时，在x∈(0，1)上恒成立，则h(x)在(0，1)上为增函数，h(x)＜h(1)=＜0，所以f(x)＜g(x)恒成立．6分(2)当，即－1<a<0时，x(0，1)1(1，)(，＋∞)＋0－＋h(x)极大值极小值因为－a＜1，在区间(0,－a)上，h(x)＜h(－a)＜h(1)=a－1＜0．8分(3)当，即a<－1时，x(0，)(，1)1(1，＋∞)＋0－＋h(x)极大值极小值因为－a>1，又h()=ln()－a×()²(a－1)＋a=ln()－1＋＋a=ln()＋－1＜0，10分于是只需考虑h(－a)＜0即可，即考虑h(－a)=ln(－a)－a(－a)²＋(a－1)(－a)＋a=ln(－a)－a³－a²＋2a＜0，下面用特殊整数检验，若a=－2，则h(2)=ln2＋4－8=ln2－4＜0；若a=－3，则h(3)=ln3＋－15=ln3－=＜0；若a=－4，则h(4)=ln4＋32－24=ln4＋8＞0，而当a≤－4时，ln(－a)＞0，现说明当a≤－4时，－a³－a²＋2a＞0，令u(x)＝－x³－x²＋2x，则＝－x²－2x＋2，它在(－∞，－4]为增函数且＜0，所以u(x)在(－∞，－4]为减函数，而u(－4)＞0，则当a≤－4时，－a³－a²＋2a＞0恒成立．所以，使f(x)＜g(x)在x∈(0,－a)上恒成立的最小整数为－3．12分22．选修4－1：几何证明选讲（Ⅰ）因为，所以即，于是，-9-所以△QCA∽△QAB，所以∠QAB=QCA，根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线，证毕．5分（Ⅱ）因为QA为⊙O的切线，所以∠PAC=∠ABC，而AC恰好为∠BAP的平分线，所以∠BAC=∠ABC，于是AC=BC=15，所以，①又由△QCA∽△QAB得，②联合①，②消掉QC，得QA=18．10分23．选修4—4：坐标系与参数方程（Ⅰ）由题，消去直线的参数方程中的参数t得直线l的普通方程为．又由得，由得曲线的直角坐标方程为．5分（Ⅱ）曲线：可化为，设与直线l平行的直线为，当直线l与曲线C相切时，有，即，于是当时，P为切点时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即．（或先求圆心到直线的距离为，再加上半径1，即为P到直线l距离的最大值）10分24．选修4—5：不等式选讲（1）当时，不等式为，当x≤－2时，原不等式可化为－x－2－2x＋1≥16，解之得x≤；当－2＜x≤时，原不等式可化为x＋2－2x＋1≥16，解之得x≤－13，不满足，舍去；当x＞时，原不等式可化为x＋2＋2x－1≥16，解之得x≥5；不等式的解集为．5分（2）即，解得，而解集是，所以解得，从而于是只需证明，即证，因为，所以，证毕．10分-9-</a<0时，x(0，1)1(1，)(，＋∞)＋0－＋h(x)极大值极小值因为－a＜1，在区间(0,－a)上，h(x)＜h(－a)＜h(1)=a－1＜0．8分(3)当，即a<－1时，x(0，)(，1)1(1，＋∞)＋0－＋h(x)极大值极小值因为－a></x<3，2分由，得2<x<4，4分所以不等式组的解集为{x|2<x<3}，6分（ⅱ）因为p是q的充分条件，所以2<x<3使关于x的不等式恒成立，8分令，则有解之得a≤9，故a的取值范围是(－∞，9].12分18．由题：f(x)=ab====sin(2x－)．4分(ⅰ)由，得，其中，故单调递增区间为，其中．6分(ⅱ)由(ⅰ)知f(x)＝sin(2x－)，则g(x)＝2sin(2x＋)．8分列表得x0ππ2π20－20经过描点、连线得12分-9-19．（i）由，可得s1＝2a1－1，即a1＝1，1分又因为，相减得即2分所以，故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列．4分（ⅱ）由（ⅰ）得到an＋1＝，则5分于是bn＝=n()＝n×－n，令un＝n×，6分则wn＝，2wn＝，相减，整理得－wn＝，于是wn＝，10分又数列{n}的前n项和为，所以tn=．12分20．设销量y与销售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价与销量y的反比例函数关系为，由解得于是y=15－0.1x，2分由，得a=10，于是．4分（ⅰ）当销售价为100元>
