四川省达州市大竹县文星中学2022届高三数学下学期开学调研考试试题理第I卷（选择题）一、选择题：共12题每题5分共60分1．设全集,集合，,则的值为A.2或-8B.-8或-2C.-2或8D.2或8【答案】D【解析】本题考查集合的运算。由题意知：，解得。选D。2．已知是虚数单位，则=A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查复数的四则运算。=。选B。3．命题“对任意都有”的否定是A.对任意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得【答案】D【解析】本题考查本题考查全称量词与存在量词。根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意都有”的否定是：存在x0∈R，使得x02<1.所以选D.4．函数的图象大致为【答案】A【解析】本题考查三角函数的图像和奇函数的图像性质。首先由为奇函数，得13\n的图象关于原点对称，排除C、D，又由时，知，所以选A.5．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内是A.减函数且B.减函数且C.增函数且D.增函数且【答案】B【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性。由函数是奇函数，有f-x=-fx,又fx满足fx+1=f-x,所以有fx+1=-fx,由此可知函数的周期为2，根据复合函数判断可知函数fx=log121-x在0,12上单调递增，利用函数和周期性可知B正确.6．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝A.－4B.－3C.－2D.－1【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积。由题意得：，即，解得；选B。7．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x＋3y的最大值等于A.9B.12C.27D.36【答案】B【解析】本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的可行域如图，由图可知，目标函数在点y=x与2x+y-9=0的交点即A处取到最大值，解得A3,3,代入目标函数可得z=3+3×3=12.故选B。13\n8．已知两条直线l1:y=m和l2:y=4m+1(m>0,m≠17-12),与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点,与函数的图象从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时,的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查函数的图像与性质。令A,B,C,D各点的横坐标分别为，可得：，，，；即，，，；所以，；所以，当m=1时，等号成立；所以的最小值为8。选B。9．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是A.B.C.D.13\n【答案】C【解析】本题考查的知识点为三视图求面积、体积.由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥,故本题正确答案是C10．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是A.21B.39C.81D.102【答案】D【解析】本题考查流程图。循环1次，s=3，n=2；循环2次，s=21，n=3；循环3次，s=102，n=4，此时不满足条件，结束循环，输出102.选D。11．设，则A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查指数与对数的比较大小。，，，所以；选B。12．下列说法正确的是A.若，则13\nB.函数的零点落在区间内C.函数的最小值为2D.若，则直线与直线互相平行【答案】B【解析】本题考查命题的真假。若a=1，b=-1，不等式不成立，排除A；，而且函数在区间内单增，所以在区间内存在唯一零点，B正确；令x=-1，则，不满足题意，C错；若，则直线重合，D错；所以选B。第II卷（非选择题）二、填空题：共4题每题4分共16分13．已知集合A={x|0<x<3}，B={x|x-1<0}，则A∩B= .【答案】(1,3).【解析】本题考查交集及其运算；B={x|x-4x-1<0}=(1,4)，A∩B=.14．已知函数的最大值为1，则 .【答案】【解析】本题考查三角函数的性质与三角变换。=；又因为函数的最大值为1，所以，解得。15．已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为 【答案】-33+18【解析】本题主要考查平面向量的运算.因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求，因为故13\n所以在上的投影为.16．下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点,如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合。点从点按逆时针方向运动到点，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐标为,如图3.图3中直线与轴交于,则的象就是，记作。下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)①;②在定义域上单调递增;③方程的解是;④是奇函数；⑤的图象关于点对称.【答案】②③⑤【解析】本题考查函数的图像与性质。如图，因为M在以为圆心，为半径的圆上运动。①当时，M的坐标为，直线AM方程y=x+1，所以点N的坐标为（-1，0），故f（）=-1，故①错误；②由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增，②正确；③由②在定义域上单调递增可得：当M运动到AB的中点，即有直线AM：x=0，所以方程的解是，③正确；④函数定义在区间（0，1）上，所以函数非奇非偶，④错误；⑤由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点 对称，⑤正确。综上知，②③⑤正确。13\n三、解答题：共6题每题12分共74分17．（12分）在中，内角对边的边长分别是.已知.（Ⅰ）若的面积等于，试判断的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求的面积.【答案】（Ⅰ）为等边三角形，理由为：，∴由余弦定理得：，即①，∵的面积等于②，∴，即ab=4，联立①②解得：a=b=2，则△ABC为等边三角形；（Ⅱ）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，变形得：sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，若cosA=0，即A=，由c=2，C=，得b=，此时面积;若，可得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a③，联立①③得：，此时△ABC面积为.【解析】本题考查的知识点为正弦定理.（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：利用余弦定理列出关系式，把c，cosC的值代入得到关系式，再由△ABC的面积等于，利用三角形面积公式列出关系式，两式联立求出a与b的值，即可对于△ABC的形状做出判断；（Ⅱ）已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，由cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可.18．（12分）已知数列满足.13\n（Ⅰ）证明数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，求数列的前项和.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，又因为，所以.所以数列是首项为2，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知，所以.（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知，，所以 ， ①①得 ②②—①得 =.【解析】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的概念、通项公式，等比数列的求和公式以及利用错位相减法对数列求和.19．（13分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F,G,H分别为PB，EB，PC的中点。（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明：因为F,G分别为PB，EB的中点，所以FG∥PE.13\n又平面，PE平面PED，所以FG∥平面PED（2）因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以PD⊥平面ABCD因为AD,CD在平面ABCD内，所以PD⊥AD,PD⊥CD. 四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD。以D为原点,分别以直线DA,DC,DP为轴,轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1。因为AD=PD=2EA，，，，，，,,.因为F,G,H分别为PB，EB，PC的中点，，，,,（解法一)设为平面的一个法向量，则,即，令，得.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以==.所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）（解法二)，,是平面一个法向量.，,13\n是平面平面一个法向量.平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.（解法三)延长到使得连，EA∥，四边形是平行四边形，PQ∥AD四边形是正方形，所以BC∥AD,PQ∥BC.因为F,H分别为，的中点，所以FH∥BC,FH∥PQ.因为FH平面PED，平面，∥平面PED.平面平面FGH∥平面故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.平面平面平面是二面角的平面角.平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.【解析】本题考查线面平行，空间角问题。20．（10分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【答案】 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则13\nP(A)＝＝＝，P(B)＝＝＝.(2)解法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(·)＝P()·P()＝×＝.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(·)＝1－＝.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.解法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(A·)＋P(·B)＋P(A·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.21．（13分）抛物线:（）,焦点为，直线 交抛物线于、两点,是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点.（1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线的焦点。，得。（或利用得，或（舍去））13\n(2)联立方程，消去得，设，则（），是线段的中点，，即，，得，若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，即，结合（）化简得，即，或（舍去），存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形。【解析】本题考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系。22．(14分)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。【答案】（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1。（2）令a=x，b=-x 则f(0)=f(x)f(-x) ∴当x>0时，f(x)>1>0；当x<0时，-x>0，f(-x)>0。∴，又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x∈R，f(x)>0。13\n(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴∴，∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0∴0<x<3。【解析】本题考查抽象函数的性质。13
