2022年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题(共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足,则=2.已知实数满足约束条件,则的最大值为A．B．C．D．3.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是,则输入的的值可以等于A. B. C. D.4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于A.B．C．D．5.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为A．B．C．D．6.数列满足，且对于任意的都有则等于A．B．C．D．7.已知以下4个命题:①若为真命题，则为真命题②若则12③设，则是成立的充分不必要条件④若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是.其中,正确命题的个数是A. B. C. D.8．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是A.B.C.D.2022年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学(理)第Ⅱ卷非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，若从初中生中抽取了30人，则的值等于 .10.已知，在二项式的展开式中，含的项的系数为 .11.已知中,，，，则.12.如图,是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若，，且，，则＝______.13．在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为（为参数）.若曲线与相交于两点，则线段的长等于 .14.已知为的外心，若，则的最小值为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数(Ⅰ)求函数的最小正周期与单调递减区间；(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．1216．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了、、三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加组测试，丙独自参加组测试，丁、戊两人各自独立参加组测试．若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；而组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.17．（本小题满分13分）如图，三棱柱中，⊥面，，，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.18．（本小题满分13分）已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线.设点是椭圆上异于，的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．19．（本小题满分14分）设数列，，已知，，，（）．（Ⅰ）设,求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：对任意，为定值；（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．20．（本小题满分14分）12已知函数，，图象与轴异于原点的交点为，在处的切线与直线平行.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数的最小值；(Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.122022年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号12345678答案CDBAACBA二、填空题:每小题5分，共30分.9．100；10．；11．；12．；13．8；14．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数(Ⅰ)求函数的最小正周期与单调递减区间；(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）……1分…………2分…………4分∴的最小正周期……………5分由得∴的单调递减区间为……………7分（Ⅱ）由得………9分故………11分所以………12分因此,的最大为,最小值是2……13分解法二:在区间上单调递增;在区间上单调递减………11分又所以的最大为,最小值是2………13分16．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了、、三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加组测试，丙独自参加组测试，丁、戊两人各自独立参加组测试．若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；而组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.16.解：（Ⅰ）设参加组测试的每个人竞聘成功为A事件，则12…………3分故丁、戊都竞聘成功的概率等于…………5分（Ⅱ）可取0，1，2，3，…………6分，，，，（每个结果各1分）…………10分0123P故的分布列为：…………11分A1AC1zxyCB1BD所以…………13分17．（本小题满分13分）如图，三棱柱中，⊥面，，，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.17.（本小题满分13分）解法一:（Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系，………1分则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），………2分设是面BDC1的一个法向量，则即，取.…………4分又,所以,即∵AB 1面BDC 1，∴AB1//面BDC1．…………6分（Ⅱ）易知是面ABC的一个法向量.…………7分.…………8分∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………9分（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.12设P（2，y，0）（0≤y≤3），则，…………10分则，即.…………11分解之∴方程组无解.…………12分∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………13分解法二:（Ⅰ）证明：连接B1C,与BC1相交于O，连接OD．∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．…………1分又D是AC的中点，∴OD//AB1．…………2分∵AB 1面BDC 1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1．…………4分（Ⅱ）解，，………5分设是面BDC1的一个法向量，则即，取.…………6分易知是面ABC的一个法向量.…………7分.…………8分∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………9分（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.设P（2，y，0）（0≤y≤3），则，…………10分则，即.…………11分解之∴方程组无解.…………12分∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………13分18．（本小题满分13分）已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线.设点是椭圆上异于，的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题可知、，………1分由，得，，………2分化简得，………3分12故椭圆的离心率是………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆的长轴长等于得，椭圆的方程为，且,在点处的切线方程为.以为直径的圆与直线相切．……5分证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为．由得．…………………7分设点的坐标为，则．所以，．…………………9分因为点坐标为，（1）当时，点的坐标为，直线的方程为，点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切…10分（2）当时，直线的斜率.所以直线的方程为,即．故点到直线的距离………12分(算法二:或直线的方程为,故点到直线的距离…12分)又因为，故以为直径的圆与直线相切．综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．……13分解法二:由（Ⅰ）及椭圆的长轴长等于得，椭圆的方程为，且,在点处的切线方程为.以为直径的圆与直线相切．……5分证明如下:设点,则(1)当时,点点的坐标为，直线的方程为，……6分点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切…7分12(2)当时直线的方程为,…8分点的坐标为,中点的坐标为,故…9分直线的斜率为,故直线的方程为,即,………10分所以点到直线的距离………12分故以为直径的圆与直线相切．综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………13分19．（本小题满分14分）设数列，，已知，，，（）．（Ⅰ）设,求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：对任意，为定值；（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）所以，，,即， ……………………2分又,故数列是首项为，公比为的等比数列，所以．…………………………………………………4分（Ⅱ）解：，所以，………………………………6分而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值8．……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，所以，…9分所以，……………10分12所以，由得，因为，所以，………………11分当为奇数时，随的增大而增大，且，当为偶数时，随的增大而减小，且，所以，的最大值为，的最小值为．……………13分由，得，解得．所以，所求实数的取值范围是．……………………………………14分20．（本小题满分14分）已知函数，，图象与轴异于原点的交点处的切线与直线平行.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数的最小值；(Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.20.（本小题满分14分）(Ⅰ)解:点，，由题意可得，故，……1分∴，……………2分12令，得的增区间是；………………3分令，得的减区间是；……………4分(Ⅱ)解法一：令，（），则，…………………………5分∴在单调递增，故当时，……………6分因为在上单调递减，在上单调递增，故可分以下种情形讨论（1）当即时在上单减，所以的最小值是………………7分（2）当即时的最小值是，…8分（3）当时在上单增，所以的最小值是………9分解法二：=…5分令，在时，，∴在单调递增，……………6分图象的对称轴，抛物线开口向上①当即时，……………7分②当即时，………8分③当即时，……………9分（Ⅲ）所以在区间上单调递增 ……………………10分∴时，,注意到①当时，有，，得，同理， …………………11分∴由的单调性知,从而有，符合题设.…………12分②当时，，，由的单调性知，∴，与题设不符………………13分③当时，同理可得，得，与题设不符.12∴综合①、②、③得………………14分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.12
