安徽省巢湖市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin17π6等于( )A.12B.−12C.32D.−32【答案】A【解析】解：sin17π6=sin(3π−π6)=sin5π6=12．故选：A．运用诱导公式即可化简求值．本题主要考查了运用诱导公式化简求值，特殊角的三角函数值等基本知识，属于基础题．2.已知集合A={x|x−4<0}，B={x|y=1x}，则A∩B=( )A.[0,4)B.(0,4)C.(−∞,4)D.(4,+∞)【答案】B【解析】解：集合A={x|x−4<0}={x|x<4}，B={x|y=1x}={x|x>0}，则A∩B={x|0<x<4}=(0,4)．故选：B．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A.f(x)=−1xB.f(x)=3xC.f(x)=x2+1D.f(x)=sinx【答案】A【解析】解：A.f(x)=−1x是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；B.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．容易看出选项9/10\nA的函数是奇函数，在(0,+∞)上单调递增，从而A正确，而选项B的函数非奇非偶，选项C的函数不是奇函数，选项D的函数在(0,+∞)上没有单调性，从而判断B，C，D都错误．考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义，反比例函数，正弦函数的单调性，指数函数和二次函数的奇偶性．1.已知tanα=3，则1+cos2αsinαcosα+sin2α=( )A.38B.916C.79D.1112【答案】D【解析】解：∵tanα=3，∴1+cos2αsinαcosα+sin2α=sin2α+2cos2αsinαcosα+sin2α=tan2α+2tanα+tan2α=1112．故选：D．把要求值的式子化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．2.设a=log56，b=(13)0.4，c=19，则a，b，c的大小关系是( )A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>b>a【答案】C【解析】解：log56>log55=1，(13)0.4<(13)0=1，(13)0.4>(13)2=19；∴a>b>c．故选：C．可以得出log56>1,(13)0.4<1,(13)0.4>19，从而可得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．3.函数f(x)=2−x+log3|x|的零点的个数是( )A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】解：函数f(x)=2−x+log3|x|的零点个数，即为函数y=x−2的图象和函数y=log3|x|的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数y=x−2的图象和函数y=log3|x|的图象的交点个数为9/10\n3，故选：A．由题意可得，本题即求函数y=x−2的图象和函数y=log3|x|的图象的交点个数，数形结合可得结论．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．1.若cos(α+60∘)=−45，30∘<α<120∘，则sinα=( )A.3+4310B.2+35C.1+35D.1+2310【答案】A【解析】解：cos(α+60∘)=−45，30∘<α<120∘，∴sin(α+60∘)=1−cos2(α+60∘)=35，则sinα=sin[(α+60∘)−60∘]=sin(α+60∘)cos60∘−cos(α+60∘)sin60∘=35⋅12+45⋅32=3+4310，故选：A．利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+60∘)的值，再利用两角差的正弦公式求得sinα=sin[(α+60∘)−60∘]得值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．2.函数f(x)=sin(π3+2x)+cos(π6−2x)的最小正周期为( )A.2πB.πC.π2D.π4【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(π3+2x)+cos(π6−2x)=32cos2x+12sin2x+32cos2x+12sin2x=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)的最小正周期为2π2=π，故选：B．利用两角和差的三角公式化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性，属于基础题．3.已知cos(α−π6)=3−12cosα+13，则sin2α的值为( )A.34B.35C.−59D.−359/10\n【答案】C【解析】解：∵已知cos(α−π6)=3−12cosα+13，∴32cosα+12sinα=32cosα−12cosα+12，∴sinα+cosα=23，平方可得1+2sinαcosα=49，求得2sinαcosα=sin2α=−59，故选：C．利用两角差的余弦公式求得sinα+cosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α的值．本题主要考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基恩关系，属于基础题．1.已知向量a，b满足|a−3b|=2，|a|=2，a⋅(a−b)=72，则|b|的值为( )A.2B.33C.12D.14【答案】B【解析】解：由|a−3b|=2得(a−3b)2=2，得4−6a⋅b+|b|2=4，由a⋅(a−b)=72得4−a⋅b=72，两式联立解得|b|=33故选：B．两个条件变形后列方程组可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列区间使函数f(x)单调递减的是( )A.[−5π12,π]B.[−3π4,−π12]C.[−π4,π6]D.[5π12,11π12]【答案】A【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则：T4=π6+π12=π4，所以：T=π，则：ω=2ππ=2，当x=π6时，f(π6)=2sin(2×π6+φ)=0，所以：π3+φ=kπ(k∈Z)，解得：φ=kπ−π3(k∈Z)，由于：|φ|<π2，当k=0时，φ=−π3，所以函数f(x)=2sin(2x−π3)，令：9/10\nπ2+2kπ≤2x−π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得：5π12+kπ≤x≤kπ+11π12(k∈Z)，当k=0时，函数的单调递减区间为[5π12,11π12].故选：A．首先利用三角函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．1.已知函数f(x)=2x，g(x)=−x2+4x−2.若存在a∈R，b∈R，使得f(a)=g(b)成立，则g(b)的取值范围( )A.(0,2]B.[0,2)C.(1,2]D.(1,2)【答案】A【解析】解：f(x)=2x>0，g(x)=−x2+4x−2=−(x−2)2+2≤2，若若存在a∈R，b∈R，使得f(a)=g(b)成立，设f(a)=g(b)=m，则0<m≤2，则g(b)的范围是(0,2]，故选：A．求出f(x)和g(x)的取值范围，设f(a)=g(b)=m，则m的取值范围即可g(b)的取值范围．本题主要考查函数值值域的求解，求出f(x)和g(x)的取值范围是解决本题的关键.本题表面看很复杂，其实试题难度不大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.已知a13=916，则log34a=______．【答案】6【解析】解：∵a13=916=(34)2；∴a=(34)6；∴log34a=log34(34)6=6．故答案为：6．根据a13=916即可得出9/10\na=(34)6，然后进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算．1.已知向量a=(2,−1)，b=(−3,2)，且表示向量a+3b，−2b−2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，则向量c的坐标为______．【答案】(5,−3)【解析】解：a+3b=(−7,5),−2b−2a=(2,−2)；设c=(x,y)，根据题意，(−7,5)+(2,−2)+(x,y)=(0,0)；∴y=−3x=5；∴c=(5,−3)．故答案为：(5,−3)．可求出a+3b=(−7,5),−2b−2a=(2,−2)，并设c=(x,y)，根据题意即可得出(−7,5)+(2,−2)+(x,y)=(0,0)，解出x，y即可得出c的坐标．考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量的几何意义：用有向线段表示向量．2.已知函数f(x)=x2−2x+3，若函数y=f(x−a)在(2,+∞)上是增函数，则a的取值范围是______．【答案】(−∞,1]【解析】解：∵函数f(x)=x2−2x+3，∴y=f(x−a)=(x−a)2−2(x−a)+3=x2−(2a+2)x+a2+2a+3，∵函数y=f(x−a)在(2,+∞)上是增函数，∴a+1≤2，解得a≤1，∴a的取值范围是(−∞,1]．故答案为：(−∞,1]．推民出y=f(x−a)=(x−a)2−2(x−a)+3=x2−(2a+2)x+a2+2a+3，由函数y=f(x−a)在(2,+∞)上是增函数，得到a+1≤2，由此能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.已知函数(x)=asinx+bcosx(其中a，b为非零实数)，且f(π4)=a2+b2，有下列命题：①函数f(x)的最大值为2|a|；②函数f(x+3π4)为奇函数；③若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2是3π2的整数倍．其中正确命题的序号是______.(将所有正确命题的序号都填上)【答案】①②9/10\n【解析】解：f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ)，(θ为辅助角)，f(π4)=a2+b2，可得22(a+b)=a2+b2，化简可得a=b，即有f(x)=2|a|sin(x+π4)，则f(x)的最大值为2|a|，故①正确；由f(x+3π4)=2|a|sin(x+3π4+π4)=)=−2|a|sinx，可得函数f(x+3π4)为奇函数，故②正确；若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)=0，即f(x)=0，可得sin(x+π4)=0，即为x+π4=kπ，可得x=kπ−π4，k∈Z，比如x1=−π4，x2=3π4，则x1−x2=−π不是3π2的整数倍，故③错误．故答案为：①②．由三角函数的辅助角公式，结合正弦函数的最值判断①；利用诱导公式和奇偶性判断②；由f(x)=0，求得x，即可判断③．本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，主要是最值和对称性，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1.已知角α的终边过点P(3,4).求：(Ⅰ)cos(π−α)−cos(π2−α)的值；(Ⅱ)tanα2−1tanα2的值．【答案】解：∵角α的终边过点P(3,4)，∴r=|OP|=5，∴sinα=45，cosα=35．(Ⅰ)cos(π−α)−cos(π2−α)=−cosα−sinα=−35−45=−75；(Ⅱ)由sinα=45，cosα=35，得tanα=43，∴tanα2−1tanα2=sinα2cosα2−cosα2sinα2=sin2α2−cos2α2sinα2cosα2=−2cosαsinα=−2tanα=−32．【解析】(Ⅰ)由已知结合三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由诱导公式求解；(Ⅱ)利用同角三角函数的基本关系式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的诱导公式的应用，是基础题．2.已知函数(x)=1x2−4．(Ⅰ)判断并用定义证明函数f(x)的奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在(2,+∞)上单调递减．9/10\n【答案】解：(Ⅰ)由x2−4≠0得x≠2且x≠−2，即的定义域为{x|x≠2且x≠−2}，定义域关于原点对称，则f(−x)=1(−x)2−4=1x2−4=f(x)，即函数f(x)是偶函数；(Ⅱ)设2<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=x22−x12x12x22=(x2+x1)(x2−x1)x12x22，∵2<x1<x2，∴x1+x2>4，x2−x1>0，∴f(x1)−f(x2)>0，则f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(2,+∞)上是减函数．【解析】(Ⅰ)根据函数奇偶性的定义进行判断；(Ⅱ)根据函数单调性的定义利用定义法进行证明．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义使用定义法是解决本题的关键．1.已知向量a=(msinx,1)，b=(3cosx,m2cos2x)(m>0)，函数f(x)=a⋅b的最大值为2．(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)若x=π6，求向量a与b的夹角θ的余弦值．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=3msinxcosx+m2cos2x=32msin2x+12mcos2x=msin(2x+π6)≤m，∴m=2；(Ⅱ)a=(1，1)，b=(32,12)，∴cosθ=32+122×104=25=255，∴向量a与b的夹角θ的余弦值为255．【解析】(Ⅰ)运用三角函数的嘴直可解决此问题；(Ⅱ)运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查平面向量的数量积和向量的夹角公式的简单应用．2.某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的0.5%，且最低1元/笔，最高50元/笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．(Ⅰ)若王杰转账的金额为x元，手续费为y元，请将y表示为x的函数；(Ⅱ)若王杰转账的金额为10t−3996元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t的取值范围．9/10\n【答案】解：(Ⅰ)由题意得y=1,0<x≤2000.005x,200<x≤1000050,x>10000，(Ⅱ)从(Ⅰ)中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元，则转账金额大于1000元，且小于10000元，则只需要考虑当1000<x<10000时的情况即可，由1000<10t−3996<10000得3<t−3996<4，得3999<t<4000，即实数t的取值范围是(3999,4000)．【解析】(Ⅰ)根据条件建立分段函数模型进行求解即可(Ⅱ)由分段函数的表达式进行求解本题主要考查分段函数的应用问题，根据条件建立分段函数模型，求出函数的解析式是解决本题的关键．1.已知函数(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω>0)，其最小正周期为π4．(Ⅰ)求f(x)的表达式；(Ⅱ)求函数g(x)=6cos4x−sin2x−1f(x4+π24)的值域．【答案】解：(Ⅰ)函数(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx−12=32sin(2ωx)+1+cos(2ωx)2−12=sin(2ωx+π6)，其最小正周期为2π2ω=π4，∴ω=4，故f(x)=sin(8x+π6).(Ⅱ)∵函数g(x)=6cos4x−sin2x−1f(x4+π24)=6cos4x+cos2x−2sin(2x+π2)=(2cos2x−1)(3cos2x+2)cos2x=(2cos2x−1)(3cos2x+2)2cos2x−1=3cos2x+2，∵cos2x∈[0,1]，且cos2x≠12，故g(x)∈[2,5]且g(x)≠72，故g(x)的值域为[2,72)∪(72,5]．【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω，可得函数的解析式．(Ⅱ)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得g(x)的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．2.已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(5)f(2)=8．(Ⅰ)若f(2m−3)<f(m+2)，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若y=g(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，g(x)=−1(2a)x+1ax，求g(x)的值域．【答案】解：(Ⅰ)∵f(5)f(2)=8，∴a5a2=a3=8，则a=2，即f(x)=2x，则函数f(x)是增函数，由f(2m−3)<f(m+2)，得2m−3<m+2，9/10\n得m<5，即实数m的取值范围是(−∞,5)．(Ⅱ)当x≥0时，g(x)=−1(2a)x+1ax=−14x+12x=−(12x)2+12x=−[(12x−12)2+14,∵x≥0时，2x≥1，则0<12x≤1，即当12x=12，即x=1时，g(x)取得最大值为14，∵g(x)是奇函数，∴当x=−1时，g(x)取得最小值为−14，即−14≤g(x)≤14，则函数的值域为[−14,14].【解析】(Ⅰ)根据条件建立方程求出a的值，结合指数函数单调性的性质进行转化求解即可(Ⅱ)将函数g(x)转化为二次函数型，利用配方法结合函数奇偶性求出最值即可本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，结合条件转化为二次函数型是解决本题的关键．9/10
